2020-2021学年陕西省西安市高新一中高一下学期期中数学试题（解析版）

2020-2021学年陕西省西安市高新一中高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知函数，则的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数的定义，函数的定义域满足，解出即可.

【详解】由函数的定义域满足：

解得：或

故的定义域为

故选：B

2．已知点是角的终边与单位圆的交点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先用三角函数的定义得，再用二倍角公式求出.

【详解】由三角函数的定义得，

所以．

故选：A

【点睛】(1) 三角函数值的大小与点P（x,y）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；

(2) 当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．

3．已知，且与的夹角为，则（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】先求，再利用求出.

【详解】解：且与的夹角为，

故

故选：A．

【点睛】向量的模运算的常用方法：

（1）定义法；（2）坐标法；（3）用求模.

4．函数的大致图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和函数在上的图象进行排除，由此确定正确选项.

【详解】函数的定义域为，

且，

所以为偶函数，由此排除C、D选项.

当时， ，，即，所以B选项错误.

故选：A

5．对于任意实数，，，，下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】B

【分析】利用不等式的性质或反例可逐项判断正误，从而可得正确的选项．

【详解】对于A，若，则，故A错．

对于B，因为，故，故，故B正确．

对于C，取，，但，故C错误．

对于D，取，，满足，，

但，故D错．

故选：B.

6．《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分.清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为尺，前九个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设十二个节气其日影长依次成等差数列，首先利用已知条件求出的通项公式，计算即可求解.

【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列，

由题意可得，即，解得，

又因为，所以，解得

所以的公差，

所以，

所以谷雨日影长为，

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意利用等差数列的性质和等差数列的前项和公式求出其通项公式，问题即可迎刃而解.

7．已知曲线，曲线，则下列结论正确的是（    ）

A．将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线

B．将曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线

C．将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线

D．将曲线上各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位，得到曲线

【答案】D

【分析】利用三角函数的图象变换求出每一个选项的函数的解析式即得解.

【详解】A.得到曲线：，所以该选项错误；

B.得到曲线：，所以该选项错误；

C.得到曲线：，所以该选项错误；

D.得到曲线：，所以该选项正确.

故选：D

8．已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据是递增数列，结合的通项公式有，解之得的范围

【详解】由题意，数列是递增数列

1、当时，有；

2、当时，有；

3、，即

综上，有

故选：C

【点睛】本题考查了数列的单调性，利用数列的单调性列不等式求参数范围，属于简单题

9．数列{an}满足，则a1a2a3…a10=（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题,当时,得到,与题目中式子相减,即可得到,进而求解

【详解】解：n=1时,a1=,

∵,

∴时,,

两式相减可得2n-1an=,

∴,

n=1时，也满足

∴,

故选A

【点睛】本题考查数列递推式,考查数列的通项,解题的关键是确定数列的通项,进而求解

10．在中，角、、所对的边分别为、、，以下说法中正确的个数为（    ）.

①若，则

②若，，则为等边三角形

③若，，，则符合条件的三角形不存在

④若，，，则为钝角三角形

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】本题可通过正弦定理判断出①正确，然后根据得出，根据得出，②正确，再然后通过正弦定理得出，③正确，最后通过余弦定理得出，④错误.

【详解】①：因为，所以，由正弦定理易知，，①正确；

②：，则，

因为，所以，，

因为，，，

所以，为等边三角形，②正确；

③：，则，，不存在，③正确；

④：因为，所以，

因为，

所以，为锐角三角形，④错误，

故选：C.

二、填空题

11．在等比数列中，，，且，，则___________.

【答案】

【分析】本题首先可根据得出，然后与联立，解得、，最后通过即可得出结果.

【详解】因为数列是等比数列，，所以，

联立，解得，，

则，

故答案为：.

12．已知，，，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】本题可通过基本不等式得出结果.

【详解】因为，，，

所以，

当且仅当、时取等号，

则的最小值为，

故答案为：.

13．在中，角、、所对的边分别为、、，的面积为，且，，，则______.

【答案】

【分析】本题首先可根据正弦定理得出，然后借助两角和的正弦公式、诱导公式以及同角三角函数关系得出、，再然后根据余弦定理得出，最后根据解三角形面积公式即可得出结果.

【详解】因为，

所以，，

因为，，

所以，，，

由余弦定理易知，，即，

，，，

故，

故答案为：.

14．已知数列满足：，记为的前项和，则__________．

【答案】440

【分析】由题意结合递推关系首先确定数列的特征，然后求解即可.

【详解】由可得：

当时，有，                ①

当时，有，        ②

当时，有，        ③

①+②有：，

③-①有：，则：

故答案为 ．

【点睛】本题主要考查数列的递推关系，数列的求和方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

三、解答题

15．已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为．

（1）求函数的解析式和单调递增区间；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值．

【答案】（1），；（2）最小值，最大值.

【分析】（1）根据对称中心和对称轴的距离得出周期，根据即可求解，令求解函数的增区间；

（2）由（1）可得到函数在的单调性，即可得到最值.

【详解】（1）由已知的图象的对称中心到对称轴的最小距离为，则，，

，解得：.

所以函数的解析式是.

函数的增区间：令，

解得：，

所以函数的增区间为

（2）由（1）知，函数在区间上为增函数，在区间上为减函数.

因为，，，

故函数在区间上的最大值为，最小值为.

【点睛】方法点睛：函数的性质：

(1) .

(2)周期

(3)由 求对称轴，由求对称中心.

(4)由求增区间；由求减区间.

16．已知数列满足，.

（1）证明：数列为等差数列.

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）将两边同时除以，即可证数列为等差数列；

（2）利用（1）的结论可以求出数列的通项公式，再利用乘公比错位相减求和.

【详解】（1）依题，在两边同时除以，

得：，，故数列是以1为首项，1为公差的等差数列；

（2）由（1）得：，可得，

所以，

则数列的前项和①，

②，

①-②得：，

所以.

【点睛】数列求和的方法技巧：

(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．

(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．

(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．

(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.

17．已知函数.

（1）当时，求的值域；

（2）若在区间的最大值为，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）令，可得，利用二次函数的性质可求出；

（2）令，可得，讨论对称轴的取值范围结合二次函数的性质即可求出.

【详解】（1）.

令，，

时，在上单调递增，在上单调递减.

∴当时，，∴，

所以的值域为.

（2）令，，

其图象的对称轴为.

①当，即时，函数在区间上单调递减，

当时，，解得，与矛盾；

②当，即时，函数在区间上单调递增，

当时，，解得，与矛盾，

③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减.

当时，，解得，舍去；

综上，.

【点睛】思路点睛：求二次函数在闭区间的最值的思路；

（1）二次函数开口向上时，求函数的最大值，讨论对称轴和的大小求解；

（2）二次函数开口向上时，求函数的最小值，讨论对称轴在三个区间的范围求解.

18．已知数列的前项和，，在等差数列中，，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）本题首先可通过得出，然后根据得出，最后根据等比数列定义即可得出结果；

（2）本题可设等差数列的公差为，根据得出，然后根据得出、，再然后得出，最后将其分为、、三种情况进行讨论，即可得出结果.

【详解】（1）当时，，，

，即，，

当时，，解得，

则数列是首项为、公比为的等比数列，.

（2）设等差数列的公差为，

则即，，

因为，所以，，，

则，

当时，，；

当时，，；

当时，，，

故当或时，最大，.

19．某农场有一块等腰直角三角形的空地，其中斜边的长度为米，为迎接“五一”观光游，欲在边界上选择一点，修建观赏小径、，其中、分别在边界、上，小径、与边界的夹角都为，区域和区域内种植郁金香，区域内种植月季花.

（1）探究：观赏小径与的长度之和是否为定值？请说明理由；

（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径，当点在何处时，三条小径（、、）的长度和最小？并求出最小值.

【答案】（1）是定值，，详见解析；

（2）点在中点位置，最小值为.

【分析】（1）可设，则，然后在中通过正弦定理得出，最后在中通过正弦定理得出，即可证得和为定值；

（2）本题可通过余弦定理得出，然后通过基本不等式得出，即可求出最小值.

【详解】（1）设，则，

因为，，所以，，

同理，

在中，，，，

在中，，，，

则，是定值.

（2）因为，，所以，

在中，，

，

即，当且仅当取等号，

故当点在中点位置时，，三条小径的长度和最小，

最小值为.

20．已知函数.

（1）求最小正周期及对称中心；

（2）在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，，求面积的取值范围.

【答案】（1），对称中心是；（2）

【分析】(1)首先将函数的解析式化简为的形式，然后确定其最小正周期和对称中心即可；

(2)由已知可解得,由于为锐角三角形,可求得,利用正弦定理化简可得,根据面积公式计算即可得出结果.

【详解】（1），

.

；

又，，

即对称中心是.

（2），，

又为锐角三角形，

且，

即，，

得到，

而在中，，

即，

，

.

【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，正弦定理解三角形的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力,难度较易.

21．设等差数列的前项和为，，，数列满足：对每成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）记 证明：

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【分析】(1)首先求得数列的首项和公差确定数列的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件整理计算即可确定数列的通项公式；

(2)结合(1)的结果对数列的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中的不等式.

【详解】(1)由题意可得：，解得：，

则数列的通项公式为 .

其前n项和.

则成等比数列，即：

，

据此有：

，

故.

(2)结合(1)中的通项公式可得：

，

则.

【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.