2023届内蒙古赤峰市高三下学期1月模拟考试数学（文）试题含解析

这是一份2023届内蒙古赤峰市高三下学期1月模拟考试数学（文）试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合交集的定义和运算即可求解.
【详解】由题意知，
，
，
所以，
故选：A.
2．已知，（为虚数单位），则（ ）
A．B．1C．D．3
【答案】A
【分析】根据复数的乘法运算求出等式的左边，结合相等复数的概念即可得出结果.
【详解】由题意知，
，
则.
故选：A.
3．5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济价值．如图所示的统计图是某单位结合近几年的数据，对今后几年的5G直接经济产出做出的预测．
则以下结论错误的是（ ）
A．运营商的5G直接经济产出逐年增加
B．设备制造商的5G直接经济产出前期增长较快，后期放缓
C．设备制造商在各年的5G直接经济产出中一直处于领先地位
D．信息服务商与运营商的5G直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势
【答案】C
【分析】根据图示，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】由图象可得，5G的直接经济产出逐年增加，故A正确；
设备制造商的直接经济产出前期增长较快，后期放缓，故B正确；
设备制造商在各年的直接经济产出中在前期处于领先地位，而后期是信息服务商处于领先地位，故C错误；
2025年开始信息服务商与运营商的直接经济产出的差距有逐步拉大的趋势，故D正确.
故选：C.
4．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，，则；
③若，，则；
④若，，则.
其中正确的命题个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】利用线面平行和线面垂直的性质可判断①；
根据线面平行的判断定理可判断②；
利用面面垂直的性质定理，以及线面的位置关系可判断③；
利用面面垂直的判断定理判断④.
【详解】对于命题①，若，过直线的平面与的交线满足，则，
，，，则，命题①正确；
对于命题②，若，，，则，命题②正确；
对于命题③，若，，则或，或相交但不垂直，或，
故③错误；
对于命题④，根据面面垂直的判断定理可知，若，，则，命题④正确.
故选：D.
5．已知向量，的夹角为，，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】直接由向量投影的计算得出结果.
【详解】向量在向量方向上的投影为，
，，
则向量在向量方向上的投影为，
故选：D.
6．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数，对数函数的单调性，找出中间值，让其和进行比较，从而得出结果.
【详解】由指数函数的单调性和值域，在上单调递增，故；
由的值域，且在上单调递增可知，；
根据对数函数的单调性，在上单调递增，故，由在上单调递减，故.结合上述分析可知：.
故选：A
7．函数是定义在R上奇函数，且，，则（ ）
A．0B．C．2D．1
【答案】B
【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则，根据已知得出，即可得出答案.
【详解】函数是定义在R上奇函数，且，
，
，
则函数是周期为8的周期函数，
则，
令，则，
，
故选：B.
8．已知函数（其中，）的部分图象如图所示，则与分别等于（ ）
A．1，B．1，C．2，D．2，
【答案】D
【分析】根据函数周期求出，根据特殊值计算的值．
【详解】由图象可知的周期为，
，解得．
由图象可知，即，
，．
，
又，．
故选：D．
9．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的面积为，且，的中点为D，则的最小值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，进而得，根据三角形面积公式可得，结合余弦定理和基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
由正弦定理，得，
即，
，
，
得或，
解得或(舍去)，
所以；
又，所以.
由余弦定理，
得，
当且仅当即时等号成立，
由，解得，
所以AD的最小值为.
故选：A.
10．双曲线的左顶点为A，点M，N均在C上，且关于y轴对称．若直线，的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，化简可得，结合，即可求得答案.
【详解】由题意知双曲线左顶点为，设，则，
则有，
又，得，代入中，
得，即，
所以，故，
故选：A.
11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径，且，，为等边三角形，三棱锥的体积为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，欲求球的半径．利用截面的性质即可得到三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于的方程，即可求出，从而解决问题．
【详解】根据题意作出图形：
设球心为，球的半径．
，，
平面，
三棱锥的体积可看成是两个小三棱锥和的体积和．
，
，
球的表面积为．
故选：A．
12．已知函数存在唯一的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据导数结合已知得出在上没有变号零点，即在上没有变号零点，
令，通过导数求出其在上的最值，即可得出实数a的取值范围.
【详解】，，
则
，
函数存在唯一的极值点，由，
可知函数在上有一个变号零点，
在没有变号零点，
即在没有变号零点，
令，，
则，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减；
则，则，故实数a的取值范围为.
故选：B.
二、填空题
13．已知，则__________．
【答案】
【详解】解：由题意可知： .
14．在上随机取一个数a，则事件“直线与圆相离”发生的概率为______．
【答案】##0.25
【分析】根据直线和圆相交或相切求出的范围,结合几何概型的概率公式求出直线与圆相交或相切的概率，进而得出直线与圆相离的概率.
【详解】由题意知，圆心坐标为(5,0)，半径为3，
若直线与圆相交或相切,
需要满足圆心到直线的距离小于或等于半径，
即，解得，
由题意知，直线与圆相交或相切的概率为，
所以直线与圆相离的概率为概率.
故答案为: .
15．抛物线的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂足为A，若直线的斜率为，则的面积为______．
【答案】##7.5
【分析】设，则，由的斜率解得，再将代入抛物线方程可得，进而可得的面积.
【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为，
设，由题意可得，则，解得n＝3，
将代入抛物线方程可得，解得，即，
则，所以的面积.
故答案为：．
16．设有下列四个命题：
①：，为假命题，则；
②：函数的最小值为；
③：关于x的不等式对恒成立的一个必要不充分条件是；
④：设函数，如果，且，令，那么t的最小值为；
则上述命题为真命题的序号是______．
【答案】
【分析】根据命题的真假求参数即可判断①；结合基本不等式计算即可求出函数的最小值，判断②；根据一元二次不等式与一元二次方程的关系求出a的范围，判断③；结合图象可得和，可得，根据二次函数的性质即可判断④.
【详解】①：因为命题为假命题，所以命题为真命题，
又，所以，故命题①正确；
②：因为，所以，
，
又即,所以不等式等号不成立，
所以，故命题②错误；
③：该不等式对恒成立的充要条件是一元二次方程无实根，
即，又真包含，故命题③错误；
④：如图，
由图可知，则，得，
所以，
对称轴为、开口向下的二次函数，
所以当时t取得最小值，为.故命题④正确.
故答案为：①④.
三、解答题
17．已知单调递增的等差数列，且，，，成等比数列．
(1)求的通项公式；
(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1) 根据已知条件，应用等差数列通项公式结合三项成等比求解即可；
(2) 根据与之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，
再应用等差数列求和公式及等比数列求和公式计算求解.
【详解】（1）设递增等差数列的公差为，由，，，
又，化简得．则，，
所以的通项公式为．
（2）因为与之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，
所以．
18．为了调查高中生文理科偏向情况是否与性别有关，设计了“更擅长理科，理科文科无差异，更擅长文科三个选项的调在问卷”，并从我校随机选择了55名男生，45名女生进行问卷调查，问卷调查的统计情况为：男生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占；女生选择更擅长理科的人数占，选择文科理科无显著差异的人数占，选择更擅长文科的人数占.根据调查结果制作了如下列联表.
（1）请将的列联表补充完整，并判断能否有的把握认为文理科偏向与性别有关；
（2）从55名男生中，根据问卷答题结果为标准，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机选取2人，求所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率.
附：，其中.
【答案】（1）答案见解析，有；（2）.
【分析】（1）根据比例补全列联表，再计算，即可作出判断；
（2）利用列举法列举出所有情况，结合古典概型的概率公式求解即可.
【详解】解：（1）补充的列联表如下：
所以，
所以有的把握认为文理科偏向与性别有关.
（2）由题意可知，选取的5人中，有2人更擅长理科，3人不更擅长理科
用，表示更擅长理科的两人，用，，表示其他三人
则从这5人中，任取2人共有以下10种情况：，，，，，，，，，，
满足条件的有，，，，，，
共6种情况，所以所选的2人中恰有1人更擅长理科的概率为.
【点睛】本题主要考查了补全列联表，独立性检验的实际应用以及利用古典概型概率公式计算概率，属于中档题.
19．在四棱锥中，，，平面，为的中点，为的中点，．
（1）取中点，证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）先证明，再证明平面PAC，所以，因此，从而可得结论；
（2）设点到平面的距离为，利用等体积变换可得，从而可得结果.
【详解】（1）证明: 因为中点，
在中，，则．
而，则在等腰三角形中，①.
又在中，, 则，
因为平面，平面，则，
又，即，，
则平面，因为平面，所以，因此②.
又，由①②知平面；
（2）在中，，，
又，平面，
平面，即为三棱锥的高，
，
在中，，，
设点到平面的距离为，
则，
，即点到平面的距离为.
【点睛】本题考查线面垂直的证明和点面距离的求解，在求解空间点面距离时，一般采用等体积法进行转化，如本题利用求解.
20．已知椭圆的长轴长为4，离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点，，直线l过坐标原点O交椭圆C于P，Q两点（点A，B位于直线l的两侧）．设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为，，，，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)根据椭圆长轴和离心率的定义列出方程组，解得，，即可求解；
(2)由(1)可知点A，B的坐标，设P，由椭圆的对称性可得Q，根据两点求斜率公式表示出，结合即可求出的值.同理求出的值即可证明.
【详解】（1）由题意得解得，．
所以椭圆C的方程为．
（2）点A，B的坐标分别为，．
设点P的坐标为，由椭圆的对称性知点Q的坐标为．
所以，．
所以．
又因为点P在椭圆上，所以，
即，所以．
同理．
所以为定值．
21．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）对任意，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）求导，分和，分别令，求解；
（2）将不等式，转化为，令， 用导数法证明即可．
【详解】解：（1）由题意得的定义域是，
，
当时，恒成立，
在单调递增，
当时，令，解得，
令，解得：，
在上单调递增，在上单调递减；
综上：当时，在单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：要证，
即证，
令，则，
令，则，
由在单调递增，且，，
存在唯一的实数，使得，
在上单调递减，在上单调递增，
，，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
综上，，即．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，常构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系，从而证明不等式．
22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且两曲线与交于M，N两点．
(1)求曲线，的直角坐标方程；
(2)设，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）依据参普方程互化规则求得曲线的直角坐标方程，依据极坐标与直角坐标的互化规则求得曲线的直角坐标方程；
（2）利用直线参数方程的几何意义去求的值简单快捷.
【详解】（1）由曲线的参数方程消去参数t，得，即曲线的直角坐标方程为．
由曲线的极坐标方程，得，则
即的直角坐标方程为．
（2）因为在曲线上，所以曲线的参数方程为（t为参数），
代入的直角坐标方程，得．
设M，N对应的参数分别为，，则，，
所以．
23．已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）设函数的最小值为t，若，且，证明：.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分或或求解；
（Ⅱ）求得最小值t,法一：转化为分段函数求解； 法二：利用绝对值三角不等式求解；证明不等式， 法一：通过通分变形为，利用基本不等式证明；法二：利用柯西不等式证明.
【详解】（Ⅰ）不等式等价于或或，
解得或或.
所以不等式的解集为.
（Ⅱ）法一：由知，当时，，
即.
法二：，
当且仅当时，取得等号，则的最小值为2，即.
法一：
当且仅当，不等式取得等号，所以.
法二： 由柯西不等式可得：.
当且仅当，不等式取得等号，所以.
【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是通过求函数的最小值得到，然后通过适当变形，利用不等式证明的基本方法而得证.
更擅长理科
其他
合计
男生
女生
合计
更擅长理科
其他
合计
男生
22
33
55
女生
9
36
45
合计
31
69
100