2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版）第2章　必刷小题2　函数的概念与性质

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这是一份2025年高考数学一轮复习讲义（新高考版）第2章　必刷小题2　函数的概念与性质，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·太原模拟)已知函数f(x)＝eq \r(x2－3x)的定义域为A，集合B＝{x|－1A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析由题设，x2－3x≥0，可得定义域A＝{x|x≤0或x≥3}，
所以A∩B＝{x|－12．(2023·深圳模拟)若定义在R上的函数f(x)不是偶函数，则下列命题正确的是( )
A．∀x∈R，f(x)＋f(－x)＝0
B．∃x∈R，f(x)＋f(－x)＝0
C．∃x∈R，f(x)≠f(－x)
D．∀x∈R，f(x)≠f(－x)
答案 C
解析因为定义在R上的函数f(x)不是偶函数，
所以∀x∈R，f(x)＝f(－x)为假命题，
则∃x∈R，f(x)≠f(－x)为真命题．
3．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝ax5＋bx3＋2，若f(2)＝7，则f(－2)等于( )
A．－7 B．－3 C．3 D．7
答案 B
解析设g(x)＝f(x)－2＝ax5＋bx3，则g(－x)＝－ax5－bx3＝－g(x)，即f(x)－2＝－f(－x)＋2，故f(－2)＝－f(2)＋4＝－3.
4．(2023·扬州模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝－eq \f(1,x) B．y＝x－sin x
C．y＝tan x D．y＝x3－x
答案 B
解析 y＝－eq \f(1,x)是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，故A错误；
y＝x－sin x，因为y′＝1－cs x≥0，x∈R，
所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确；
y＝tan x在定义域上是奇函数但不是单调函数，故C错误；
y＝x3－x在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误．
5．(2022·镇江模拟) “函数f(x)＝sin x＋(a－1)cs x为奇函数”是“a＝1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析函数f(x)＝sin x＋(a－1)cs x为奇函数，
则sin(－x)＋(a－1)cs(－x)＝－sin x－(a－1)cs x，
化简得a－1＝0，故a＝1，
当a＝1时，f(x)＝sin x是奇函数，
因此“函数f(x)＝sin x＋(a－1)cs x为奇函数”是“a＝1”的充要条件．
6．(2023·郑州模拟)已知f(x)＝x3＋2x，若a，b，c∈R，且a＋b<0，a＋c<0，b＋c<0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( )
A．大于0 B．等于0
C．小于0 D．不能确定
答案 C
解析因为f(x)＝x3＋2x，x∈R，
f(－x)＝(－x)3＋2(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，
所以f(x)是R上的奇函数，
又因为f′(x)＝3x2＋2>0，
所以f(x)在R上单调递增，
又因为a＋b<0，a＋c<0，b＋c<0，
所以a<－b，c<－a，b<－c，
所以f(a)所以f(a)＋f(b)＋f(c)<－[f(a)＋f(b)＋f(c)]，
即f(a)＋f(b)＋f(c)<0.
7．函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))D．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))答案 B
解析因为函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，
所以函数y＝f(x)在[2,4]上单调递减，且在[0,4]上满足f(2－x)＝f(2＋x)，
所以f(1)＝f(3)，
因为2f(3)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2)))，
则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))>f(1)>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,2))).
8．已知函数f(x)＝xsin x＋cs x＋x2，则不等式f(ln x)＋f(－ln x)<2f(1)的解集为( )
A．(e，＋∞) B．(0，e)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,e)))∪(1，e) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，e))
答案 D
解析函数f(x)＝xsin x＋cs x＋x2的定义域为R，
f(－x)＝－xsin(－x)＋cs(－x)＋(－x)2＝xsin x＋cs x＋x2＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，
f′(x)＝xcs x＋2x＝x(2＋cs x)，当x>0时，2＋cs x>0，则f′(x)>0，
所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
由f(ln x)＋f(－ln x)＝2f(ln x)<2f(1)，
可得f(|ln x|)即－1二、多项选择题
9．(2023·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是( )
A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝eq \f(2,ex＋1)－1
C．f(x)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\r(x2＋1))) D．f(x)＝ln sin x
答案 ABC
解析由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝eq \f(2,ex＋1)－1＝eq \f(1－ex,ex＋1)可得，f(－x)＝eq \f(1－e－x,e－x＋1)＝eq \f(ex－1,ex＋1)＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝ln(x＋eq \r(x2＋1))可得，f(－x)＝ln(－x＋eq \r(x2＋1))＝ln eq \f(1,x＋\r(x2＋1))＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝ln sin x知，sin x>0，所以2kπ10．已知函数f(x)的定义域是[－1,5]，且f(x)在区间[－1，2)上单调递增，在区间[2,5]上单调递减，则以下说法一定正确的是( )
A．f(2)>f(5)
B．f(－1)＝f(5)
C．f(x)在定义域上有最大值，最大值是f(2)
D．f(0)与f(3)的大小不确定
答案 AD
解析由函数f(x)在区间[2,5]上单调递减，
可得f(2)>f(5)，故A正确；
题中条件没有说明函数关于直线x＝2对称，
所以f(－1)和f(5)未必相等，故B不正确；
根据题意不确定f(x)在[－1,5]上是否连续，
所以不能确定最大值是f(2)，故C不正确；
x＝0和x＝3不在同一个单调区间，且函数没有提及对称性，
所以f(0)与f(3)的大小不确定，故D正确．
11．若定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，f(1＋x)＝－f(1－x)，下列四个结论正确的是( )
A．f(x)是周期为4的周期函数
B．f(x)的图象关于点(1,0)对称
C．f(x)是偶函数
D．f(x)的图象经过点(－2,0)
答案 ABC
解析由f(x＋2)＝－f(x)，
得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为4，故A正确；
又f(1＋x)＝－f(1－x)，
所以f(x)图象关于(1,0)对称，故B正确；
又f(－x)＝－f(－x＋2)＝－f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数，故C正确；
又f(－2)＝－f(－2＋2)＝－f(0)，
无法判断其值，故D错误．
12．(2023·淮北模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则( )
A．f(－2)＝0 B．f(1)＝0
C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
答案 ACD
解析因为f(x＋2)为奇函数，
所以f(x＋2)的图象经过原点(0,0)，即f(2)＝0，故C正确；
由f(x＋2)的图象向右平移2个单位长度可得函数f(x)的图象知，f(x)的图象过点(4,0)，即f(4)＝0，
因为f(2x＋1)为偶函数，所以f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，
所以当x＝eq \f(3,2)时，f(－2)＝f(4)＝0，故A，D正确；
令f(x)＝sin eq \f(π,2)x，则满足f(x＋2)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，显然B不满足．
三、填空题
13．(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋1，x<0，,sin x，x≥0，))则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(52π,3)))))＝________.
答案 eq \f(7,4)
解析由题意，可得f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(52π,3)))＝sin eq \f(52π,3)＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(52π,3)))))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))2＋1＝eq \f(7,4).
14．已知函数f(x)同时满足下列条件：①f(x)的定义域为(－∞，＋∞)；②f(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则f(x)的一个解析式是________．
答案 f(x)＝－x2或f(x)＝－|x|(答案不唯一)
解析根据题意，可知函数f(x)同时满足三个条件，
若f(x)＝－x2，则f(x)为二次函数，定义域为(－∞，＋∞)，开口向下，对称轴为x＝0，是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故同时满足三个条件，
所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－x2；
若f(x)＝－|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，x≥0，,x，x<0，))则此时函数的定义域为(－∞，＋∞)，根据一次函数和分段函数，可知f(x)＝－|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
故同时满足三个条件，
所以f(x)的一个解析式是f(x)＝－|x|.
15．已知函数f(x)＝|x3＋2x＋a|在[1,2]上的最大值是6，则实数a的值是________．
答案－9或－6
解析当a≥0时，f(x)＝x3＋2x＋a(1≤x≤2)，
f(2)＝23＋22＋a＝12＋a≥12，不符合题意；
当a<0时，y＝x3＋2x＋a在[1,2]上单调递增，
3＋a≤x3＋2x＋a≤12＋a，
而3＋a<3,3＋a<12＋a，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＋a＝－6，,12＋a≤6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＋a＝6，,3＋a≥－6，))
所以a＝－9或a＝－6.
16．已知函数f(x)＝eq \f(1,x2＋1)－ln|x|，则使不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2))
解析函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝eq \f(1,－x2＋1)－ln|－x|＝eq \f(1,x2＋1)－ln|x|＝f(x)，
故函数f(x)为偶函数，且当x>0时，f(x)＝eq \f(1,x2＋1)－ln x，
因为函数y＝eq \f(1,x2＋1)，y＝－ln x均在(0，＋∞)上单调递减，故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
由f(2t＋1)>f(t＋3)得f(|2t＋1|)>f(|t＋3|)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2t＋1|<|t＋3|，,2t＋1≠0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|2t＋1|2<|t＋3|2，,2t＋1≠0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t－23t＋4<0，,t≠－\f(1,2)，))
解得－eq \f(4,3)故不等式f(2t＋1)>f(t＋3)成立的实数t的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，2)).