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中考数学一轮突破 基础过关 第17讲线段
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这是一份中考数学一轮突破 基础过关 第17讲线段，共12页。学案主要包含了直线，角平分线，余角和补角，相交线与平行线等内容，欢迎下载使用。
一、直线、射线、线段
1. 平面图形是由______、______、面组成的；______动成线，______动成面，面动成______．
2. 线段有______个端点；射线有______个端点，向一个方向无限延长；直线______端点，向两个方向无限延长．
3. 经过两点有且只有______条直线；两点之间______最短；连接两点之间的________________________________________________________________________的长度，叫做这两点的距离．
4. 中点：如果一个点把线段分成______的两条线段，那么这个点叫做线段的中点．
二、角
1. 定义：有公共端点的两条______组成的图形叫做角；角也可以看作由一条______绕它的端点旋转而形成的图形．
2. 1个周角＝______°，1个平角＝______°，1个直角＝______°，1°＝______′，1′＝______″.
三、角平分线
1. 定义：从一个角的______出发，把这个角分成______的两个角的射线叫做这个角的平分线．
2. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离______．
3. 判定：到一个角的两边的距离______的点在这个角的平分线上．
四、余角和补角
1. 定义：如果两个角的和等于______，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角．
2. 性质：同角或等角的余角______，同角或等角的补角______．
五、相交线与平行线
1. 对顶角
(1)定义：两条直线相交，两边互为______延长线的两个角是对顶角．
(2)性质：对顶角______．
2. 垂直
(1)定义：如果两条直线相交成______角，那么这两条直线互相垂直，交点叫做______．
(2)性质
①平面内过一点有且只有______直线与已知直线垂直；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，______最短．
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫做这点到直线的距离．
(4)线段的垂直平分线
①定义：经过线段的______并且______于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离______．
③判定：到线段两个端点的距离______的点在线段的垂直平分线上．
3. 平行线
(1)定义：在同一平面内，不______的两条直线叫做平行线．
(2)平行公理
①经过直线外一点，有且只有______条直线与这条直线平行；
②如果两条直线都与第三条直线______，那么这两条直线互相平行．
(3)夹在两条平行线间的______都相等．
(4)同时________于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的________，叫做这两条平行线的距离．
4. 平行线的性质
(1)两直线平行，同位角．
(2)两直线平行，内错角________．
(3)两直线平行，同旁内角________．
5. 平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，则
(1)同位角______，两直线平行．
(2)内错角______，两直线平行．
(3)同旁内角______，两直线平行.
eq \a\vs4\al(),
角有关的概念和性质
(河池，第2小题，3分)如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝60°，则∠AOC的大小是( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
【思路点拨】本题主要考查邻补角及补角的概念，由图可知，∠AOC与∠BOC互为邻补角，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－60°＝120°.
(百色，第7小题，3分)一个角的余角是这个角的补角的eq \f(1,3)，则这个角的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．70°
(玉林、崇左，第2题，3分)如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是 ( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．领补角
eq \a\vs4\al(), 相交线、平行线的性质和判定)
(梧州，第3小题，3分)如图，已知直线a、b被直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是( )
A．∠2＝∠6
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠1＝∠4
D. ∠5＋∠6＝180°
【思路点拨】考查平行线的判定定理．∠2与∠6互为内错角；∠2与∠3互为同旁内角；∠1的对顶角∠2和∠4互为同位角；∠5与∠6互为邻补角，无法判断直线a，b平行.
(来宾，第2小题，3分)如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°
(桂林，第2小题，3分)
如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．40° B. 50° C. 60° D. 70°
(柳州，第13小题，3分)
如图，直线l1、l2被直线l3所截，l1∥l2，已知∠1＝80°，则∠2＝________° .
eq \a\vs4\al(),
方位角与平行线的综合应用
(河池，第17小题，3分)
如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地向正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地________千米(结果可保留根号)．
【思路点拨】本题考查方位角与平行线的综合应用，由平行线的性质易知BC平行于南北方向所在的直线，故△ABD和△ADC均为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
如图所示，在Rt△ABD中，AB＝2千米，∠BAD＝30°，∴BD＝1千米，AD＝eq \r(3)千米．∵BC＝3千米，∴DC＝2千米．在Rt△ADC中，AD＝eq \r(3)千米，DC＝2千米，∴根据勾股定理，得AC＝eq \r(AD2＋DC2)＝eq \r(3＋4)＝eq \r(7).
(济宁)如图，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__eq \r(3)______km.
1. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )
,A) ,B) ,C) ,D)
2. 下图中，∠1和∠2是同位角的是( )
,A) ,B) ,C) ,D)
3. 如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A．35° B．40° C．45° D．60°
第3题图 第4题图
4. 如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是( )
A.eq \f(1,2)∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAM
C．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC
5. (贺州) 如图，直线a∥b，∠1＝48°，则∠2等于( )
A．24° B. 42° C. 48° D. 132°
6. 如图所示，l1∥l2，AB⊥l1，∠ABC＝130°，那么∠α的度数为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
7. (攀枝花)如图，平行线AB，CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝50°，则∠B＝( C )
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．(葫芦岛)一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是( B )
A．70° B．80° C．90° D．100°
9. 已知∠1＝30°，则∠1的补角的度数为________°.
10. 如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，则∠2＝________°.
11. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝________．
12. 如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是________．
13. (贵港) 如图，点O，C在直线n上，OB平分∠AOC，若m∥n，∠1＝56°，则∠2＝ ________.
14．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是__________．
15. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行________分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
16. 如图，已知直线a∥b，则y与x的函数关系是________．
第17讲 点、线、面、角、相交线与平行线
【基础梳理】
一、1.点 线 点 线 体 2.两 一 无 3.一 线段
线段 4.相等
二、1.射线 射线 2. 360 180 90 60 60
三、1.顶点 相等 2.相等 3.相等
四、1.90° 180° 2.相等 相等
五、1.(1)反向 (2)相等 2.(1)直 垂足 (2)①一条 ②垂线段 (3)长度 (4)①中点 垂直 ②相等 ③相等
3．(1)相交 (2)①一 ②平行 (3)距离 (4)垂直 长度 4.(1)相等 (2)相等 (3)互补 5.(1)相等 (2)相等 (3)互补
【重点突破】
[例1]C [变式1]B [变式2]B [例2]D [变式3]C
[例3]B [变式4]80 [例4]eq \r(7) [变式5]eq \r(3)
【达标检测】
1．C 2.D 3.A 4.C 5.C 6.C 7.C 8.B
9．150 10.50 11.4 12.25° 13.62° 14.15 15. 15
16．y＝x＋40
课标要求
1.点、线、面、角
(1)通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等(参见例59)．
(2)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义．
(3)掌握基本事实：两点确定一条直线．
(4)掌握基本事实：两点之间线段最短．
(5)理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离．
(6)理解角的概念，能比较角的大小．
(7)认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差．
2．相交线与平行线
(1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等的性质．
(2)理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线．
(3)理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离．
(4)掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
(5)识别同位角、内错角、同旁内角．
(6)理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．
(7)掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
(8)掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. *了解平行线性质定理的证明．
(9)能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
(10)探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么两直线平行；平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)．
(11)了解平行于同一条直线的两条直线平行.
考情分析
该内容主要是以填空、选择、解答题的形式来考查，分值为3～16分．主要考查的内容为：(1)互余、互补的角度计算；(2)平行线的性质；(3)平行线的判定；(4)方位角与平行线的综合应用．尤其是互余、互补的角度计算和平行线的性质，这两个知识点几乎每年各地市都考．预测这两个知识点依然是2021年中考的热点，建议加强对概念、性质的理解，掌握科学的方法，并练习加以巩固.
小结
解决这类互余、互补的角度计算的问题，关键是正确理解互余、互补这两个概念涉及的角之间的数量关系：互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°；有关余角、补角的计算问题，通常考虑用方程的思想来解决。
小结
解决与平行线的判定有关的问题时，关键是找到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补.
小结
平行线的判定和性质的因果关系恰好相反，“欲证平行用判定，已知平行用性质”．利用平行线的性质求角度：①观察所求角与已知角的位置关系，选择合理的角进行等量代换；②在解题过程中注意平角、直角、三角形内角和定理和三角形内外角关系的运用，必要时可作辅助线将所求角和已知角联系起来.
小结
这类问题难度不大，解题的关键是借助方位角与平行线的性质构造直角三角形并解直角三角形，注意当两个直角三角形有公共边时，利用这条公共边进行求解是解此类题型的常用方法.
一、直线、射线、线段
1. 平面图形是由______、______、面组成的；______动成线，______动成面，面动成______．
2. 线段有______个端点；射线有______个端点，向一个方向无限延长；直线______端点，向两个方向无限延长．
3. 经过两点有且只有______条直线；两点之间______最短；连接两点之间的________________________________________________________________________的长度，叫做这两点的距离．
4. 中点：如果一个点把线段分成______的两条线段，那么这个点叫做线段的中点．
二、角
1. 定义：有公共端点的两条______组成的图形叫做角；角也可以看作由一条______绕它的端点旋转而形成的图形．
2. 1个周角＝______°，1个平角＝______°，1个直角＝______°，1°＝______′，1′＝______″.
三、角平分线
1. 定义：从一个角的______出发，把这个角分成______的两个角的射线叫做这个角的平分线．
2. 性质：角平分线上的点到角的两边的距离______．
3. 判定：到一个角的两边的距离______的点在这个角的平分线上．
四、余角和补角
1. 定义：如果两个角的和等于______，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角．
2. 性质：同角或等角的余角______，同角或等角的补角______．
五、相交线与平行线
1. 对顶角
(1)定义：两条直线相交，两边互为______延长线的两个角是对顶角．
(2)性质：对顶角______．
2. 垂直
(1)定义：如果两条直线相交成______角，那么这两条直线互相垂直，交点叫做______．
(2)性质
①平面内过一点有且只有______直线与已知直线垂直；
②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，______最短．
(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的______，叫做这点到直线的距离．
(4)线段的垂直平分线
①定义：经过线段的______并且______于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
②性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离______．
③判定：到线段两个端点的距离______的点在线段的垂直平分线上．
3. 平行线
(1)定义：在同一平面内，不______的两条直线叫做平行线．
(2)平行公理
①经过直线外一点，有且只有______条直线与这条直线平行；
②如果两条直线都与第三条直线______，那么这两条直线互相平行．
(3)夹在两条平行线间的______都相等．
(4)同时________于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的________，叫做这两条平行线的距离．
4. 平行线的性质
(1)两直线平行，同位角．
(2)两直线平行，内错角________．
(3)两直线平行，同旁内角________．
5. 平行线的判定
两条直线被第三条直线所截，则
(1)同位角______，两直线平行．
(2)内错角______，两直线平行．
(3)同旁内角______，两直线平行.
eq \a\vs4\al(),
角有关的概念和性质
(河池，第2小题，3分)如图，点O在直线AB上，若∠BOC＝60°，则∠AOC的大小是( )
A．60° B．90°
C．120° D．150°
【思路点拨】本题主要考查邻补角及补角的概念，由图可知，∠AOC与∠BOC互为邻补角，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－60°＝120°.
(百色，第7小题，3分)一个角的余角是这个角的补角的eq \f(1,3)，则这个角的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．70°
(玉林、崇左，第2题，3分)如图，直线a，b被c所截，则∠1与∠2是 ( )
A．同位角
B．内错角
C．同旁内角
D．领补角
eq \a\vs4\al(), 相交线、平行线的性质和判定)
(梧州，第3小题，3分)如图，已知直线a、b被直线c所截，下列条件不能判断a∥b的是( )
A．∠2＝∠6
B．∠2＋∠3＝180°
C．∠1＝∠4
D. ∠5＋∠6＝180°
【思路点拨】考查平行线的判定定理．∠2与∠6互为内错角；∠2与∠3互为同旁内角；∠1的对顶角∠2和∠4互为同位角；∠5与∠6互为邻补角，无法判断直线a，b平行.
(来宾，第2小题，3分)如图，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是( )
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3
C．∠3＝∠5 D．∠3＋∠4＝180°
(桂林，第2小题，3分)
如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．40° B. 50° C. 60° D. 70°
(柳州，第13小题，3分)
如图，直线l1、l2被直线l3所截，l1∥l2，已知∠1＝80°，则∠2＝________° .
eq \a\vs4\al(),
方位角与平行线的综合应用
(河池，第17小题，3分)
如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地向正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地________千米(结果可保留根号)．
【思路点拨】本题考查方位角与平行线的综合应用，由平行线的性质易知BC平行于南北方向所在的直线，故△ABD和△ADC均为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
如图所示，在Rt△ABD中，AB＝2千米，∠BAD＝30°，∴BD＝1千米，AD＝eq \r(3)千米．∵BC＝3千米，∴DC＝2千米．在Rt△ADC中，AD＝eq \r(3)千米，DC＝2千米，∴根据勾股定理，得AC＝eq \r(AD2＋DC2)＝eq \r(3＋4)＝eq \r(7).
(济宁)如图，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是__eq \r(3)______km.
1. 下列各图中，∠1与∠2互为余角的是( )
,A) ,B) ,C) ,D)
2. 下图中，∠1和∠2是同位角的是( )
,A) ,B) ,C) ,D)
3. 如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2的度数是( )
A．35° B．40° C．45° D．60°
第3题图 第4题图
4. 如图，AM为∠BAC的平分线，下列等式错误的是( )
A.eq \f(1,2)∠BAC＝∠BAM B．∠BAM＝∠CAM
C．∠BAM＝2∠CAM D．2∠CAM＝∠BAC
5. (贺州) 如图，直线a∥b，∠1＝48°，则∠2等于( )
A．24° B. 42° C. 48° D. 132°
6. 如图所示，l1∥l2，AB⊥l1，∠ABC＝130°，那么∠α的度数为( )
A．60° B．50° C．40° D．30°
7. (攀枝花)如图，平行线AB，CD被直线EF所截，过点B作BG⊥EF于点G，已知∠1＝50°，则∠B＝( C )
A．20° B．30° C．40° D．50°
8．(葫芦岛)一个零件的形状如图所示，AB∥DE，AD∥BC，∠CBD＝60°，∠BDE＝40°，则∠A的度数是( B )
A．70° B．80° C．90° D．100°
9. 已知∠1＝30°，则∠1的补角的度数为________°.
10. 如图，直线a，b相交于点O，∠1＝50°，则∠2＝________°.
11. 如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AD的中点，若CD＝1，则AB＝________．
12. 如图，有一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1＝20°，那么∠2的度数是________．
13. (贵港) 如图，点O，C在直线n上，OB平分∠AOC，若m∥n，∠1＝56°，则∠2＝ ________.
14．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是__________．
15. 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行________分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．
16. 如图，已知直线a∥b，则y与x的函数关系是________．
第17讲 点、线、面、角、相交线与平行线
【基础梳理】
一、1.点 线 点 线 体 2.两 一 无 3.一 线段
线段 4.相等
二、1.射线 射线 2. 360 180 90 60 60
三、1.顶点 相等 2.相等 3.相等
四、1.90° 180° 2.相等 相等
五、1.(1)反向 (2)相等 2.(1)直 垂足 (2)①一条 ②垂线段 (3)长度 (4)①中点 垂直 ②相等 ③相等
3．(1)相交 (2)①一 ②平行 (3)距离 (4)垂直 长度 4.(1)相等 (2)相等 (3)互补 5.(1)相等 (2)相等 (3)互补
【重点突破】
[例1]C [变式1]B [变式2]B [例2]D [变式3]C
[例3]B [变式4]80 [例4]eq \r(7) [变式5]eq \r(3)
【达标检测】
1．C 2.D 3.A 4.C 5.C 6.C 7.C 8.B
9．150 10.50 11.4 12.25° 13.62° 14.15 15. 15
16．y＝x＋40
课标要求
1.点、线、面、角
(1)通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等(参见例59)．
(2)会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义．
(3)掌握基本事实：两点确定一条直线．
(4)掌握基本事实：两点之间线段最短．
(5)理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离．
(6)理解角的概念，能比较角的大小．
(7)认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差．
2．相交线与平行线
(1)理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等，同角(等角)的补角相等的性质．
(2)理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线．
(3)理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离．
(4)掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
(5)识别同位角、内错角、同旁内角．
(6)理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．
(7)掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
(8)掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. *了解平行线性质定理的证明．
(9)能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线．
(10)探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么两直线平行；平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补)．
(11)了解平行于同一条直线的两条直线平行.
考情分析
该内容主要是以填空、选择、解答题的形式来考查，分值为3～16分．主要考查的内容为：(1)互余、互补的角度计算；(2)平行线的性质；(3)平行线的判定；(4)方位角与平行线的综合应用．尤其是互余、互补的角度计算和平行线的性质，这两个知识点几乎每年各地市都考．预测这两个知识点依然是2021年中考的热点，建议加强对概念、性质的理解，掌握科学的方法，并练习加以巩固.
小结
解决这类互余、互补的角度计算的问题，关键是正确理解互余、互补这两个概念涉及的角之间的数量关系：互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°；有关余角、补角的计算问题，通常考虑用方程的思想来解决。
小结
解决与平行线的判定有关的问题时，关键是找到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补.
小结
平行线的判定和性质的因果关系恰好相反，“欲证平行用判定，已知平行用性质”．利用平行线的性质求角度：①观察所求角与已知角的位置关系，选择合理的角进行等量代换；②在解题过程中注意平角、直角、三角形内角和定理和三角形内外角关系的运用，必要时可作辅助线将所求角和已知角联系起来.
小结
这类问题难度不大，解题的关键是借助方位角与平行线的性质构造直角三角形并解直角三角形，注意当两个直角三角形有公共边时，利用这条公共边进行求解是解此类题型的常用方法.
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