新高考数学一轮复习课件 第8章　必刷小题16　圆锥曲线（含详解）

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故可得a＝10，b＝8，c＝6，则椭圆的长轴长2a＝20.
2.(2022·郑州模拟)已知椭圆C： 以C的上、下顶点和一个焦点为顶点的三角形的面积为48，则椭圆的长轴长为A.5 B.10 C.15 D.20
因为点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，
3.(2022·长春模拟)已知M为抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点，点M到C的焦点的距离为7，到x轴的距离为5，则p等于A.3 B.4 C.5 D.6
4.(2023·河北衡水中学检测)阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆C的离心率为 面积为12π，则椭圆C的方程为
解得a2＝16，b2＝9，
5.(2022·滁州模拟)已知椭圆 ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且在x轴的下方，若线段PF2的中点在以原点O为圆心，OF2为半径的圆上，则直线PF2的倾斜角为
设线段PF2的中点为M，连接PF1，MF1，如图所示，则F1F2为圆O的一条直径，则F1M⊥PF2，因为M为PF2的中点，则|PF1|＝|F1F2|＝2c＝2，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
6.(2023·石家庄模拟)已知，点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足记为点N，点M(3,4)，则|PM|＋|PN|的最小值是
由抛物线C：y2＝4x知，焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如图，由抛物线定义知|PN|＋|PM|＝|PQ|－1＋|PM|＝|PF|＋|PM|－1，当F，P，M三点共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，
作PM⊥x轴于点M，如图，
则∠PF2M＝60°，由题意知F2(c,0)，
由双曲线的定义知|PF1|＝2a＋2c，而|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由余弦定理得|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2－2|PF2|·|F1F2|cs∠PF2F1，
8.(2022·连云港模拟)直线l：y＝－x＋1与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，圆M过两点A，B且与抛物线C的准线相切，则圆M的半径是A.4 B.10C.4或10 D.4或12
可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝－4，即y1＋y2＝－x1＋1－x2＋1＝－4，则x1＋x2＝6，可得AB的中点坐标为P(3，－2)，易知，直线l过抛物线焦点(1,0)，则|AB|＝x1＋1＋x2＋1＝8，且AB的垂直平分线方程为y－(－2)＝1×(x－3)，
即y＝x－5，则可设圆M的圆心为M(a，b)，半径为r，所以b＝a－5，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，即(x－a)2＋(y－a＋5)2＝r2，
则16＋2(a－3)2＝r2，①又因为圆M与抛物线C的准线相切，所以|a＋1|＝r，即(a＋1)2＝r2，②
二、多项选择题9.(2023·济南模拟)已知双曲线C： ＝1(m>0)，则下列说法正确的是A.双曲线C的实轴长为2B.双曲线C的焦点到渐近线的距离为mC.若(2,0)是双曲线C的一个焦点，则m＝2D.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
因为(2,0)是双曲线C的一个焦点，
根据抛物线的性质知，MN过焦点F时，
过点M，N，P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，垂足分别为M′，N′，P′(图略)，所以|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|.
所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，
12.(2022·济宁模拟)已知双曲线C： ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则A.||PA1|－|PA2||＝2aB.若焦点F2关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为C.若双曲线C为等轴双曲线，则直线PA1的斜率与直线PA2的斜率之积为1D.若双曲线C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则∠PA1A2＝
对于A，在△PA1A2中，根据三角形两边之差小于第三边，得||PA1|－|PA2||<|A1A1|＝2a，故A错误；
设F2关于双曲线C的渐近线的对称点为(m，n)，
由题意知该点在双曲线上，
将c2＝a2＋b2 代入，化简整理得b4－3a2b2－4a4＝0，即b2＝4a2，
对于C，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，设P(x0，y0)(y0≠0)，
对于D，双曲线C为等轴双曲线，即C：x2－y2＝a2(a>0)，
且∠A1PA2＝3∠PA1A2，设∠PA1A2＝θ，∠A1PA2＝3θ，则∠PA2x＝4θ，根据C的结论 · ＝1，即有tan θ·tan 4θ＝1，在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
三、填空题13.(2022·烟台模拟)写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程_______________________.①中心为坐标原点；②焦点在坐标轴上；③离心率为
14.(2023·衡水中学模拟)若双曲线 ＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为_____.
15.(2023·海东模拟)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与 相关的代数问题可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)
16.(2022·临沂模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，Q(2,3)为C内的一点，M为C上的任意一点，且|MQ|＋|MF|的最小值为4，则p＝_____；若直线l过点Q，与抛物线C交于A，B两点，且Q为线段AB的中点，则△AOB的面积为______.
如图，过点M作MM1垂直准线于点M1，由抛物线定义可知|MF|＝|MM1|.所以|MQ|＋|MF|＝|MQ|＋|MM1|.过点Q作QQ1垂直准线于点Q1，交抛物线于点P，所以|MQ|＋|MM1|≥|PQ|＋|PQ1|，所以当M在P处时，|MQ|＋|MM1|＝|PQ|＋|PQ1|＝|QQ1|最小，
所以抛物线标准方程为x2＝4y.
即(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2).因为Q(2,3)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝4，
所以直线AB的方程为y－3＝1×(x－2)，即y＝x＋1.
所以x1＋x2＝4，x1x2＝－4.