精品解析：陕西师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题（解析版）

2020~2021学年陕西西安雁塔区陕西师范大学附属中学高一下学期期中

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

【1题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用诱导公式即可得出答案.

【详解】解：.

故选：C.

2. 已知向量，，若向量与垂直，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【2题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】利用坐标表示出与，由垂直关系知，由数量积的坐标运算构造方程求得结果.

【详解】由题意得：，

与垂直    ，解得：

故选：

【点睛】本题考查根据平面向量垂直关系的坐标表示，关键是明确两向量垂直等价于两向量的数量积等于零.

3. 已知圆心角为的扇形的弧长为6，则该扇形的面积为（    ）

A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

【3题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】

利用扇形的弧长公式先计算扇形的半径，再利用面积公式即可求解.

【详解】由题意，扇形半径，

所以面积，

故选：B.

4. 要得到函数y=cos2x的图像，只要将函数的图像（    ）

A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

【4题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】由于，结合三角函数图象变换的规律，即得解

【详解】由于

要得到函数y=cosx的图像，只要将函数的图像，向右平移个单位即可，

故选：C

5. 在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD是（    ）

A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

【5题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】根据平面向量加法和减法的几何意义，结合相等向量的性质、矩形的判定定理进行判断即可.

【详解】在四边形ABCD中，因为，所以，因此四边形ABCD是平行四边形，

由，因为对角线相等的平行四边形是矩形，选项B正确，

故选：B

6. 函数的图象的一条对称轴方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【6题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】化简可得，求出对称轴即可判断.

【详解】，

由，可得对称轴为，

当时，可得对称轴方程为，其它选项不符合.

故选：D.

7. 已知非零向量不共线，且，若，则满足的关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【7题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件分解向量后，对比两组系数消去

【详解】由得，即，又，故，消去后得．

故选A

8. 下列关于函数的说法错误的是（    ）

A. 最小正周期是

B. 函数的定义域为

C. 图象关于点成中心对称

D. 在区间上单调递增

【8题答案】

【答案】C

【解析】

【分析】根据正切函数周期公式、定义域、对称中心、单调性可判断出答案.

【详解】由正切函数的最小正周期公式可得函数的最小正周期为，故A正确；

由，，得，，

所以函数的定义域为，故B正确；

由，，得，，，

令，得，故函数的图象不关于点成中心对称，故C不正确；

当时，，因为在上单调递增，

所以函数在区间上单调递增，故D正确.

故选：C

9. 下列函数中，最小正周期为的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【9题答案】

【答案】B

【解析】

【分析】分别画出各个函数的函数图像，结合图像即可得出答案.

【详解】解：对于A，画出函数的图像，如图所示，

则函数的最小正周期为，故A错误；

对于B，画出函数的图像，如图所示，

则函数的最小正周期为，故B正确；

对于C，画出函数图像，如图所示，

则函数的最小正周期为，故C错误；

对于D，画出函数的图像，如图所示，

则函数不具有周期性，故D错误.

故选：B.

10. 若函数，是奇函数，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为2，则（    ）

A.  B. 0 C. 2021 D.

【10题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数奇偶性求出，根据函数两条相邻对称轴之间的距离可得函数的周期，从而可求得，再根据函数的周期性即可得解.

【详解】解：因为函数，是奇函数，

所以，

又，所以，

因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为2，

所以，故，

所以，

所以，

故.

故选：A.

11. 已知，，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【11题答案】

【答案】A

【解析】

【分析】利用二倍角的正切公式求出，再根据结合两角和的正切公式求得，根据求出，从而可得的范围，即可得出的范围，即可得解.

【详解】解：因为，

所以，

故，

由，所以，

又,
所以，

故，

所以.

故选：A.

12. 已知向量，，，满足，与的夹角为，，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【12题答案】

【答案】D

【解析】

【分析】角坐标系，设，点在轴上，设点在第一象限，，设，根据求得点的轨迹方程，再结合向量的模的几何意义即可得出答案.

【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，

设，点在轴上，

设点在第一象限，，

设，则，

则，

整理得，

所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，设圆心为，

又，

当直线过点且垂直于轴时，取得最小值，最小值为，

即的最小值为.
故选：D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

13. 已知，，则______．

【13题答案】

【答案】

【解析】

【分析】先利用平方关系求出，再利用商数关系求出，再利用诱导公式即可得解.

【详解】解：因为，，

所以，，

所以.

故答案为：.

14. 已知，，，则向量在向量上的投影是__________.

【14题答案】

【答案】

【解析】

【分析】由向量的数量积运算表示出，再由条件和向量投影的概念求出向量在向量上的投影．

【详解】设与的夹角是θ，

因为||=6，=﹣15，所以=||||cosθ=﹣15，

则||cosθ=，

所以向量在向量上的投影是，

故答案为．

【点睛】本题重点考查了向量数量积的运算，以及向量投影的概念，属于中档题．

15. 已知向量，，函数，则当取最大值时对应的的取值集合为______．

【15题答案】

【答案】

【解析】

【分析】根据向量数量积的坐标表示，结合倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可得解.

【详解】解：，

当，

及时，取最大值时，

所以当取最大值时对应的的取值集合为.

故答案为：.

16. 函数在上的所有零点之和等于______．

【16题答案】

【答案】6

【解析】

【分析】函数在上的所有零点之和，即为函数和交点的横坐标之和，画出两函数的函数图像，根据函数图像及函数的对称性即可得解.

【详解】解：令，

则，

则函数在上的所有零点之和，

即为函数和交点的横坐标之和，

画出两函数的函数图像，如图所示，

有图可知两函数在上有6个交点，

又因为函数和的图像都关于对称，

所以交点的横坐标之和为，

即函数在上的所有零点之和等于6.

故答案为：6.

三、解答题（本大题共5小题，共56分）

17. 如图，在平行四边形中，，，M为AB的中点，N为上靠近B的三等分点．

（1）用，表示向量，．

（2）用向量证明：M，N，C三点共线．

【17题答案】

【答案】（1），   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得；

（2）首先表示出，即可得到，从而得证；

【小问1详解】

解：，

．

【小问2详解】

证明：因为，，

所以，

所以，

因为为公共点，

所以，，三点共线．

19. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．

（1）求的值．

（2）若，且，求的值．

【19题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据终边过点可得，利用诱导公式化简所求式子，结合正余弦齐次式的算法可求得结果；

（2）由同角三角函数平方关系可求得，根据，利用两角和差正弦公式可求得结果.

【小问1详解】

的终边过点，，，，

.

【小问2详解】

，，，

.

21. 已知是同一平面内的两个向量，其中.

（1）若，求向量的坐标；

（2）若，求与的夹角的值.

【21题答案】

【答案】(1)或.(2).

【解析】

【分析】⑴可设，根据条件建立关于的方程组，求出的值，从而得到向量的坐标，⑵先根据求得的值，再根向量夹角公式求出的值，最后得到结果

【详解】（1）设，根据条件，则：

解得或；

∴或.

（2）

∴.

解得

∴

∴

∵   ∴

【点睛】求平面向量夹角方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是几何方法，从图形判断角的大小.

22. 如图，公园摩天轮的半径为40米，圆心距地面的高度为50米，摩天轮做匀速转动每2分钟转一圈．某人从摩天轮的最低点处登上摩天轮并开始计时，已知经过t分钟时，此人距离地面的高度为y米，且．

（1）求的解析式．

（2）当离地面米以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中此人有多长时间可以看到公园的全貌？

【22题答案】

【答案】（1）   

（2）分钟

【解析】

【分析】（1）由题，再代入可求得；

（2）解不等式即可求出.

【小问1详解】

由题意可得，所以，

又，即，因为，所以，

所以；

【小问2详解】

由题可得，即，

解得，即，

因为，

所以转一圈中此人有分钟可以看到公园的全貌.

24. 已知函数．

（1）求函数的单调增区间．

（2）当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

【24题答案】

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）利用三角恒等变换得到，从而求出单调递增区间；

（2）参变分离后转化为在上恒成立问题，求出，列出不等式，求出实数m的取值范围.

【小问1详解】

令，解得：，

故函数的单调增区间为

【小问2详解】

由（1）知：，

当时，，，

所以变形为：

当时，，不成立，

故，此时在上恒成立，

其中，

故，解得：

所以实数m的取值范围为