中考数学一轮突破 基础过关 第18讲三角形的有关概念和性质

第18讲　三角形的有关概念和性质、全等三角形

一、三角形的概念和性质

1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的______条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形．

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接．

2. 三角形的分类

(1)按角分

三角形

(2)按边分

三角形

3. 三角形的高、中线、角平分线、中位线

(1)高：在三角形中，过一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和________之间的线段叫做三角形的高．三条高的交点叫做三角形的________．

注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线．

(2)中线：在三角形中，连接一个顶点和它所对边的________的线段叫做三角形的中线；三角形的三条中线的交点叫做三角形的________．

(3)角平分线：在三角形中，一个________角的平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的________叫做三角形的角平分线；三角形的三条角平分线的交点叫做三角形的________．

(4)中位线：连接三角形两边________的线段叫做三角形的中位线；三角形的中位线________于第三边，且等于第三边的________．

4. 三角形的性质

(1)三角形的内角和为________．

(2)三角形的外角和为________．

(3)三角形的一个外角等于和它________的两个内角的和；三角形的一个________大于与它不相邻的任何一个________．

(4)三角形的任意两边之和________第三边，任意两边之差________第三边．

二、全等三角形

1. 全等图形：能够完全________的两个图形称为全等图形；全等图形的形状和大小都________．

2. 全等三角形

(1)定义：能够完全________的两个三角形叫做全等三角形．

(2)性质：

①全等三角形对应边________；

②全等三角形对应角________．

3. 判定

(1)对应________相等的两个三角形全等(SSS)．

(2)________和它们的________对应相等的两个三角形全等(ASA)．

(3)________和其中一角的________对应相等的两个三角形全等(AAS)．

(4)________和它们的________对应相等的两个三角形全等(SAS)．

(5)________和一条________对应相等的两个直角三角形全等(HL)．

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三角形中的有关线段

(梧州，第14小题，3分)如图，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝6 cm，则DE的长度是________cm.

【思路点拨】由于D，E分别是AB，AC的中点，故可利用三角形的中位线定理得到DE＝BC＝×6＝3 cm.

(玉林、防城港，第6小题，3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是(　　)

A．AD＝AE  B．DB＝EC

C．∠ADE＝∠C  D．DE＝BC

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三角形的三边关系

(贺州，第7小题，3分)一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为(　　)

A．12  B．16  C．20  D．16或20

【思路点拨】本题考查三角形的三边关系及等腰三角形的性质．分类讨论：若腰长为4，因为4＋4＝8，此时不能构成三角形；若腰长为8，因为8－4<8<8＋4，此时能构成三角形，故C选项正确．

(来宾，第18小题，3分)在长度为2，5，6，8的四条线段中，任取三条线段，可构成________个不同的三角形．

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三角形中有关角度的计算

(北部湾经济区，第6小题，3分)如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于(　　)

A．40°  B．45°  C．50°  D．55°

【思路点拨】∠ACD＝∠A+∠B＝60°＋40°＝100°，又因为CE平分∠ACD，所以∠ECD＝∠ACD＝100°＝50°.

(柳州，第10小题，3分)

如图，图中∠1的大小等于(　　)

A．40°  B．50°

C．60°  D．70°

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全等三角形的性质和判定)

(柳州，第20小题，6分) 如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM、ON上，且OA＝OB.求证：△AOC≌△BOC.

【思路点拨】本题考查全等三角形的判定定理．根据两边及其角边分别对应相等的两个三角形全等，可以判定△AOC≌△BOC.

(河池，第22小题，8分)

(1)如图①，已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2.求证：△ACE≌△BCE；

(2)如图②，已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由．

1. 如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于(　　)

A．100°  B．80°  C．60°  D．40°

2. 三角形的下列线段中，能将三角形分成面积相等的两部分的是(　　)

A．中线  B．角平分线

C．高  D．中位线

3. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是(　　)

A．1 cm，2 cm，4 cm  B．4 cm，6 cm，8 cm

C．5 cm，6 cm，12 cm  D．2 cm，3 cm，5 cm

4. 如图，在△ABC中，D，E两点分别在BC，AC上，若BD＝CD，∠B＝∠CDE，DE＝2，则AB的长度是(　　)

A．4  B．5  C．6  D．7

,第4题图)　　　,第5题图)

5. 一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是(　　)

A．75°  B．60°  C．65°  D．55°

6. 如图所示，在△ABC中，BC＝8，点D是AC的中点，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则AC的长是(　　)

A．4  B．6  C．8  D．10

,第6题图)　　　,第7题图)

7. 如图，下列条件中不能证明△ABD≌△ACD的是(　　)

A．BD＝DC，AB＝AC

B．∠ADB＝∠ADC，∠BAD＝∠CAD

C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD

D．∠B＝∠C，BD＝DC

8. 如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为(　　)

A．3  B．4

C．3  D．4

9. 在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝2∠B，则∠B＝________.

10. 如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC＝66°，则∠AOE＝________.

,第10题图)　　　,第11题图)

11. 如图所示，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，请你添加一个适当的条件，使△ABC≌△DBE.(只需添加一个即可)

　.

12. (百色) 已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，BC＝EF，∠B＝∠E.

求证：(1)△ABC≌△DEF；

(2)AF＝DC.

13. 如图，已知AD是△ABC的中线，分别过点B，C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：BE＝CF.

14. 如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠B.求证：AB＝AC＋CD.

第18讲　三角形的有关概念和性质、全等三角形

【基础梳理】

一、1.三　3.(1)垂足　一点　(2)中点　重心　(3)内　线段　一点　(4)中点　平行　一半　4.(1)180°

(2)360°　(3)不相邻　外角　内角　(4)大于　小于

二、1.重合　相同　2.(1)重合　(2)①相等　②相等

3．(1)三边　(2)两角　夹边　(3)两角　对边

(4)两边　夹角　(5)斜边　直角边

【重点突破】

[例1]3　[变式1]D　[例2]C　[变式2]2　

[例3]C　[变式3]D

[例4]证明：∵OC平分∠MON，∴∠AOC＝∠BOC.

在△AOC和△BOC中，

∴△AOC≌△BOC(SAS)．

[变式4](1)证明：在△ACE与△BCE中，

∴△ACE≌△BCE.

(2)解：AE＝BE.

理由：如图，作∠DAF＝∠B，交DE的延长线于点F，在△ADF与△BCE中，

∴△ADF≌△BCE.

∴AF＝BE，∠AFD＝∠BEC.

∵∠BEC＝∠AEF，

∴∠AFD＝∠AEF.

∴AF＝AE.

又∵AF＝BE，∴AE＝BE.

【达标检测】

1．B　2.A　3.B　4.A　5.A　6.C　7.D　8.B　

9．40°　10.57°　11.BC＝BE(答案不唯一)

12．证明：(1)∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.

 在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF(AAS)．

(2)由(1)可得AC＝DF，∴AC－CF＝DF－FC.

∴AF＝DC.

13．证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，

∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD，

在△BDE和△CDF中，

∴△BDE≌△CDF(AAS)，∴BE＝CF.

14．证明：∵∠1＝∠B，∴∠AED＝2∠B，DE＝BE，

∵∠C＝2∠B，∴∠C＝∠AED.

在△ACD和△AED中，

∴△ACD≌△AED(AAS)∴AC＝AE，CD＝DE.

∴CD＝BE.∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD.