四川省绵阳中学英才学校2022-2023学年九年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年四川省绵阳中学英才学校九年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列立体图形中，主视图是圆的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某种芯片每个探针单位的面积为，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算结果正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  是的平分线，，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  若事件“关于的一元二次方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D. 且

7.  如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，若，，，则的长为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  如图，小球从入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从出口落出的概率是(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  学校为了丰富学生的知识准备购买一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多元，已知学校用元购买科普类图书的本数与用元购买文学类图书的本数相同。设文学类图书平均每本元，则列方程正确的是．(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，是的直径，点是外一点，连接交于点，连接并延长交于点，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，的一条直角边在轴上，双曲线与的斜边相交于点，与另一直角边相交于点若，则与的面积比为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，二次函数的对称轴为，，是关于的方程的两个根，有以下结论：；；；当时，其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  分解因式： ______ ．

14.  把抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线为______．

15.  如图，某小区车库顶部是居民健身平台，在平台上垂直安装了太阳能灯已知平台斜坡的坡度：，坡长为米在坡底处测得灯的顶端的仰角为，在坡顶处测得灯的顶端的仰角为，则灯的顶端与地面的距离______ 结果保留根号．

16.  如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的处，且，若，则 ______ ．

17.  如图，是以原点为圆心，为半径的圆，点是直线上的一点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为______．

18.  如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上不与两端点重合，过点作于点，连接，给出下列判断：
∽；
折痕的长度的取值范围为；
当四边形为正方形时，为的中点；
若，则折叠后重叠部分的面积为．
其中正确的是______写出所有正确判断的序号

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．
先化简后求值：，其中满足．

20.  本小题分
量子计算原型机“九章”求解数学算法高斯玻色取样的速算只需秒，这一突破使我国成为全球第二个实现“量子优越性”的国家，牢固确立了我国在国际量子计算研究领域的领先地位为了解初中学生对量子计算的知晓情况，某数学兴趣小组在本校学生中开展了专题调查活动，随机抽取了部分学生进行问卷调查，根据学生的答题情况，将结果分为，，，四类，分别表示“非常了解”“比较了解”“基本了解”“不太了解”，并根据调查结果绘制了如下两幅尚不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题：
本次调查一共调查了______ 名学生，并补全条形统计图；
若该校共有初中学生名，请你估计该校初中学生对量子计算“基本了解”的人数；
某班有四位同学男女非常了解量子计算，学校准备从中选位同学参加知识问答竞赛，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率．

21.  本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象有公共点，直线轴于点，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点，．
求一次函数与反比例函数的解析式；
求的面积；
根据图象回答，在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．

22.  本小题分
小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈已知买支百合和支康乃馨共需花费元，支康乃馨的价格比支百合的价格多元．
求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
小美准备买康乃馨和百合共支，且百合不少于支设买这束鲜花所需费用为元，康乃馨有支，求与之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．

23.  本小题分
如图，内接于，是的直径延长线上一点，，过点作的平行线交的延长线于点．
试判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的面积．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于，两点，直线：交轴于点点为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的垂线，垂足为，分别交直线，于点，．
求和的值；
当时，连接，求的面积；
是轴上一点，当四边形是矩形时，求点的坐标．

25.  本小题分
【问题提出】如图，正方形中，点是边的中点，点在边上，且，连接、、，求证：是直角三角形．
【问题探究】如图，正方形的边长为，点在边上，交于点，点在线段上，且，连接．
当点是边的中点时，求四边形的周长；
当点在线段上运动时，四边形的周长是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由；
【问题解决】如图，在条件下，随着点在边上移动，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，求解即可．
【解答】
解：的相反数是：，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、的主视图是圆，故A符合题意；
B、的主视图是矩形，故B不符合题意；
C、的主视图是三角形，故C不符合题意；
D、的主视图是正方形，故D不符合题意；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：原式，故A错误；
B.中没有同类项，不能合并，故B错误；
D.原式，故D错误；
故选：．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为，平分，
所以，
因为，
所以，
故选：。
根据角平分线的定义得出的度数，再利用平行线的性质可得答案。
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的定义和平行线的性质。
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查的是随机事件及根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
根据位似变换的概念得到∽，根据相似三角形的性质计算得到答案．
【解答】
解：，，
，，
：：，
与是以坐标原点为位似中心的位似图形，
∽，
：：：，
，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了概率的求法，读懂题目信息，得出小球最终落出的点的可能情况是解题的关键．
根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点、、处都是等可能情况，从而得到在四个出口、、、也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
【解答】
解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有、、、四个，
所以小球从出口落出的概率是：，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：设文学类图书平均每本元，则科普类图书平均每本元，
依题意，得：．
故选：．
设文学类图书平均每本元，则科普类图书平均每本元，根据数量总价单价结合用元购买科普类图书的本数与用元购买文学类图书的本数相等，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
是的直径，
．
，
．
．
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
故选：．
连接、，由圆周角定理得，再由三角形外角性质知，则，然后由圆内接四边形的性质得，即可得出结论．
本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形和圆内接四边形．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
由题意可得：，
则∽，
，
，
，
，都在反比例函数图象上，
，
与的面积比为：．
故选：．
直接利用相似三角形的判定与性质得出，再利用反比例函数系数的几何意义，进而得出答案．
本题考查了反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定及性质、三角形的面积公式以及矩形的面积公式，解题的关键是找出关于的一元一次方程．
 

12.【答案】 

【解析】解：二次函数开口向下，
，
二次函数的图象交于轴的正半轴，
当时，，
故错误，
二次函数的对称轴为，
，即，，
，是关于的方程的两个根，
，
，
故正确；
联立，
解得：，
结合图象可知：，
若正确，则有：，
即，此与矛盾，
故错误；
结合图象可知：当时，二次函数图象在一次函数图象的上方，
，
，
，
故正确；
故选：．
二次函数开口向下，则有，根据二次函数的图象交于轴的正半轴，可判断；根据二次函数的对称轴以及，是关于的方程的两个根，结合根于系数的关系可判断；联立，得出，可判断；结合图象可知：当时，二次函数图象在一次函数图象的上方，即，可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的综合以及一元二次方程的根于系数的关系等知识是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为，把向右平移个单位，再向下平移个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线为．
故答案为．
利用二次函数的性质得抛物线的顶点坐标为，利用点平移的规律得到，点平移后对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
 

15.【答案】米 

【解析】解：过点作于点，过点作于点，
由题意得，米，，，，，
斜坡的坡度：，
，
即，
在中，由勾股定理得，
解得，
米，米，
设米，则米，
在中，，
解得，
米，
在中，，
，
即，
解得，
米．
灯的顶端与地面的距离为米．
故答案为：米．
过点作于点，过点作于点，由坡度的定义及斜坡的坡长为米，可得米，米，设米，则米，在中，，解得，则米，在中，，可得，即，求出的值，进而可得答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，，
把等边沿着折叠，使点恰好落在边上的点处，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等边三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
由在直线上，设，连接，，由为圆的切线，得到，在直角三角形中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出的最小值．
【解答】
解：在直线上，
设坐标为，
连接，，由为圆的切线，得到，
在中，根据勾股定理得：，
，
则当时，切线长的最小值为．
故答案为：．  

18.【答案】 

【解析】解：如图，由折叠可知，

，
，
，
，
，
，
∽，故正确；
当与重合时，，此时最小，
当与重合时，如图，此时最大，

由勾股定理得：，
，
，即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
点在线段上不与两端点重合，
折痕的长度的取值范围为；故正确；
如图，连接，，

当四边形为正方形时，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
，
，
，
为的中点；故正确；
如图，连接，
，，

，，
，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
，
折叠后重叠部分的面积为：；
故正确；
所以本题正确的结论有：；
故答案为：．
根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定正确；
根据最大值和最小值时的位置可判定正确；
根据边形为正方形和勾股定理分别各边的长，可判定正确；
根据相似三角形的性质和勾股定理可得，，和的长，利用面积和可判定正确；从而求解．
本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质，解答本题主要应用了矩形的性质、翻折的性质，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到相等的边和角是解题的关键．
 

19.【答案】解：


；




，
，
，
当时，原式． 

【解析】先根据绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值，有理数的乘方和负整数指数幂进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先根据分式的减法法则算括号里面的，根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后代入求出答案即可．
本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，实数的混合运算和分式的化简求值等知识点，能正确根据实数的运算法则和分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：本次调查一共调查了名学生，并补全条形统计图，如图；


人，

如图可知，共有种等可能性，其中一男一女的占种，
故一男一女的概率为．
根据扇形统计图种占和条形统计图中的人数是可得到总人数，通过的占可得到的人数，通过总人数减去、、的人数，可得到的人数，然后补全条形统计图；
根据条形统计图，有人，除以总人数，再乘以算出“基本了解”的人数；
根据要求来画出树状统计图，然后通过结果来得到结论．
本题考查扇形统计图和条形统计图的读图，补图，和树状统计图的使用．
 

21.【答案】解：一次函数与反比例函数的图象有公共点，．
将点代入反比例函数可得：，
解得：，
反比例函数的解析式为：；
将代入反比例函数的解析式，得：，
解得：，
点，
将点与代入一次函数解析式得：，
解得：，
一次函数的解析式为：；

点，
与的横坐标为，
点的纵坐标为：，
点的纵坐标为：，
点，点，
，
；

如图，当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 

【解析】由一次函数与反比例函数的图象有公共点，，直接利用待定系数法求解即可求得答案；
由直线轴于点，可求得点与的坐标，继而求得的面积；
观察图象，即可求得在什么范围时，一次函数的值大于反比例函数的值．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．
 

22.【答案】解：设买一支康乃馨需元，买一支百合需元，
则根据题意得：
解得：
答：买一支康乃馨需元，买一支百合需元；
根据题意得：，
百合不少于支，
，
解得：，
，
随的增大而减小，
当时，最小，
即买支康乃馨，买支百合费用最少，元，
答：与之间的函数关系式：，买支康乃馨，买支百合费用最少，最少费用为元． 

【解析】设买一支康乃馨需元，买一支百合需元，根据题意列方程组求解即可；
根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，然后根据函数的性质和百合不少于支求函数的最小值即可．
本题主要考查一次函数的性质和二元一次方程组的应用，关键是利用题意写出函数关系式．
 

23.【答案】解：是的切线，理由如下：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，即，
是半径，
是的切线；
在中，，
，
，
，，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
，
． 

【解析】由圆周角定理得出，进而得出，由等腰三角形的性质得出，结合已知得出，得出，即可得出是的切线；
由，得出，由∽，得出，进而求出，，，由平行线分线段成比例定理得出，进而求出，即可求出的面积．
本题考查了直线与圆的位置关系，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形面积的计算公式是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线与坐标轴交于，两点，
，
解得：，
，；
，，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，，，
，
当时，，
解得：，
，，，
，，
；
如图，直线：交轴于点，
，
，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
，
即，
四边形是矩形，
，，，，
，，
轴，
轴，
，，
≌，≌，
，，
，
是的中点，
． 

【解析】运用待定系数法即可求出和的值；
运用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，，，根据，建立方程求出，再运用，即可求得答案；
先证明∽，得出，再根据四边形是矩形，可得：，，，，进而可证得：≌，≌，得出：，，推出是的中点，即可求出点的坐标．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，点是边的中点，且，
，，，
，，
∽，
，
又，
，
，
是直角三角形；
解：由题意知，，，
，
，
∽，
，
又，
，
在中，，
在中，，
四边形的周长为：；
是定值，
设，
，
由得：∽，
，
，
在中，，
在中，，
负值已舍，
四边形的周长为：，
四边形的周长与无关，为定值；
解：由知，，
即当时，有最小值，最小值为，
当点在上移动时，的最小值为． 

【解析】利用两边成比例且夹角相等，可证明∽，得，从而证明结论；
利用两个角相等证明∽，得，可得的长，再利用勾股定理求出和的长，可得答案；
设，由同理，用的代数式表示出、、的长，从而解决问题；
由知，，利用二次函数的性质可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的判定，勾股定理，二次函数的性质等知识，运用含的代数式表示出各线段的长是解题的关键．