2023年上海市虹口区中考数学一模试卷(含答案解析)

2023年上海市虹口区中考数学一模试卷

1.  如果某个斜坡的坡度是1：，那么这个斜坡的坡角为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在中，，，，那么的值为(    )

A.
B. 2
C.
D.

3.  已知抛物线有最低点，那么a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知二次函数的图象如图所示，那么下列四个结论中，错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如果点与点都在抛物线上，那么和的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

6.  如图，点D、E分别在边AB、AC上，，且，那么的值为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  已知线段b是线段a和c的比例中项，，，则______

8.  计算：______ .

9.  抛物线与y轴交点坐标是______.

10.  沿着x轴正方向看，抛物线在其对称轴右侧的部分是______ 的填“上升”或“下降”

11.  在平面直角坐标系xOy中，将抛物线沿着y轴向下平移2个单位，所得到的新抛物线的表达式为______ .

12.  已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：

如果点在此抛物线上，那么______ .

13.  已知∽，顶点A、B、C分别与、、对应，，，的平分线的长为6，那么的平分线的长为______ .

14.  如图，在中，点D在边AC上，已知和的面积比是1：2，，，那么用向量、表示向量为______ .

15.  如图，在梯形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上且，已知AE：：2，，，那么BC的长是______ .

16.  如图，在中，，点G为的重心，过点G作交AB于点已知，，那么GD的长为______ .

17.  魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形ABCD、四边形EFGD和四边形EAIH都是正方形.如果图中与的面积比为，那么的值为______ .

18.  我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”.如图，已知直线，与之间的距离是3，“等高底”的“等底”BC在直线上点B在点C的左侧，点A在直线上，，将绕点B顺时针旋转得到，点A、C的对应点分别为点、，那么的长为______ .

19.  计算：

20.  如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点
求此抛物线的表达式及点C的坐标；
将此抛物线沿x轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C，求m的值.

21.  如图，在中，，，，点E在边AC上，且，过点E作交边AB于点D，的平分线CF交线段DE于点F，求DF的长.

22.  如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图是缓降器的底板，压柄BC可以绕着点B旋转，液压伸缩连接杆DE的端点D、E分别固定在压柄BC与底板AB上已知
如图2，当压柄BC与底座AB垂直时，约为，求BD的长；
现将压柄BC从图2的位置旋转到与底座AB成角即，如图3所示，求此时液压伸缩连接杆DE的长结果保留根号参考数据：，，；，，

23.  如图，在四边形ABCD中，对角线BD与AC交于点F，
求证：；
过点A作交BD于点E，求证：

24.  如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点
如果点A的坐标为，点在抛物线上，联结
①求顶点P和点B的坐标；
②过抛物线上点D作轴，垂足为M，DM交线段AB于点E，如果，求点D的坐标；
联结OP，如果OP与x轴负半轴的夹角等于与的和，求k的值.

25.  如图，在中，，，点D、E分别在边AB、BC上，满足点F是DE延长线上一点，且
当点D是AB的中点时，求的值；
如果，求的值；
如果是等腰三角形，求CF的长.

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：设这个斜坡的坡角为，
由题意得：：，
；
故选
根据坡角的正切=坡度，列式可得结果．
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，明确坡度实际就是一锐角的正切值；在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
 

2.【答案】C 

【解析】解：在中，，，，由勾股定理，得

由锐角的余弦，得
故选：
根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边，可得答案．
本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边是解题的关键．
 

3.【答案】D 

【解析】解：抛物线有最低点，
抛物线开口向上，
，
解得，
故选：
由抛物线有最低点可得抛物线开口方向，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

4.【答案】B 

【解析】解：抛物线开口向下，
，故选项A正确，不符合题意；
抛物线对称轴在y轴右侧，，
，故选项B错误，符合题意；
抛物线交y轴于正半轴，
，故选项C正确，不符合题意；
，故选项D正确，不符合题意；
故选：
根据二次函数图象的开口方向可以得到a的正负，再根据左同右异，可以得到b的正负，然后根据抛物线与y的轴的交点位置，可以得到c的正负，从而可以得到abc的正负，本题得以解决．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键判断出a、b、c的正负．
 

5.【答案】B 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为y轴，
时，y随x增大而减小，
，
，
故选：
由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
 

6.【答案】A 

【解析】解：，
设，，，，则，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
故选：
根据题意，可以先设，，，，再根据题意可以得到∽，然后即可得到的值．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】4 

【解析】解：线段，，线段b是a、c的比例中项，
，
，舍去
故答案为：
根据比例中项的定义，列出比例式即可求解．
此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
 

8.【答案】 

【解析】解：


故答案为：
先去括号，然后计算加减法．
本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能应用于向量的计算过程中．
 

9.【答案】 

【解析】解：时，，
所以，抛物线与y轴交点坐标是
故答案为
令，求出y的值，即可得到与y轴的交点．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，本题主要是与y轴交点的求法，需熟记．
 

10.【答案】下降 

【解析】解：因为，
所以抛物线在对称轴右侧部分是下降的，
故答案为：下降．
根据二次函数的性质解答即可．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：将抛物线沿着y轴向下平移2个单位得函数解析式为，
故答案为：
根据平移规律“左加右减，上加下减”解答．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
 

12.【答案】10 

【解析】解：由表格中点，，
可知函数的对称轴为直线，
点与点关于直线对称，
，
故答案为：
由表格中点，可求对称轴直线，即可求解．
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是本题的关键．
 

13.【答案】8 

【解析】解：∽，、，
相似比为：，
的平分线的长为6，
设的平分线的长为x，则，

故答案为：
直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对角平分线的比得出答案．
此题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比等于相似比是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用三角形法则可知：，结合即可解决问题．
【解答】
解：和的面积比是1：2，
：：2，
，
，
，
，
  

15.【答案】6 

【解析】解：作，交EF于点M，交BC于点N，
，，
四边形AMFD是平行四边形、四边形MNCF是平行四边形，
，
，，
∽，，
，
：：2，
，
，
，
解得，
，
故答案为：
根据平行四边形的判定和相似三角形的判定和性质，可以得到BN和NC的长，从而可以得到BC的长．
本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接AG，交BC于点E，
，，
，
，
点G为的重心，
，

：：：3，
，
故答案为：
通过解直角三角形得BC，利用重心得出BE，用比例线段求出GDDE长．
本题考查的是三角形的重心和解直角三角形，解题的关键是列出比例式．
 

17.【答案】 

【解析】解：都是正方形，
，
，
∽，
，
与的面积比为，
，
设，则，
，
在中，
，
由“青朱出入图”可知：，

故答案为：
证明∽，可得，而与的面积比为，即得，设，则，在中，有，又，故
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质和相似三角形的判定定理．
 

18.【答案】 

【解析】解：如下图：

，，，
，
故答案为：
先根据勾股定理求出BC，再根据旋转法性质求解．
本题考查了旋转的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

 

【解析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
 

20.【答案】解：抛物线与x轴交于点和，
，
解得，
即此抛物线的表达式为，
当时，，
即点C的坐标为；
，点，
当时，，得，，
点C关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标为，
此抛物线沿x轴向左平移个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点C，
，
即m的值是 

【解析】根据抛物线与x轴交于点和，可以得到b、c的值，从而可以得到此抛物线的解析式，然后令求出y的值，即可得到点C的坐标；
将代入中的抛物线，求出点C关于对称轴对称的点的坐标，即可得到m的值．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：，，，，
，
解得，
，，
，，
，
，，
，，
，
平分，
，
，
，
 

【解析】根据锐角三角函数可以求得AC的长，然后根据，即可得到AE和CE的长，再根据平行线的性质和角平分线的定义，即可得到EF的长和DE的长，从而可以求得DF的长．
本题考查解直角三角形、平行线的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：在中，，，，
，

答：BD的长为5cm；
在图3中，过点D作于点
在中，，，，
，，
，
在中，，，，

答：此时液压伸缩连接杆DE的长为 

【解析】在中，由，结合BE的长及的度数，即可求出BD的长；
在图3中，过点D作于点F，在中，通过解直角三角形，可求出DF，BF的长，再在中，利用勾股定理，即可求出DE的长．
本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，解题的关键是：在中，通过解直角三角形求出BD的长；在中，利用勾股定理求出DE的长．
 

23.【答案】证明：，，
∽，
，
，
，
∽，
，即；
，
，
，
∽，
，
，
由知∽，
，
，
 

【解析】由，，得∽，有，又，即得∽，故；
由，，可得∽，有，而∽，有，即可得
本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
 

24.【答案】解：①将点A的坐标为代入得，，
，
，
顶点P的坐标为，
将代入得，，
点B的坐标为；
②，，
设直线AB的解析式为，
，解得，
直线AB的解析式为，
如图1，

设点，则，，
，，
，
，解得，
点D的坐标为；
如图2，过点P作轴于点M，作轴于点N，

，
顶点P的坐标为，，
，，，
，
，，
，
轴，轴，
，
∽，
，
，
或，
，
的值为 

【解析】①将点A的坐标为代入求出k的值，可得抛物线解析式，化为顶点式可得顶点P的坐标，将代入解析式可得点B的坐标；
②求出直线AB的解析式，设点，则，，根据即可求解；
过点P作轴于点M，作轴于点N，由得顶点P的坐标为，，证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，相似三角形判定和性质等，解题的关键是画出图形，运用数形结合的思想解决问题．
 

25.【答案】解：过点A作于点G，过点D作于点H，如图，
，
，
，，



，，
，
是AB的中点，
是的中位线，
，，

在中，
；
，

，
∽，

，

，，
∽，

，，
，
，
；
如果是等腰三角形，
①当时，
则
，
，
，这与已知条件不符，
此种情况不存在；
②当时，
则，
，
，
，
，
，
，
，
为钝角，
此种情况不存在；
③当时，
过点E作于点K，如图，
由题意得：，
，
，
，


，，
∽，
，
，

由知：∽，
，

 

【解析】过点A作于点G，过点D作于点H，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的中位线定理解答即可；
利用等腰三角形的判定与相似三角形的判定与性质解答即可；
利用分类讨论的思想方法分①当时，②当时，③当时三种情形讨论解答：利用等腰三角形的性质，平行线的判定和三角形的内角和定理求得前两种情形不存在，对于③利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理和相似三角形的判定与性质解答即可．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．