广东省湛江市雷州六中2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年广东省湛江市雷州六中八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列根式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各式中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  满足下列条件时，不是直角三角形的是(    )

A. ，， B.
C. ：：：： D.

4.  如图，在四边形中，对角线与相交于点，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.  如图，任意四边形各边中点分别是，，，，若对角线，的长都为，则四边形的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为(    )
 

A.  B.  C.  D.

7.  已知直角三角形中角所对的直角边长是，则另一条直角边长为．(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，菱形中，，，于点，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，舰艇以海里时的速度离开港口，向北偏西方向航行．同时，舰艇在同地以海里时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口小时后两船相距海里，则舰艇的航行方向是(    )

A. 北偏东 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东

10.  如图，矩形中，，，点是边上一动点，则的最小值为(    )
 

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若代数式有意义，则的取值范围是        ．

12.  最简二次根式能与进行合并，则______．

13.  一个直角三角形的两条直角边长是，，则该直角三角形斜边上的中线长为______．

14.  如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为______ ．

15.  如图，矩形中，，，点是线段上的动点，点是线段上的动点，则的最小值是______．

三、计算题（本大题共3小题，共28.0分）

16.  计算：．

17.  先化简，再求值：，其中．

18.  观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，
，
，
观察以上规律，请写出第个等式：______为正整数．
利用上面的规律，计算：；
请利用上面的规律，比较与的大小．

四、解答题（本大题共5小题，共47.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段如图，同学们首先测量了多出的这段绳子长度为米，再将绳子拉直如图，测出绳子末端到旗杆底部的距离为米，求旗杆的高度．

20.  本小题分
在中，是上一点，，，，，求的面积．

21.  本小题分
如图，将平行四边形的边延长到点，使，连接，交于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
当满足什么条件时，四边形是矩形，请说明理由．

22.  本小题分
在▱中，，分别是，上的点，且，连接，，
．
求证：四边形是平行四边形；
若平分，，，，求的长．

23.  本小题分
如图，四边形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．
求证：≌；
求证：；
若点是的中点，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：和不能合并，故选项A错误，不符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C正确，符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的定义可以判断；根据算术平方根可以判断；根据二次根式的乘方可以判断；根据二次根式的乘法可以判断．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的运算法则．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，是直角三角形；
B、，
，即是直角三角形；
C、：：：：，，
，，，即不是直角三角形；
D、，，
，即是直角三角形．
故选：．
根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
A正确；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
不正确；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
C正确；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，
D正确；
故选：．
由平行四边形的定义和判定定理，容易得出结论．
本题考查了平行四边形的定义、平行四边形的判定定理；熟练掌握平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，，是四边形各边中点，
，，，
四边形的周长是
故选B．
利用三角形中位线定理易得所求四边形的各边长都等于，或的一半，进而求四边形周长即可．
本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是找到四边形的四条边与已知的两条对角线的关系．三角形中位线的性质为我们证明两直线平行，两条线段之间的数量关系又提供了一个重要的依据．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，，然后利用勾股定理计算出即可．
【解答】
解：把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图，

，，
在，，
所以它爬行的最短路程为．
故选D．  

7.【答案】 

【解析】解：角所对的直角边等于斜边的一半，角所对的直角边长是，
斜边，
另一直角边长，
故选：．
根据角所对的直角边等于斜边的一半，先求得斜边，再由勾股定理求出另一条直角边即可．
本题考查了含角的直角三角形的性质，要熟练掌握运用角所对的直角边等于斜边的一半求解．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，设对角线、交于点，
四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
由菱形的性质和勾股定理求出，再由菱形的面积求出，然后由勾股定理求出即可．
本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，海里，海里，
又海里，
，即
，
，
，
则另一艘舰艇的航行方向是北偏东，
故选：．
根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，求出的度数即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理的应用和方位角的知识，根据题意判断出是直角三角形是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，
，
，
，
当时，有最小值，
．
故选A．
本题考查矩形的性质，含角的直角三角形的性质，以及垂线段最短的应用．
由矩形的性质可得，由等腰三角形的性质可求，则当时，有最小值，由含角的直角三角形的性质即可求解．
 

11.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
．
故答案为：．
根据二次根式中的被开方数是非负数，可得：，据此求出的取值范围即可．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是要明确：二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：最简二次根式能与进行合并，
，
．
故答案为：．
根据同类二次根式的定义即可得出答案．
本题考查了同类二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：
在直角三角形中，斜边长的平方为两直角边长的平方和，
所以本题中的直角三角形的斜边长为，
在直角三角形中斜边中线长为斜边边长的一半，
该直角三角形斜边上的中线长为．
故答案为．
题目中给出直角边长为、，所以根据勾股定理可以计算出斜边边长，根据直角三角形斜边上的中线长为斜边长的一半可以求解．
本题考查的是在直角三角形中勾股定理的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理和掌握直角三角形中斜边上中线长为斜边的一半的定理．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能求出的长是解此题的关键．根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可得出答案．
【解答】
解：如图：

由勾股定理得：，
即，
，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：作点关于直线的对称点，作于，交于点．
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
此时最短垂线段最短，
，
，
在中，，，
．
故答案为：．
作点关于直线的对称点，作于，交于点，此时最短，由可知，求出即可解决问题．
本题考查了轴对称最短路径问题、矩形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用勾股定理和锐角三角函数解答．
 

16.【答案】解：原式
． 

【解析】本题考查了二次根式的混合运算先进行二次根式的除法运算，然后把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】分子分母因式分解，除法化为乘法即可解决问题；
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算的法则，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
 

18.【答案】解：；
原式；
，，
，
． 

【解析】

【分析】
此题考查了分母有理化，实数比较大小，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
归纳总结得到一般性规律，写出即可；
原式利用得出的规律计算即可求出值；
利用得出的规律比较即可．
【解答】
解：根据题意得：第个等式为；
故答案为：；
见答案；
见答案；  

19.【答案】解：设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，
在中，根据勾股定理可得：，
解得，．
答：旗杆的高度为米． 

【解析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：，
是直角三角形，
，
在中，，
，
．
因此的面积为． 

【解析】先根据，，，利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形，再利用勾股定理求出的长，然后利用三角形面积公式即可得出答案．
此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理求证是直角三角形．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；

解：当，四边形是矩形，
理由：四边形是平行四边形，
，
，
，
由知：四边形是平行四边形，
四边形是矩形． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，求出，，根据平行四边形的判定得出即可；
根据平行四边形的性质得出，求出，根据矩形的判定得出即可．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
在和中，
≌，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：
，
，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论；
根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
 

23.【答案】证明：因为将沿折叠后得到，
所以≌，
所以，，
因为，
所以，
因为，
所以，
在和中，
，
所以≌；
证明：如图，连接，

因为，
所以，，
因为，
所以，
在和中，
，
所以≌，
所以，
因为，
所以；
解：由折叠可知，
由知≌，
所以，
又因为，，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以． 

【解析】本题为四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及折叠的性质，掌握翻折变换是轴对称变换，变换前后图形互相重合是解题的关键．
由折叠的性质得出，，可证明≌；
连接，由平行线的性质可得出，，证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论；
由全等三角形的性质得出，由勾股定理可得出答案．