2022-2023学年陕西师范大学附属中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西师范大学附属中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设全集，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用补集和交集的定义可求得集合.

【详解】由已知可得，，

因此，.

故选：B.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可容易求得.

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，

故命题“，”的否定是，.

故选：D.

【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题.

3．若“”是“”的充分而不必要条件，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先将两个不等式分别化简，然后根据题意列出不等式，求解即可.

【详解】因为，则

因为，则

即是的充分而不必要条件，

所以

故选:B.

4．若实数，满足，且.则下列四个数中最大的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式的性质比较大小即可.

【详解】由题知：，且，所以，，故排除D.

因为，故排除A.

因为，故排除C.

故选：B

5．下列各组函数是同一函数的是（    ）

①与；    ②与；

③与；    ④与

A．①② B．①③ C．③④ D．①④

【答案】C

【分析】利用两函数为同一函数则定义域和对应法则要相同，逐项分析即得.

【详解】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；

②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；

③与的定义域是，并且，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；

④与是同一函数；

所以是同一函数的是③④.

故选：C.

6．设函数，，则（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】利用的值来求得的值.

【详解】，

.

故选：C

7．设已知函数，如下表所示：

则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数图表数据，判断取不同值是否满足即可得解集.

【详解】当，则，，而，不满足；

当，则，，而，满足；

当，则，，而，满足；

当，则，，而，满足；

当，则，，而，不满足；

所以不等式的解集为.

故选：D

8．已知函数 ，若值域为，则实数的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由函数的解析式确定区间端点处函数值，结合函数图象，数形结合，确定参数的范围，即得答案.

【详解】当时，，

值域为当时，由，得，此时，由，得，得或，此时，

综上，即实数的取值范围是，

故选：

二、多选题

9．已知非零实数a，b，c满足，，则下列不等式一定成立的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】特殊值法判断A、D；利用不等式性质判断B、C即可.

【详解】A：取，，时不成立，错误；

B：由，，故，所以，正确；

C：由得，而，故，正确；

D：取，，时不成立，错误．

故选：BC

10．已知函数的图像经过点，则（    ）

A．的图像经过点

B．的图像关于原点对称

C．若，则

D．当时，恒成立

【答案】BCD

【分析】把点代入函数解析式，求出未知系数，得到函数解析式后分析单调性奇偶性等性质，验证函数值，逐个判断选项.

【详解】函数的图像经过点，，得，∴函数.

由，故A错误；

函数为奇函数，它的图像关于原点对称，故B正确；

若，函数在上单调递减，则，即，故C正确；

当时，，∴恒成立，故D正确；

故选：BCD

11．以下结论正确的是（    ）

A．函数的最小值是2

B．若且，则

C．函数的最大值为0

D．的最小值是2

【答案】BC

【分析】结合基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】A选项，当时，所以A选项错误.

B选项，若且，则，

所以，当且仅当时等号成立，B选项正确.

C选项，当时，，

当且仅当时等号成立，所以，C选项正确.

D选项，，

但方程无解，所以等号不成立，D选项错误.

故选：BC

12．已知f(x)＝3－2|x|，g(x)＝x2－2x，F(x)＝，则F(x)（    ）

A．最小值－1 B．最大值为7－ C．无最小值 D．无最大值

【答案】BC

【分析】首先根据解析式得到它们的函数图象，结合F(x)的定义画出其函数图象，进而判断各选项的正误.

【详解】由的解析式可得函数图象如下：

∴作出F(x)的图象，如下图示，

由图知：F(x)有最大值而无最小值，且最大值为7－

故选：BC.

三、填空题

13．函数的定义域为____________________．

【答案】

【分析】只需解不等式组即可.

【详解】，

，解得，且.

所以函数的定义域为.

故答案为：.

14．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________.

【答案】

【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.

【详解】当时，，满足题意；

当时，

则，即，

解得：，

综上：.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查一元二次方程恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

15．为了引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过千瓦时但不超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过千瓦时的部分，电价为元/千瓦时.若某户居民月份交纳的电费为元，则此户居民月份的用电量为___________千瓦时.

【答案】

【解析】根据题意，写出电费与用电量的函数关系式，根据函数值即可求解.

【详解】设用电量为千瓦时，电费元，

，

若时。

当时，则，解得，不满足题意；

当时，则，

解得，不满足题意；

当时，则，解得，满足题意.

故答案为：

16．若区间满足：①函数在上有定义且单调；②函数在上的值域也为，则称区间为函数的共鸣区间．请写出函数的一个共鸣区间_______.

【答案】，或，或.（写出其中一个即可）.

【分析】根据题设新定义，结合函数的单调性、奇偶性进行求解即可.

【详解】因为的定义域为，且有，所以为奇函数，在上单调递增，

当时，，

所以是的一个共鸣区间；

当时，，

所以也是的一个共鸣区间.

当时，，

所以也是的一个共鸣区间.

故答案为：，或者，或者（写出其中一个即可）.

四、解答题

17．设，，，．

(1)求、的值及、；

(2)求.

【答案】(1)，，，.

(2)

【分析】（1）由题意将代入中方程求解，

（2）由交集与并集的概念求解，

【详解】（1）由题意可得，，则，解得，

，

（2）由（1）可知，

，故

18．通过研究学生的行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于教师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣急增；中间有一段不太长的时间，学生的学习兴趣保持较理想的状态，随后学生的学习兴趣开始分散．分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出和讲授概念的时间（单位分）可以用下面公式：

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能持续多长时间？

（2）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟时间，教师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

【答案】（1）开讲后10分钟达到最强的接受状态，并维持6分钟;（2）教师来不及在学生达到最佳接受状态时就结束讲授．

【分析】（1）分别求各个段内的函数的最值，然后再比较最值，最大的就是最大值，从而可求出能持续的时间，

（2）因为函数图像时先上升，在平，然后下降，最大值是59，所以分别算出第一段和第三段中当时自变量的值，求其间距和13进行比较．

【详解】解：（1）当时，，

对称轴为，抛物线开口向下，

所以函数在上递增，所以最大值为，

当在上递减，

所以

因此开讲后10分钟学生的接受能力最强，能维持6分钟．

（2）当时，令，则，

解得或（舍去）；

当时，令，则，得；

因此学生达到55的接受能力的时间为，

所以教师来不及在学生达到最佳接受状态时就结束讲授．

19．已知，命题：，，命题：，.

(1)若p为假命题，求实数m的取值范围；

(2)若命题p，q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；(2).

【分析】(1)利用二次函数性质求解命题中的取值范围，利用补集关系，即可求出命题p为假命题时m的取值范围；(2)首先求出命题中的取值范围，然后结合已知条件和(1)中结论即可求解.

【详解】(1) 由，，对不等式分类讨论：

(i)当时，即，这与矛盾；

(ii)当时，由对恒成立以及二次函数性质可知，

，

又因为p为假命题，所以，

故实数m的取值范围为.

(2)若，，即，，

故只需即可，

(i)若真假，结合(1)中结论可知，

，解得；

(ii)若假真，结合(1)中结论可知，

，解得，

综上所述，实数m的取值范围为.

20．如图所示，将一个矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求在射线上，在射线上，且对角线过点.已知米，米，设的长为米，且要求的长不少于米.

(1)设矩形花坛的面积为，试求函数的解析式及其定义域；

(2)求当的长度分别是多少时，矩形花坛的面积最小，并求出此最小值.

【答案】(1)，定义域为；

(2)米，最小面积为平方米.

【分析】（1）设的长为米（），求出，解不等式组即得函数的定义域，求出矩形花坛的面积即得函数的解析式；

（2）令，求出，再利用基本不等式求解.

【详解】（1）解：设的长为米（），因为是矩形，所以，

所以，，

由得.

所以，定义域为.

（2）解：令，则，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

此时米，矩形花坛最小面积为平方米.

21．已知是定义在上的奇函数，当，，且时，有.

（1）判断函数的单调性，并给以证明；

（2）若且对所有，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）在上为增函数；证明见解析；（2）或或.

【解析】（1）利用函数单调性的定义即可证明；

（2）根据单调性求出时，的最大值，即对任意的恒成立，只需，解不等式组即可求解.

【详解】（1）证明：设且，

，

因为，所以，

所以，，

所以，

即

即在上为增函数.

（2）且在上为增函数.对，有

由题意，对所有的恒成立，应有

记对所有成立.

所以 ，解得：或或，

所以实数的取值范围为或或.

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法

（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；

（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；

（3）定号：确定差的符号；

（4）下结论：判断，根据定义作出结论.

即取值---作差----变形----定号----下结论.