2024高考数学一轮总复习（导与练）第八章培优课(四)　隐圆问题

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培优课(四)　隐圆问题[选题明细表] 知识点、方法题号隐圆的理解1,2隐圆的应用3,4圆的综合应用5,61.已知O为坐标原点,直线l:y=k(x-4)上存在一点P,使得|OP|=2,则k的取值范围为(　C　)A.[-2,2]B.(-∞,-]∪[,+∞)C.[-,]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)解析:设点P(x,y),则|OP|==2,即x2+y2=4,即点P的轨迹方程为x2+y2=4,且圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径为2,由题意可知,直线l与圆x2+y2=4有公共点,则≤2,解得-≤k≤.2.已知O(0,0),A(3,0),圆C:(x-2)2+y2=r2(r>0)上有且仅有一个点P满足|PA|=2|PO|,则r的取值为(　C　)A.1    B.5    C.1或5    D.不存在解析:设点P(x,y).因为|PA|=2|PO|,即=2,整理得(x+1)2+y2=4,所以点P的轨迹为以C1(-1,0)为圆心,半径r1=2的圆.因为圆C:(x-2)2+y2=r2的圆心为C(2,0),半径r,由题意可得3=|CC1|=r+r1或3=|CC1|=|r-r1|,所以r=1或r=5.3.在平面直角坐标系中,已知A(6,8),在两坐标轴上分别有动点M,N,且|MN|=6,P是MN的中点,则PA长度的最小值是(　D　)A.6    B.13    C.10    D.7解析:设点M,N分别在x轴、y轴上,设点P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),所以|MN|2=(2x-0)2+(0-2y)2=36,化简得x2+y2=9,即点P的轨迹为圆x2+y2=9,该圆的半径为r=3.由圆的几何性质可得|PA|min=|OA|-r=-3=7(O为坐标原点).4.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-2),B(1,-1),P为圆x2+y2=2上一动点,则的最大值为(　B　)A.1    B.2    C.    D.4解析:设P(x,y),=t(t>0),则=t,化简得(1-t2)x2+(1-t2)y2-2x+(2-4t2)y+2-4t2=0,因为x2+y2=2,所以x-(1-2t2)y-2+3t2=0,所以圆心O(0,0)到直线的距离d=≤.因为t>0,所以0<t≤2,即的最大值为2.5.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2).在圆C上使得PA2+PB2=12存在的点P的个数为　　　     　,圆C上存在唯一的点Q,使得·+2=λ,则λ的值为　　  　.解析:圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以圆心C(2,0),半径为2.假设圆C上存在点P,设P(x,y),则(x-2)2+y2=4,PA2+PB2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,因为|2-2|<<2+2,所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交,所以点P的个数为2.设Q(x0,y0),则λ=·+2=-1+-2y0+2=+(y0-1)2,由题意知,圆C与圆x2+(y-1)2=λ(λ>0)有且只有一个公共点,则两圆相内切或外切,当两圆外切时λ=9-4,当两圆内切时λ=9+4,所以λ=9-4或λ=9+4.答案:2　9-4或9+46.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0),B(5,0).若圆M:(x-4)2+(y-m)2=4上存在唯一的点P,使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,求实数m的值.解:设P(x0,y0),x0∈[2,6],直线PA,PB在y轴上的截距分别为a,b,则ab=5,且x0≠5.直线PA的方程为+=1,代入点P(x0,y0),得a=,直线PB的方程为+=1,代入点P(x0,y0),得b=,所以ab=·==5,化简得+-4x0-5=0,即(x0-2)2+=9.又点P在圆M上,由题意知两圆相切,所以=5或=1,解得m=±.