2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第四章　必刷小题8　解三角形

必刷小题8　解三角形

一、单项选择题

1．(2023·重庆模拟)在△ABC中，sin A＝，AC＝，B＝45°，则BC等于(　　)

A．2  B.  C．2  D．2

答案　D

解析　由正弦定理知，＝，

∴BC＝＝＝2.

2．(2023·南昌模拟)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sin B，则cos A等于(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　因为b＝3，c＝2，△ABC的面积为2sin B，所以S△ABC＝acsin B＝2sin B，

所以a＝2，由余弦定理得cos A＝＝.

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若asin A＋b(sin B＋sin A)＝csin C，则C等于(　　)

A．30°  B．60°  C．120°  D．150°

答案　D

解析　因为asin A＋b(sin B＋sin A)＝csin C，

所以由正弦定理得a2＋b(b＋a)＝c2，

化简得a2＋b2－c2＝－ab，

所以由余弦定理得cos C＝＝＝－，

因为C∈(0，π)，

所以C＝150°.

4．(2023·郑州模拟)2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单．某数学建模小组为测量塔的高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶D的仰角为45°，乙同学在二七广场B地测得纪念塔顶D的仰角为30°，塔底为C(A，B，C在同一水平面上，DC⊥平面ABC)，测得AB＝63 m，∠ACB＝30°，则纪念塔的高CD为(　　)

A．40 m   B．63 m

C．40m   D．63m

答案　B

解析　如图所示，∠DAC＝45°，∠CBD＝30°，∠ACB＝30°，设塔高CD为t，因为DC⊥平面ABC，所以DC⊥CA，DC⊥CB，

所以AC＝t，BC＝t，又AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，

即632＝t2＋3t2－2×t×t×，

解得t＝63 m.

5．(2022·南宁模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝2，b2＋c2＝a2＋bc，则△ABC外接圆的面积是(　　)

A.  B.  C．2π  D．4π

答案　B

解析　因为b2＋c2＝a2＋bc，所以b2＋c2－a2＝bc，

由余弦定理得cos A＝＝，

所以sin A＝，

设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R＝＝，

所以R＝，

所以△ABC外接圆的面积是πR2＝.

6．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，tan A＝，且B为钝角．则sin A＋sin C的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　A

解析　由tan A＝以及正弦定理得＝＝，所以sin B＝cos A，即sin B＝sin，

又B为钝角，所以＋A∈，

故B＝＋A，

C＝π－(A＋B)＝－2A>0⇒A∈，

于是sin A＋sin C＝sin A＋sin＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1＝－22＋，

因为A∈，所以0<sin A<，

由此<－22＋≤，即sin A＋sin C的取值范围是.

7．(2022·洛阳模拟)已知在△ABC中，AB＝5，AC＝4，则当函数f(A)＝sin＋cos－cos 2A取得最大值时，BC等于(　　)

A．4  B.  C.  D．2

答案　B

解析　f(A)＝2－cos 2A＝2sin－cos 2A＝2cos A－(2cos2A－1)＝－2cos2A＋2cos A＋1，

当cos A＝，即A＝时，f(A)max＝，

∴BC2＝52＋42－2×5×4×＝21，∴BC＝.

8．(2022·吉安模拟)在△ABC中，AB＝BC，点D是边AB的中点，△ABC的面积为，则线段CD的取值范围是(　　)

A．(0,1)   B．(1，＋∞)

C.   D.

答案　C

解析　设AB＝BC＝t，CD＝m，所以S△ABC＝t2sin B＝，即t2sin B＝，①

在△BCD中，由余弦定理得m2＝t2＋2－2t··cos B，

即t2cos B＝t2－m2，②

由①②得t4＝2＋，

即9t4－40m2t2＋16m4＋＝0，

令t2＝x>0，设g(x)＝9x2－40m2x＋16m4＋，则方程g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，所以g＝92－40m2×＋16m4＋≤0，解得m4≥，即m≥.

二、多项选择题

9．(2022·福州模拟)下列对△ABC解的个数的判断中正确的是(　　)

A．a＝7，b＝14，A＝30°，有一解

B．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解

C．a＝，b＝，A＝60°，有一解

D．a＝6，b＝9，A＝45°，有两解

答案　AB

解析　选项A，bsin A＝14sin 30°＝7＝a，则三角形有一解，判断正确；

选项B，bsin A＝25sin 150°＝，则a>b>bsin A，则三角形有一解，判断正确；

选项C，bsin A＝sin 60°＝，则a<bsin A，则三角形无解，判断错误；

选项D，bsin A＝9sin 45°＝，则a<bsin A，则三角形无解，判断错误．

10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝0，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形   B．等边三角形

C．等腰直角三角形   D．等腰三角形

答案　AD

解析　＋＝0，变形得＝，

结合余弦定理得＝，

因为c≠0，所以sin Bcos B＝sin Acos A，

即sin 2A＝sin 2B.

因为A，B∈(0，π)，

所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．

11．(2023·宁波模拟)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccos A＋asin C＝0，若角A的角平分线交BC于D点，且AD＝1，则下列结论正确的是(　　)

A．A＝   B．A＝

C．b＋c的最小值为2   D．b＋c的最小值为4

答案　AD

解析　由ccos A＋asin C＝0及正弦定理，

得sin Ccos A＋sin Asin C＝0，

因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＋sin A＝0，即tan A＝－，

因为A∈(0，π)，所以A＝，故A正确；

S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，

所以bc·sin ＝c·1·sin ＋b·1·sin ，

所以bc＝b＋c，即＋＝1，

所以b＋c＝(b＋c)＝2＋＋≥2＋2＝4，

当且仅当b＝c＝2时，等号成立，

所以b＋c的最小值为4，故D正确．

12．(2023·南昌模拟)已知O是△ABC的外心，若··＋·＝2m2，且2sin B＋sin C＝，则实数m可取的值为(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案　AB

解析　设△ABC的外接圆半径为R，因为O是△ABC的外心，故可得|AO|＝R，

且·＝||2＝c2，·＝||2＝b2，

故·＋·＝2m2，

即|AB|·|AC|＋|AB|·|AC|＝2mR2，

也即bc＝2mR2，则m＝，

又2sin B＋sin C＝，

由正弦定理可得2b＋c＝2R，则R2＝，

故m＝＝≤＝，

当且仅当＝，即c＝2b时，m取得最大值，

故结合选项知m可取的值为或.

三、填空题

13．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c＝，tan Atan B＝＋tan A＋tan B，则a2＋b2的取值范围为________．

答案　(5,6]

解析　方法一　由tan Atan B＝＋tan A＋tan B，

得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，

则＝－，

即tan(A＋B)＝－，

∴tan C＝.

又0<C<，

∴C＝，

∴A＋B＝.

又∵0<A<，0<B<，

∴<A<.

由正弦定理，得＝＝＝＝2，

∴a2＋b2＝(2sin A)2＋(2sin B)2

＝4

＝4

＝4

＝4.

又∵<A<，

∴<2A－<，

∴<sin≤1，

∴5<a2＋b2≤6，即a2＋b2的取值范围为(5,6]．

方法二　由tan Atan B＝＋tan A＋tan B，

得tan A＋tan B＝(tan Atan B－1)，

则＝－，

即tan(A＋B)＝－，

∴tan C＝.

又0<C<，

∴C＝.

设A＝－α，B＝＋α.

∵0<－α<，0<＋α<，

∴－<α<.

由正弦定理，得＝＝＝＝2，

∴a2＋b2＝(2sin A)2＋(2sin B)2

＝4

＝4

＝4

＝4＋2cos 2α.

∵－<α<，

∴－<2α<，

∴<cos 2α≤1，

∴5<a2＋b2≤6，

即a2＋b2的取值范围为(5,6]．

14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos2C＝sin2A＋cos2B－sin Asin C，且b＝6，则B＝________，△ABC外接圆的面积为________．

答案　　12π

解析　由cos2C＝sin2A＋cos2B－sin Asin C，

可得1－sin2C＝sin2A＋1－sin2B－sin Asin C，

即sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C，

则由正弦定理得ac＝a2＋c2－b2，由余弦定理可得cos B＝＝，

又因为B∈(0，π)，可得B＝，

所以△ABC外接圆的半径R＝＝2，

所以△ABC外接圆的面积为πR2＝12π.

15．(2023·临汾模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足5a2＋3b2＝3c2，则tan A的最大值为________．

答案　

解析　∵5a2＋3b2＝3c2，∴a2＝，

∴cos A＝＝＝≥＝，

当且仅当c2＝4b2，即c＝2b时等号成立，

又A∈(0，π)，∴cos A∈，cos2A∈，

∴tan A＝＝≤＝.

16.(2023·晋中模拟)如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC且夹角为120°的公路(长度均超过4千米)，在两条公路AB，AC上分别设立游客上、下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM＝5千米，AN＝3千米．若∠MPN＝60°，则两条观光线路PM与PN之和的最大值为________千米．

答案　14

解析　在△AMN中，由余弦定理得，

MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos 120°＝25＋9－2×5×3×＝49，

所以MN＝7千米．

设∠PMN＝α，

因为∠MPN＝60°，所以∠PNM＝120°－α，0°<α<120°，

在△PMN中，由正弦定理得＝＝＝＝，

所以PM＝sin(120°－α)，PN＝sin α，

因此PM＋PN＝sin(120°－α)＋sin α

＝×＝×＝14sin(α＋30°)，

因为0°<α<120°，

所以30°<α＋30°<150°.

所以当α＋30°＝90°，即α＝60°时，PM＋PN取到最大值14千米．