2022年四川省绵阳中学英才学校中考数学二模试卷（含解析）

2022年四川省绵阳中学英才学校中考数学二模试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数中负数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 成人每天维生素的摄入量约为克．数据“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 若和的和是单项式，则的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知点的坐标为，且，则点关于轴的对称点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图是由大小相同的小正方体搭成的几何体，关于该几何体的三视图有下列说法：主视图是轴对称图形；左视图是轴对称图形；俯视图是中心对称图形．其中说法正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

6. 如图，在正六边形中，，分别为边，的中点，与相交于点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 小明去商店购买、两种玩具，共用了元钱，种玩具每件元，种玩具每件元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量多于种玩具的数量．则小明的购买方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

8. 小莹同学个周综合素质评价成绩统计如下：

这个周的综合素质评价成绩的中位数和方差分别是(    )

A. ，     B.   ，    C. ，     D. ，     

9. 如图，菱形在平面直角坐标系中，边在轴的负半轴上，点在反比例函数的图象上．若，，则反比例函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，矩形纸片，，，为边上一点，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作于点，为线段的中点，连接，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，点，矩形的顶点，分别在轴，轴上，对角线轴，已知，现将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线恰好平分矩形的面积，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知实数，满足，若，且，则的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13. 在实数范围内分解因式： ______ ．
14. 已知函数在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
15. 有四张质地一样的不透明卡片，正面分别写有数字，，，，现将它们背面朝上洗匀，随机抽取两张，其上面的数字分别记为，，则关于的一元二次方程有实数根的概率是______．
16. 如图，线段，与相交于点，，于点，平分交于点，则的度数是______．
17. 如图，内切于正方形中，与、边相切的点分别为、，对角线交于点，，连接，，则的值是______．

18. 如图，在中，，，，点为的中点，点是边上一个动点，将沿着翻折，使得点落在点处，当时，的长为______．

三、解答题（本大题共7小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 本小题分
    计算：．
    先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
    随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
     

根据图中信息，解答下列问题：

求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；

求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；

该校共有学生人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．

21. 本小题分
    为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批、两种型号的智能黑板．经市场调查发现，今年每套型智能黑板的价格比每套型智能黑板的价格多万元，且用万元恰好能购买套型智能黑板和套型智能黑板．
    求今年每套型、型智能黑板的价格各是多少万元．
    该市明年计划采购型、型智能黑板共套，考虑物价因素，预计明年每套型智能黑板的价格比今年上涨，每套型智能黑板的价格不变．若购买型智能黑板的总费用不低于购买型智能黑板的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划．
22. 本小题分
    在矩形中，，，点是对角线上一动点不与点，重合，连接，过点作交线段于点，设．
    如图，求的值用含的代数式表示．
    如图，连接，当平分时，求的值．
     
23. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，轴于点，点是线段的中点，，，点的坐标为．
    求该反比例函数和一次函数的解析式．
    点是直线下方反比例函数图象上一点，且，求点的坐标．

24. 本小题分
    如图，四边形内接于，，，垂足为，点在的延长线上，且，连接、．
    求证：；
    若，，求的值．

25. 本小题分
    如图，直角三角形的斜边在轴上，直角顶点在轴正半轴上，已知，，抛物线经过点，，．
    求抛物线的解析式．
    如图，点是轴右侧抛物线上一动点，若，求点的坐标．
    如图，点是第一象限内抛物线上的一个动点，连接交于点，交轴于点，连接设，的面积分别为，，求的最大值．
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是正数，
B、，是负数，
C、，是正数，
D、，是正数，
故选：．
根据有理数的乘方的性质，相反数的定义，绝对值的意义依次进行化简即可得出答案．
本题主要考查了有理数的乘方的性质，相反数的定义，绝对值的意义，难度适中．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，表示形式为为正整数，关键是掌握等于原数第一个非零数字前所有零的个数，包括小数点前面的这个零．根据用科学记数法表示绝对值较小的数的方法进行解答即可．
【解答】
解：．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：和的和是单项式，
和是同类项，
，，
，的平方根为．
故选：．
根据单项式的和是单项式，可得同类项，根据同类项是字母项相同且相同字母的指数也相同，可得、的值，再代入计算可得答案．
本题考查了平方根，同类项，同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
解得：，，
的坐标为，
点关于轴的对称点坐标为．
故选：．
根据关于轴对称点的坐标特点和非负数的性质解答即可．
本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特点，熟练掌握关于轴对称点的横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：左视图是轴对称图形．

故主视图不是轴对称图形，故说法错误；
左视图是轴对称图形，故说法正确；
俯视图是中心对称图形，故说法正确；
所以说法正确的有个．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，再根据轴对称图形的定义可得答案．
此题考查了轴对称图形，以及学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
 

6.【答案】 

【解析】解：六边形是正六边形，
，，
，分别为边，的中点，
，
≌，
，
，
，
，
故选：．
根据正六边形的性质可得，，利用全等三角形的判定与性质可得，然后利用三角形的内角和定理可得答案．
本题考查了正六边形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，通过证三角形全等得到是解决此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在．
设小明购买了种玩具件，则购买的种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可．
【解答】
解：设小明购买了种玩具件，则购买的种玩具为件，根据题意得，

解得，，
为整数，也为整数，
或或，
有种购买方案．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查中位数和方差，解题的关键是掌握中位数和方差的定义．
根据中位数和方差的定义计算可得．
【解答】
解：这个周的综合素质评价成绩的中位数是分，
平均成绩为分，
这组数据的方差为，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：连接，过作于，则，

四边形是菱形，，，
，，
，
，
，
点的坐标是，
点在反比例函数的图象上，
，
即反比例函数的解析式是，
故选：．
连接，过作于，根据菱形的性质得出，，根据直角三角形的性质求出和，得出点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．
本题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求反比例函数的解析式，直角三角形的性质等知识点，能求出点的坐标是解此题的关键．，
 

10.【答案】 

【解析】解：连结，，
由折叠可知，是的中点，
是的中点，
是的中位线，
，
，，
在中，，
，
故选：．
连结，，可得是的中位线，则，求出即可求解．
本题考查图形的翻折变换，熟练掌握图形的折叠的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：作轴于，连接，交于点，则是的中点，
对角线轴，，．
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
当时，，
，
设平移后的直线为，
当经过点时，平移后的直线恰好平分矩形的面积，
，解得，
平移后的直线为，
当时，，
，
的值为，
故选：．
作轴于，连接，交于点，则是的中点，根据矩形的中心对称性可知当经过点时，平移后的直线恰好平分矩形的面积，根据直线解析式求出点移动到过点时的的值，从而得到的取值．
本题考查了一次函数的图象与几何变换，矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，明确直线经过矩形对角线的交点平分矩形的面积是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：实数，满足，，
，，




，
，且，
的最小值是．
故选：．
根据实数，满足，，可得，，再对变形得到，再整体代入后根据完全平方公式配方，进一步得到的最小值．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出，．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
--提取公因式
--平方差公式
解决此题，要先找到公因式，提取公因式之后变为，运用平方差公式．将看成是．
本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用．分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．
 

14.【答案】且 

【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中使方程有实数根，即的有种结果，
所以关于的一元二次方程有实数根的概率是，
故答案为：．
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
．
，
．


．
平分，
．
，


．


．
故答案为：．
利用平行线的性质和三角形的内角和定理先用表示出，再利用三角形的内角和、角平分线的定义用表示出、，最后利用角的和差关系求出．
本题主要考查了平行线的性质和三角形的内角和定理，掌握“两直线平行，内错角相等”、“三角形的内角和是”及角平分线的定义是解决本题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
是正方形的内切圆，
，
，
，
，
如图，当，，时，，
设，则，
，
在中，
，
故答案为：．
根据正方形的性质、圆周角定理以及正方形的内切圆的性质可得到，再构造含有角的直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数即可求解．
本题考查切线的性质，正方形的性质，圆周角定理以及解直角三角形，掌握正方形的性质、圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
 

18.【答案】或 

【解析】解：在中，，，，点为的中点，
，，
如图：当在的右侧时，

延长交于，
，
，
由翻折的性质知，，
，
设，则，，
，
在直角三角形中，，
，
，
．
当在的左侧时，如图：

由翻折性质知，，
，，
，
，
，，
在直角三角形中，，
，
．
故答案为：或．
利用翻折的性质分类计算即可．
本题考查翻折的性质，充分利用翻折性质及含度角的直角三角形的性质是求解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；
原式

，
，
原式． 

【解析】先根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义和二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可；
先把括号内通分和把除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，则约分得到原式，接着利用积的乘方和平方差公式计算出的值，然后把的值代入计算即可．
本题考查了分式的混合运算：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了实数的运算．
 

20.【答案】解：本次调查的学生总人数为：人，
在线听课的人数为：人，
补全的条形统计图如图所示：

扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：，
即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是；
人，
答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有人． 

【解析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据在线答题的人数和所占的百分比即可求得本次调查的人数，然后再求出在线听课的人数，即可将条形统计图补充完整；
用乘以“在线讨论”人数所占比例即可求解；
用总人数乘以在线阅读人数所占比例即可求解．
 

21.【答案】解：设今年每套型一体机的价格为万元，每套型一体机的价格为万元，
由题意可得：，
解得：．
答：今年每套型智能黑板的价格是万元、型智能黑板的价格是万元；

设该市明年购买型智能黑板套，则购买型智能黑板套，
由题意可得：，
解得：，
设明年需投入万元，
，
，
随的增大而减小，
，
当时，有最小值，
故该市明年至少需投入万元才能完成采购计划． 

【解析】直接利用今年每套型智能黑板的价格比每套型智能黑板的价格多万元，且用万元恰好能购买套型智能黑板和套型智能黑板，分别得出方程求出答案；
根据题意表示出总费用，进而利用一次函数增减性得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确找出等量关系是解题关键．
 

22.【答案】解：如图，过点作于点，

四边形为矩形，，
，
又，
，
，，
，
，
∽，
，即，
，，
，
；
如图，取的中点，连接、，

，
，
点、、、四点在上，
，
平分，
，
，
，由可得，
解得，经检验：是分式方程的解．
故的值是． 

【解析】过点作于点，所以∽，由四边形内角和和邻补角可得，即可解答；
易得点、、、四点共圆，取的中点为圆心，因为同弧所对的圆周角相等，所以，又因为平分，所以，即，所以，再结合可得，即可解答．
此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数以及四点共圆等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：轴于点，，，
，
解得：，
点是线段的中点，
，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数解析式为：，
将的坐标代入得：，
解得：，
，
将，代入，
得：，解得：．
一次函数解析式为：；

如图，过作的平行线，交双曲线于点．
设直线的解析式为，
把代入，得：，
解得：，
直线的解析式为．
解方程组，得：，或，
点的坐标为或． 

【解析】利用锐角三角函数关系得出的长，由点是线段的中点得出点横坐标，再根据勾股定理得出点坐标，将点坐标代入，求出反比例函数解析式；进而将、两点坐标代入，即可得出一次函数解析式；
过作的平行线，交双曲线于点利用待定系数法求出直线的解析式为解方程组，即可求出点的坐标．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了利用待定系数法求函数的解析式，锐角三角函数定义，三角形的面积，正确得出点坐标是解题关键．利用了数形结合思想．
 

24.【答案】证：，
，，
，
，
，
，
，
；

解：，
，
，
，
，
又，
是线段的中垂线，
，．
又，
设，，
由，
得，
解得，
，，，
，，
∽，

，
，
作，垂足为，

，
，
，
，
． 

【解析】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，圆心角、弧、弦的关系，相似，等腰三角形的判定和性质，属于中考压轴题．
根据等腰三角形的性质得出，根据圆心角、弧、弦的关系得到，即可得到，根据三角形内角和定理得到，，从而得到，即可证得结论；
易证得，即可证得垂直平分，证得，根据勾股定理求得、、，根据相似求得，即可求得，然后根据三角形面积公式求得，进而求得，解直角三角函数求得的值．
 

25.【答案】解：如图：

，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
抛物线经过点，，．
，解得，
抛物线解析式为；

点在上方时，如图：过点作轴于，

，，
，
轴，，
四边形是矩形，
，
点是轴右侧抛物线上一点，
，解得或舍去，
点的坐标为；
点在下方时，如图：设与轴交于点，过点作于，

，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
设的解析式为，
，解得，
的解析式为，
联立得或舍去，
时，，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；

设，过点作轴于，

，
，，
，
，
，
，
，
，且，




，
当时，有有最大值，的最大值为． 

【解析】根据等角的余角相等得，利用可得，则，利用待定系数法即可求解；
分两种情况：点在上方时，点在下方时，分别求解即可；
可设出点坐标，表示出、、，利用可表示成关于点坐标的二次函数，利用二次函数的性质可求得其最大值．
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在中注意待定系数法的应用，在中利用分类讨论思想是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．