2023届内蒙古阿拉善盟高三第一次模拟考试数学（文）试题含解析

2023届内蒙古阿拉善盟高三第一次模拟考试数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则等于（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数的单调性解出集合A，根据指数函数的性质解得集合B，结合交集的概念和运算即可求解.

【详解】由，得，

解得，即，

由，得，即，

所以.

故选：A.

2．复平面内表示复数的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】由复数的乘法运算求出，即可得复数对应的点，判断即可.

【详解】因为，

所以对应点坐标为，该点在第一象限，

故选：A.

3．从2名男生和2名女生中选2人参加校庆汇报演出，则选到一男一女的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，列举出所有可能的选法，再找出满足题意的选法，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.

【详解】从2名男生和2名女生中选2人共有如下6种选法：

（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），

（男2，女1），（男2，女2），（女1，女2），

选到一男一女的选法有4种，分别为：

（男1，女1），（男1，女2），（男2，女1），（男2，女2），

则选到一男一女的概率为.

故选：.

4．我国古代数学家李善兰在《对数探源》中利用尖锥术理论来制作对数表.他通过“对数积”求得ln2≈0.693，，由此可知ln0.2的近似值为（    ）

A．－1.519 B．－1.726 C．－1.609 D．－1.316

【答案】C

【分析】利用对数的运算性质进行简单的对数近似值的运算.

【详解】因为ln2≈0.693，所以ln4≈1.386，因为，

所以，

所以ln0.2＝－ln5≈－1.609.

故选：C

5．已知实数x，y满足，则z =2x -y的最小值是（    ）

A．5 B． C．0 D．-1

【答案】C

【分析】作出可行域，将问题转化为求y= 2x- z的截距的最大值，进而根据几何意义求解即可.

【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

由，得，

平移直线，由图可知当直线过点时取得最小值.

由得，

所以的最小值是.

故选：C

6．已知，则下列不等式不成立的是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项.

【详解】依题意，由于为定义域上的减函数，故，故A选项不等式成立.由于为定义域上的增函数，故，则，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.

【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.

7．某人在A处向正东方向走后到达B处，他沿南偏西方向走到达C处，结果他离出发点恰好，那么的值为（    ）

A．或 B．或 C．或 D．

【答案】B

【解析】根据题意画出图形，在中解三角形即可求解.

【详解】

如图：，，，，

在中由余弦定理可得：，

即，

所以，即，

解得：或，

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据题意找出正确的边和角的大小，选择余弦定理解三角形即可.

8．已知函数在上有且只有3个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，利用两角差的正弦公式变形后，结合正弦函数性质可得出其根，把正根按从小到大顺序排序后，由前面三个根属于可得参数范围．

【详解】原题等价于方程在上有且只有3个实数根，即方程在上有且只有3个实数根，

，，，，

正根从小到大排列即为，，，，所以，则，

故选：B.

9．已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（    ）

A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．充要条件

【答案】B

【分析】根据充分必要的定义判断．

【详解】因为对任意的且，，当n＝2时，，当n＝4时，，所以成立；充分性成立

当成立时，可推出等差数列的公差大于零，但“对任意的且，”未必恒成立，例如，，当n＝1时，不成立，必要性不成立．

故选：B．

10．若实数，满足，则点到直线的距离的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】讨论实数，化简方程式，结合图象求得距离最值即可.

【详解】当时；当时；

当时，如图所示：

直线与渐近线的距离

点到的距离，所以当时上的点到直线的最大距离为

综上：点到直线的距离的取值范围是，

故选：C．

【点睛】讨论实数，化简方程式，数形结合是解题的关键.

11．已知e是自然对数函数的底数，不等于1的两个正数 m ，t满足，且，则 的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由对数的运算求得，，引入函数且），利用导数可得最小值．

【详解】令，则，解出，或（舍），所以，即，，

令，，，

时，，时，，

在上单调递减，在上单调递增，所以，

故选：B.

12．已知双曲线C：的右支上一点M关于原点的对称点为点N，F为双曲线的右焦点，若，设，且，则双曲线C的离心率e的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】取双曲线的左焦点为，可得四边形是矩形，，这样矩形的边可用和表示，结合双曲线定义得出关系求得离心率，然后利用三角函数性质得出离心率最大值．

【详解】假设双曲线的左焦点为，由已知得点在双曲线的左支，连接，，根据双曲线的定义：，

由已知得四边形平行四边形，所以，所以有，

又，所以四边形是矩形，得，

所以，，所以，

则离心率，由，得，

所以当时，即时，的最大值为，又，所以的最大值为，

故选：D .

二、填空题

13．若直线是曲线在处的切线，则实数______．

【答案】/

【分析】根据导数的几何意义，结合代入法进行求解即可.

【详解】因为，所以，

把代入中，得，

于是有，

由可知，切线的斜率为，所以有，

因此有，

故答案为：

14．等差数列中，若，为方程的两根，则等于__________．

【答案】15

【分析】由根与系数关系得，利用等差中项的性质即可求的值.

【详解】∵为方程的两根，

∴，由等差数列的性质得，即，

∴由等差中项的性质，．

故答案为：15.

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a ，b，c，3c = 4b，，A =60°，则△ABC的面积为___________.

【答案】

【分析】根据余弦定理求得边的长，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】由余弦定理得：，

代入，，A =60°，

解得，，

所以．

故答案为：

16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为第二象限内椭圆上的一点，连接交轴于点，若，，其中为坐标原点，则该椭圆的离心率为______．

【答案】

【分析】由题意可得，则，因为，，化简即可得出离心率．

【详解】因为，所以，

由题意可得，则，

因为，所以，所以.

因为，所以，，

所以，可得，解得．

故答案为：

三、解答题

17．下图的茎叶图记录了甲，乙两组各八位同学在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）.已知甲组数据的中位数为24，乙组数据的平均数为25.

（1）求x，y的值；

（2）计算甲、乙两组数据的方差，并比较哪一组的成绩更稳定？

【答案】（1），；（2）、，乙组的成绩更稳定.

【分析】（1）由题意可得，可求出的值，由平均数的公式列方程可求出y的值；

（2）利用方差公式计算甲、乙两组数据的方差，然后进行判断即可

【详解】（1）由，得，

由，得．

（2）设甲、乙两组数据的方差分别为、，

甲组数据的平均数为，

，，

因为，所以乙组的成绩更稳定．

18．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD =2AB，PA⊥平面ABCD，E是线段BC的中点.

（1）求证：平面PDE⊥平面PAE；

（2）若AB=1，且PB与平面ABCD所成的角为45°，求点C到平面PDE的距离

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）证明与垂直后得线面垂直，从而可得面面垂直；

（2）可用体积法求得点面距：．

【详解】（1）证明：由已知为的中点，，所以，

又底面是矩形，所以，

同理：，

所以，所以，

又因为平面，平面，

所以，又，平面，

所以平面，由于平面，

所以平面平面.

（2）因为平面，所以即为与平面所成的角，故，

所以．依题意有：，

由（1）平面，平面，则，

平面，平面，，

所以，，

又因为.

设点到平面的距离为，则有，

所以．

19．已知数列中，，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)设，数列的前n项和，求证：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由，得到，再利用累乘法求解；

（2）由（1）易得，再利用裂项相消法求解.

【详解】（1）解：因为，，

所以，

所以

当时， 满足条件，

所以；

（2）因为，

所以，

所以，

所以 .

20．已知函数，．

(1)当，求的单调递减区间；

(2)若在恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间为

(2)

【分析】（1）根据导函数和原函数的单调性关系，先设求得，得到函数单调区间；

（2）把在上恒成立, 转化为在上恒成立，令,即得恒成立求参即可.

【详解】（1）当时，，

所以，令，所以，

当时，，故为增函数；

当时，，故为减函数，

所以，即，

所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间.

（2）因为，所以，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

转化为在上恒成立，

令，，则且

当时，恒成立，故在上为增函数，

所以，即时不满足题意；

当时，由，得，

若，则，故在上为减函数，在上为增函数，

所以存在，使得，即时不满足题意；

若，则，故在上为减函数，

所以，所以恒成立，

综上所述，实数的取值范围是.

21．已知椭圆的右焦点为F，且F与C上点的距离的取值范围为[1，3].

（1）求C的方程；

（2）已知О 为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由椭圆上点到焦点距离的最大值和最小值可求得，再求得后可得椭圆方程；

（2）设，，由向量数乘可把用表示，从而把用表示，利用在椭圆上，可斜率为一元函数形式，引入函数，利用导数求得最大值．

【详解】解：（1）设椭圆上任意一点，，其中，

则，

因为，所以，所以，故，

故，解得，则，

故椭圆的方程为；

（2）设，，则，，

因为，所以，所以，

又因为点在椭圆上，则，于是直线的斜率，

构造函数，，

则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

故，故，

故，当，时，直线斜率取得最大值.

22．经过点M（ -2，-4）且斜率为1的直线l与抛物线C：y 2=2px（ p >0）分别交于A，B两点.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线l的参数方程和抛物线C的极坐标方程；

（2）若成等差数列，求p的值.

【答案】（1）（其中为参数），；（2）.

【分析】（1）根据直线所过的点及斜率即可求出直线的参数方程，利用极坐标公式可求出抛物线的极坐标方程；

（2）直线的参数方程代入抛物线方程，化简可得关于的一元二次方程，由根与系数的关系及成等差数列即可求解.

【详解】（1）直线的参数方程为（其中为参数）

把，代入得，化简得，

所以抛物线的极坐标方程为.

（2）把代入得，

即，

整理得：，

所以，.

因为，，成等差数列，

所以，，

整理得，

所以，

求得.

23．已知函数.

（1）若不等式的解集为 ，求a的值；

（2）若，使，求α的取值范围﹒

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据绝对值的性质解出不等式，再由不等式的解集可求出；

（2）由题意可转化为的最小值小于，再利用绝对值不等式的性质求出的最小值，即可求解.

【详解】（1）由得或，或，

因为不等式的解集为，

所以，解得.

（2），使的最小值小于，

因为，

所以由得，

解得.