2023届贵州省贵阳市五校高三联合考试（五）数学（文）试题含解析

2023届贵州省贵阳市五校高三联合考试（五）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解不等式，得到，结合集合的元素特征，得到交集.

【详解】，解得；集合A元素满足，

当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求，

其他均不合要求，故.

故选：C．

2．设复数，则z的共轭复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】利用复数运算法则计算出，进而得到，求出答案.

【详解】由题意得，z的共轭复数，z的共轭复数对应的点为，

位于第二象限，

故选：B．

3．根据如下样本数据得到回归直线方程，其中，则时y的估计值是（    ）

A．73.5 B．64.5 C．61.5 D．57.5

【答案】A

【分析】根据回归方程经过样本中心点和回归方程对数据的估计即可求解.

【详解】因为回归直线方程必过，

由题中表格数据得，

则，

故，

则当时，，

故选：A．

4．已知命题，有成立；命题 “”是“”的充要条件，则下列命题中为真命题的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先分别判断命题的真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得解.

【详解】当时，，所以命题p是真命题，则为假命题，

由，得或，

所以“”是“”的充分不必要条件，故命题q是假命题，则为真命题，

所以，为假命题，，真命题，则为假命题.

故选：C．

5．设，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，确定这三个数所在范围，即可比较出大小.

【详解】由题意得，即；

，即；

，即，

则a，b，c的大小关系为.

故选：D．

6．在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，向量减法的三角形法则，用基底表示，从而求得结果.

【详解】

由D为中点，根据向量的运算法则，

可得，

在中，.

故选:D．

7．公差不为0的等差数列的首项为2，若成等比数列，则的前项和（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由等比数列的定义得到，再由等差数列通项，表示出代入其中，求得，再由等差数列前项和公式即可求得.

【详解】由题意得且，解得，则，则的前项和，

故选：A．

8．函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

【详解】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．

9．十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造，根据题意推得.然后根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，即可得出答案.

【详解】如图：

过D作于E，则．

，

所以，.

故选：D．

10．在三棱锥中，已知，且平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案.

【详解】如图，设外接球的半径为R，取AB的中点，连接，则由，得，

因为平面平面ABC，平面平面，平面，

所以平面ABC，则球心O在直线上．

连接OA，则，

因为，所以；

因为，所以.

因为，所以球心在线段上．

在中，由勾股定理，得，

即，解得，

所以三棱锥的外接球表面积为.

故选：B．

11．设点为椭圆上的动点，点为圆上的动点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．5

【答案】C

【分析】设动点，将问题转化为求椭圆上的动点A到圆心的距离的最大值加圆的半径1求解．

【详解】解：设动点，则，所以，

则，

当时，等号成立．即，

所以，

故选：C．

12．已知函数的定义域为，满足为奇函数且，当时，，则（    ）

A．10 B．4 C．-4 D．

【答案】A

【分析】由为奇函，得到，再由，代入得到，再将当作代入，即可求得函数的周期为，再将利用周期化到之间，即可求得.

【详解】由题可得：，即又，所以，即．

所以，因此函数的周期．

所以，

故选：．

二、填空题

13．若，则的最小值为__________．

【答案】3

【分析】利用基本不等式，变形求函数的最小值.

【详解】因为，由基本不等式得：，

当且仅当，且，即时等号成立．

故答案为：3

14．已知等比数列的前n项和为，且，则__________．

【答案】54

【分析】先求出，根据与的关系得出当时，．又根据等比数列，可知.列出方程，即可求出的值，代入可得的通项公式.

【详解】当时，则.

当时，．

又因为是等比数列，所以，

所以，解得：，

所以，所以．

故答案为：54.

15．由直线x+2y7=0上一点P引圆x2+y22x+4y+2=0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为__________

【答案】

【分析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，即可得圆心坐标与半径，由直线与圆相切的性质可得|PA|2=|MP|2﹣r2=|MP|2﹣3，分析可得|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，据此分析可得答案．

【详解】根据题意，圆x2+y2﹣2x+4y+2=0的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=3，

则圆的圆心为（1，﹣2），半径r=，

设圆心为M，

则|PA|2=|MP|2﹣r2=|MP|2﹣3，

则|MP|取得最小值时，|PA|取得最小值，

且|MP|的最小值即M到直线x+2y﹣7=0的距离，|MP|最小值==2，

则|PA|最小值=，

故答案为．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意将圆的一般方程变形为标准方程．

16．将函数向右平移个周期后所得的图象在内有个最高点和个最低点，则的取值范围是__________．

【答案】

【分析】求出平移后所得函数的解析式，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.

【详解】函数的最小正周期为，

将函数向右平移后的解析式为，

由，可得，

要使得平移后的图象有个最高点和个最低点，则需：，解得．

故答案为：.

三、解答题

17．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求C；

(2)若为锐角三角形，，求周长范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；

（2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得.

【详解】（1）在中，由射影定理得，

则题述条件化简为，

由余弦定理得．

可得                  

所以.

（2）在中，

由正弦定理得，

则周长，

因为，则，

因为为锐角三角形，，

则得，

故．

18．卡塔尔世界杯期间，为了解某地观众对世界杯的收视情况，随机抽取了200名观众进行调查，将卡塔尔世界杯期间累计收看比赛超过20场的观众称为“体育迷”，不超过20场的观众称为“非体育迷”，下面是根据调查结果绘制的列联表：

(1)根据已知条件，你是否有的把握认为“体育迷”与性别有关？

(2)在“体育迷”当中，按照男､女比例抽取5人，再从5人当中随机抽取3人进行访谈，求至少抽到2名男性的概率．

附：．

【答案】(1)有95%的把握认为“体育迷”与性别有关；

(2)

【分析】（1）计算的值，根据 与的大小判断；

（2）由分层抽样知抽取男性3人，女性2人，由古典概型求至少抽到2名男性的概率．

【详解】（1）因为，

所以有95%的把握认为“体育迷”与性别有关．

（2）由于“体育迷”中，男女比例为，故抽取的5人中有3位男性用表示，2位女性用表示．

从这5人中随机抽取3人，可能的情况共有以下10种：

，，

其中至少抽到2位男性的情况有以下7种：

，

所以概率为．

19．如图2，在三棱锥中，为的中点．

(1)证明：平面；

(2)若点在上且，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）在，由等腰三角形的性质可得，在中利用勾股定理的逆定理可得，求出，再利用勾股定理的逆定理可得，然后利用线面垂直的判定定理可证得结论；

（2）求出的面积，则可求出三棱锥的体积，再由可求出，设点到平面的距离为，然后利用等体积法可求得结果.

【详解】（1）证明：在中，为的中点．

则中线，且；

在中，，

所以，所以；

因为，为的中点，

所以且；

所以，

所以，

因为，平面，

所以平面．

（2）解：由题可得，则，

所以．

又由（1）知平面，

所以．

又，则，

由得：，

设点到平面的距离为，则，

解得，

即点到平面的距离为．

20．已知坐标原点为，抛物线为与双曲线在第一象限的交点为，为双曲线的上焦点，且的面积为3．

(1)求抛物线的方程；

(2)已知点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，切线，分别交轴于，，求与的面积之比．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先求出双曲线的上焦点，设，，根据三角形面积求出，再代入双曲线方程求出，再根据点在抛物线上，即可求出，即可得解；

（2）设点，，利用导数表示出的方程，即可求出点坐标，同理可得，再将代入，即可得到的方程，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可求出，再求出点到直线的距离，即可得到，再求出，即可得解.

【详解】（1）双曲线的上焦点为，设，，

由已知得：，则，

代入双曲线方程可得，解得或（舍去），所以，

又因为在抛物线上，所以，解得，故抛物线的方程为．

（2）设点，，对求导得，

则切线的方程为，

由整理得，

令，则，即，同理可求得．

将代入直线可得：，

同理可求得直线的方程：，

所以，的直线方程．

联立消去得，

则韦达定理：，

则弦长，

点到直线的距离，

所以，

又，

故．

21．设函数．（其中为自然对数的底数）

(1)若，求在处的切线方程；

(2)证明：，当时，．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数求曲线在处的切线方程；

（2）利用参数放缩将不等式转化为，构造函数利用导数证明此不等式即可.

【详解】（1）由已知得当时，，

，且．

由点斜式得，

，

在处切线方程为．

（2）证明：由题可得：，则．

令，则．令，得，

当时，单调递增；当时，单调递减．

所以，即，当且仅当时等号成立．

所以要证，则证：．

令函数，则，

令函数，则，令，则．

当时，单调递增，当时，单调递减．

又，

故存在唯一使得，

当时，，即单调递增，

当时，，即单调递减．又，

故此时恒成立，即不等式得证，则原不等式得证．

【点睛】结论点睛：常用函数不等式：

①，其加强不等式；

②，其加强不等式.

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，直线l的普通方程为．

(1)将C的极坐标方程化为参数方程；

(2)设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出P的轨迹的参数方程并判断与l的位置关系．

【答案】(1)其中为参数

(2)其中为参数,与l相离．

【分析】（1）根据极坐标方程转化为直角坐标方程再转化为参数方程即可；（2）根据参数方程和向量的坐标形式转化关系，以及参数方程转化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系即可求解.

【详解】（1）因为，

所以，

所以，

整理得，

曲线C的直角坐标方程为，

所以其中为参数．

则对应的参数方程为其中为参数．

（2）由（1）参数方程可设，

则由，

得其中为参数．

对应的直角坐标方程为，

圆心到l距离，则与l相离．

23．已知函数

(1)求函数的最小值；

(2)若为正实数，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号后得函数的单调性，从而得最小值；

（2）结合（1）得出，然后利用柯西不等式可得最小值．

【详解】（1），

在上单调递减，在上单调递增，

所以；

（2）由已知得当时，则由得：

即：

则由柯西不等式得：

所以，当且仅当时等号成立.

所以的最小值为