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2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第5讲 椭 圆
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这是一份2025年高考数学精品教案第八章 平面解析几何 第5讲 椭 圆，共20页。
学生用书P181
1.椭圆的定义和标准方程
（1）定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于① 常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的② 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的③ 焦距 .
集合语言：P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，2a＞｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数.
注意 若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为④ x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为⑤ y2a2+x2b2=1 （a＞b＞0）.
思维拓展
椭圆的第二定义、第三定义
椭圆的第二定义：{P｜｜PF｜d＝e，0＜e＜1，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F∉l，d表示点P到直线l的距离}.
椭圆的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，0＜e＜1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}.
注意 椭圆的第三定义中的两个定点（椭圆的顶点）在x轴上，且利用椭圆第三定义得出的轨迹方程不包括这两个定点.
2.椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝a2－c2越大，因此椭圆越接近于圆.
常用结论
1.椭圆的焦点三角形
以椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2为顶点的△PF1F2叫做焦点三角形.
如图所示，设∠F1PF2＝θ.
（1）当P为短轴端点时，θ最大.（2）S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2tanθ2=c｜y0｜，当｜y0｜＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，最大值为bc.（3）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c.（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.
2.设椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），则当点Px0,y0在椭圆上时，｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（e为椭圆的离心率）.
1.（1）的推导过程：在焦点三角形PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cs θ，
则cs θ＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝(|PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1||PF2｜－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝（2a）2－4c2－2｜PF1||PF2｜2｜PF1||PF2｜
＝2b2｜PF1||PF2｜－1，
∵｜PF1｜｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜，即点P是短轴端点时取等号，
∴cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1≥2b2a2－1.
又函数y＝cs x在（0，π）上单调递减，∴当P为短轴的端点时，θ最大.
1.（2）的推导过程：由上条结论的推导过程得cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1，∴｜PF1｜｜PF2｜＝2b21+csθ，
∴S△PF1F2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝12·2b21+csθ·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2·2sin θ2cs θ22cs2 θ2＝b2tan θ2.
1.设P是椭圆C：x25＋y23＝1上的动点，则P到椭圆的两个焦点的距离之和为（ C ）
A.22B.23C.25D.42
解析 根据椭圆的定义，可知点P到椭圆的两个焦点的距离之和为25.故选C.
2.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为12，则（ B ）
A.a2＝2b2B.3a2＝4b2C.a＝2bD.3a＝4b
解析 由题意得，ca＝12，∴c2a2＝14，又a2＝b2＋c2，∴a2－b2a2＝14，∴b2a2＝34，∴4b2＝3a2.故选B.
3.[多选]下列说法正确的是（ CD ）
A.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆
B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆
C.关于x，y的方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆
D.x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）与y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同
4.[易错题]平面内一点M到两定点F1（－6，0），F2（6，0）的距离之和等于12，则点M的轨迹是 线段F1F2 .
解析 由题意知｜MF1｜＋｜MF2｜＝12，但｜F1F2｜＝12，即｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜，所以点M的轨迹是线段F1F2.
5.[易错题]椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝ 4或8 .
解析 当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.
6.已知椭圆的一个焦点为F（6，0），且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是 x248＋y212＝1 .
解析 由已知得椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.由一个焦点为F（6，0），知c＝6，又△FB1B2为等边三角形，得b＝23，所以a2＝b2＋c2＝48，故椭圆的标准方程为x248＋y212＝1.
学生用书P183
命题点1 椭圆的定义及其应用
例1 （1）[2023全国卷甲]设F1，F2为椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（ B ）
A.1B.2C.4D.5
解析 解法一 因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝b2tan∠F1PF22，得12｜PF1｜·｜PF2｜＝1×tan90°2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
解法二 因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF12+PF22=F1F22＝2c2=16.因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝25，所以(|PF1｜＋｜PF2|)2＝20，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为（ C ）
A.13B.12C.9D.6
解析 由椭圆C：x29＋y24＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
则｜MF1｜·｜MF2｜≤（｜MF1｜＋｜MF2｜2）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.
（3）动圆M与圆M1：（x＋1）2＋y2＝1外切，与圆M2：（x－1）2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹是 椭圆 .
解析 设圆M的半径为R.因为圆M与圆M1外切，与圆M2内切，所以MM1=1+R,｜MM2｜＝5－R，所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6＞｜M1M2｜＝2，所以M的轨迹是椭圆.
方法技巧
1.椭圆定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为椭圆；（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义以及余弦定理.
训练1 （1）[2023全国卷甲]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29＋y26＝1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2＝35，则｜OP｜＝（ B ）
A.135B.302C.145D.352
解析 解法一 依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图，不妨令F1（－3，0），F2（3，0）.设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝m2＋n2－122mn＝35 ①，由椭圆的定义可得m+n=2a=6 ②.由①②，解得mn＝152.设｜OP｜＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得x2+3－m223x＝－x2+3－n223x，得x2＝m2＋n2－62＝（m＋n）2－2mn－62＝152，所以｜OP｜＝302.（也可由PO＝12（PF1＋PF2），两边同时平方求｜OP｜）
解法二 依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图（图同解法一），设点P的坐标为（x0，y0），利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝b2sin∠F1PF21+cs∠F1PF2.因为cs∠F1PF2＝35，所以sin∠F1PF2＝45，故S△F1PF2＝6×451+35＝3.又S△F1PF2＝12×2c｜y0｜＝3｜y0｜，故y02＝3，又x029＋y026＝1，所以x02＝92，故｜OP｜2＝x02＋y02＝152，得｜OP｜＝302.
（2）已知椭圆x24＋y23＝1，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若点A的坐标为（1，1），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为（ A ）
A.3B.10C.5＋12D.5＋1
解析 设椭圆的右焦点为F2（1，0），则｜AF2｜＝1，PA+PF=PA+4-PF2=4+PA-PF2.又｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝1，所以-1≤PA-PF2≤1，所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值为3（此时点P是射线F2A与椭圆的交点）.
（3）已知△ABC 的周长为20，且顶点B（0，－4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是 x220＋y236＝1（x≠0） .
解析 因为△ABC的周长为20，顶点B（0，－4），C（0，4），所以｜BC｜＝8，｜AB｜＋｜AC｜＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆的一部分，设椭圆方程为x2b2＋y2a2＝1（a＞b＞0），易得a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以点A的轨迹方程是x220＋y236＝1（x≠0）.
命题点2 椭圆的标准方程
例2 （1）[2023南京模拟]已知椭圆的两个焦点分别为F1（0，2）， F2（0，－2），P为椭圆上任意一点，若｜F1F2｜是｜PF1｜，｜PF2｜的等差中项，则此椭圆的标准方程为（ D ）
A.x264＋y260＝1B.y264＋x260＝1
C.x216＋y212＝1D.y216＋x212＝1
解析 由题意得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝23，又焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.
（2）[2022全国卷甲]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若BA1·BA2＝－1，则C的方程为（ B ）
A.x218＋y216＝1B.x29＋y28＝1
C.x23＋y22＝1D.x22＋y2＝1
解析 依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以BA1＝（－a，－b），BA2＝（a，－b），BA1·BA2＝－a2＋b2＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝ca＝13，所以a＝3，故a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为x29＋y28＝1，故选B.
方法技巧
求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法
先根据椭圆的定义确定a，b，c的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程.
2.待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b的值；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，用待定系数法求出m，n的值.
训练2 （1）[2023银川市质检]已知A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右顶点，焦距为4，直线y＝kx（k≠0）与C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为－12，则椭圆C的方程为（ B ）
A.x26＋y22＝1B.x28＋y24＝1
C.x29＋y25＝1D.x232＋y216＝1
解析 解法一 因为A是椭圆C的右顶点，所以点A的坐标为（a，0），因为直线y＝kx（k≠0）过原点，所以与椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的交点P，Q关于原点对称，因此可设P，Q两点的坐标分别为（x1，y1），（－x1，－y1），则kAP·kAQ＝y1x1－a·－y1－x1－a＝y1x1－a·y1x1＋a=y12x12－a2.因为点P（x1，y1）在椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，所以x12a2＋y12b2＝1，故y12＝b2（1－x12a2）＝b2a2（a2－x12），所以kAP·kAQ＝y12x12－a2＝b2a2（a2－x12）x12－a2＝－b2a2，由已知可得－b2a2＝－12，所以a2＝2b2.由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2=4，故椭圆C的方程为x28＋y24＝1，故选B.
解法二 由二级结论可知，直线AP和AQ的斜率之积为－b2a2，所以－b2a2＝－12，所以a2＝2b2，由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2＝4，故椭圆C的方程为x28＋y24＝1，故选B.（二级结论：过原点的直线与椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）相交于P，Q两点，A为椭圆上任意一点，且直线AP和AQ与坐标轴不垂直，则直线AP和AQ的斜率之积为定值－b2a2）
（2）若椭圆经过两点（1，32）和（2，22），则椭圆的标准方程为 x24+y2=1 .
解析 解法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1 （a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，32）和（2，22），∴1a2＋34b2=1，2a2＋12b2=1，解得a=2，b=1.∴所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，32）和（2，22），∴34a2＋1b2=1，12a2＋2b2=1，解得a=1，b=2，与a＞b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.
解法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 （m＞0，n＞0，m≠n）.
∵椭圆过（1，32）和（2，22）两点，∴m＋3n4=1，2m＋n2=1，解得m＝14，n=1.∴所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.
命题点3 椭圆的几何性质
角度1 离心率
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]设椭圆C1：x2a2＋y2＝1（a＞1），C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3e1，则 a＝（ A ）
A.233B.2C.3D.6
解析 解法一（直接求解法） 由已知得e1＝a2－1a，e2＝4－12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝3×a2－1a，得a＝233.故选A.
解法二（选项代入验证法） 若a＝233，则e1＝a2－1a＝（233）2－1233＝12，又e2＝32，所以e2＝3e1，所以a＝233符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）[2022全国卷甲]椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（ A ）
A.32B.22C.12D.13
解析 解法一 设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14 ①.因为点P在椭圆C上，所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2（a2－m2），代入①式，得b2a2＝14，所以e＝1－b2a2＝32.故选A.
解法二 设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－14＝e2－1，所以e＝32.故选A.
（3）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是（ C ）
A.[22，1）B.[12，1）C.（0，22]D.（0，12]
解析 依题意，得B（0，b），设椭圆上一点P（x0，y0），则｜y0｜≤b，由x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，则｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝x02＋y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，｜PB｜2＝4b2，所以－b3c2≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝ca≤22，故选C.
方法技巧
1.求椭圆离心率的方法
（1）直接利用公式求离心率.e＝ca＝1－（ba）2.
（2）由椭圆的定义求离心率.设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜.
（3）构造关于a，c的齐次式求离心率.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
注意 将余弦定理与椭圆的定义结合列方程，是常见的构造关于a，b，c的齐次式的方法.
2.求椭圆离心率范围时，要注意对几何图形的临界情况的应用.
训练3 （1）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且△ABF是等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ B ）
A.5－12B.3－12C.3－1D.5－1
解析 由题意知｜AB｜＞｜BF｜，｜AF｜＞｜BF｜，故｜AB｜＝｜AF｜，即a2＋b2＝a＋c，所以2a2－c2＝a2＋2ac＋c2，即2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，解得e＝3－12（负值舍去），故选B.
（2）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（ D ）
A.1－32B.2－3C.3－12D.3－1
解析 由题意可得，｜PF2｜∶｜PF1｜∶｜F1F2｜＝1∶3∶2.因为｜F1F2｜＝2c，所以｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，故椭圆C的离心率e＝ca＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜＝23+1＝3－1.故选D.
角度2 与椭圆性质有关的最值（范围）问题
例4 （1）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（ A ）
A.52B.6C.5D.2
解析 设点P（x，y），则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B（0，1），所以｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝254－（2y＋12）2（｜y｜≤1）.当2y＋12＝0，即y＝－14时，｜PB｜2取得最大值254，所以｜PB｜max＝52.故选A.
（2）设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ A ）
A.（0，1]∪[9，＋∞）B.（0，3]∪[9，＋∞）
C.（0，1]∪[4，＋∞）D.（0，3]∪[4，＋∞）
解析 依题意得3m≥tan∠AMB2，03，所以3m≥tan60°，03，解得0＜m≤1或m≥9.
方法技巧
利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）代数法，设坐标，利用坐标构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）几何法，通过数形结合、几何意义等结合椭圆性质求解.
训练4 （1）[2023贵阳摸底]已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点.点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足MP·MF1＝0，NP·NF2＝0，则｜MN｜的最大值为（ A ）
A.3B.4C.5D.6
解析 设PF1，PF2的中点分别为A，B，因为MP·MF1＝0，NP·NF2＝0，所以M在以A为圆心，PF1为直径的圆上，N在以B为圆心，PF2为直径的圆上，所以直线AB与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M，N（M，N的位置如图所示）时，｜MN｜最大，此时｜MN｜＝｜PA｜＋｜AB｜＋｜PB｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜2＋｜AB｜.又椭圆C：x24＋y23＝1，所以a＝2，b＝3，c＝a2－b2＝1，所以｜MN｜的最大值为｜PF1｜＋｜PF2｜2＋｜AB｜＝a＋c＝2＋1＝3，故选A.
（2）如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1（b＞0）的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为 4 .
解析 由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.设P点坐标为（x0，y0），－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.因为F（－1，0），A（2，0），PF＝（－1－x0，－y0），PA＝（2－x0，－y0），x024＋y023＝1，所以PF·PA＝x02－x0－2＋y02＝14x02－x0＋1＝14（x0－2）2，则当x0＝－2时，PF·PA取得最大值4.
1.[命题点1，2]已知△ABC中，A为动点，B（－2，0），C（2，0）且满足sin C＋sin B＝2sin A，则点A的轨迹方程为 x216＋y212＝1（y≠0） .
解析 根据正弦定理，由sin C＋sin B＝2sin A，得AB＋AC＝2BC，得AB＋AC＝8＞BC，所以点A的轨迹是以B（－2，0），C（2，0）为焦点的椭圆，且不包括（4，0），（－4，0）两点.（易忽略隐含条件：△ABC）
设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0，y≠0），则2a＝8，2c＝4，即a＝4，c＝2，故b＝a2－c2＝23，所以点A的轨迹方程为x216＋y212＝1（y≠0）.
2.[命题点1，2/多选/2024重庆一中阶段练习]已知点A（－1，1），F1（－1，0），F2（1，0），动点P（x，y）满足：（x+1）2＋y2＋（x－1）2＋y2＝4，则以下说法正确的是（ AD ）
A.点P的轨迹方程为x24＋y23＝1
B.｜PA｜＋｜PF2｜＜5
C.存在4个点P，使得△PAF1的面积为32
D.｜PA｜＋｜PF1｜＞1
解析 对于A，由（x+1）2＋y2＋（x－1）2＋y2＝4得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4＞｜F1F2｜＝2，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且焦距2c＝2，长轴长2a＝4，即c＝1，a＝2，故短半轴长b＝a2－c2＝3，
故点P（x，y）的轨迹方程为x24＋y23＝1，A正确.
对于B，D，将（－1，1）代入椭圆方程，得14＋13＜1，所以点A（－1，1）在椭圆内，所以｜PA｜＋｜PF2｜＝｜PA｜＋2a－｜PF1｜＝2a＋｜PA｜－｜PF1｜≤2a＋｜AF1｜＝4＋1＝5，
如图，当且仅当点P位于点P1的位置，即P1F1与x轴垂直时等号成立.｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋2a－｜PF2｜＝4＋｜PA｜－｜PF2｜，连接AF2，由于｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝5，所以｜PA｜－｜PF2｜≥－5，所以｜PA｜＋｜PF1｜＝4＋｜PA｜－｜PF2｜≥4－5＞1，如图，当且仅当点P位于点P2的位置时等号成立，故B错误，D正确.
对于C，S△PAF1＝12｜AF1｜h＝12×1×h＝h2，其中h为点P到直线AF1的距离，若S△PAF1＝h2=32，则h＝3，由于当点P为椭圆的右顶点时，h取得最大值3，故满足条件的点P只有一个，C错误.故选AD.
3.[命题点1，3]如图，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y22＝1（a＞2）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于
A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若｜F1Q｜＝4，则该椭圆的离心率为 144 .
解析 如图所示，不妨设△APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为M，N，圆心为C，连接CM，CN，则易得｜CM｜＝｜CN｜，又因为△AF1F2为等腰三角形，故点C在y轴上，则由题意可知｜F1Q｜＝｜F1M｜＝｜F2N｜＝｜PN｜＋｜PF2｜＝｜PQ｜＋｜PF2｜＝4，由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PQ｜＋｜QF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8，解得a＝4，所以c＝a2－2＝16－2＝14，所以椭圆的离心率e＝ca＝144.
4.[命题点3角度1]若椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F2分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 [22，1） .
解析 解法一 设点M的坐标是（x0，y0），则｜x0｜＜a.
∵F1（－c，0），F2（c，0），∴MF1＝（－c－x0，－y0），MF2＝（c－x0，－y0）.
∵∠F1MF2＝90°，∴MF1·MF2＝－（c＋x0）（c－x0）＋y02＝0，即x02＋y02＝c2.
又点M在椭圆上，即y02＝b2－b2a2x02，
∴x02＋y02＝b2＋c2a2x02∈[b2，a2），即c2∈[b2，a2），
∴c2≥b2＝a2－c2，即c2a2≥12，
又0＜e＜1，∴22≤e＜1，
故椭圆的离心率e的取值范围是[22，1）.
解法二 设椭圆与y轴的一个交点为P，
∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，
∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，
∴c2≥b2＝a2－c2，即c2a2≥12，
又0＜e＜1，∴22≤e＜1，
故椭圆的离心率e的取值范围为[22，1）.
5.[命题点3]直线y＝kx（k∈R）与椭圆x26＋y22＝1相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与x轴上方半平面所成的角为直角，则｜AB｜的取值范围是（ C ）
A.[2，6）B.[2，26]C.（2，26]D.（2，6]
解析 在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2），则易知x1＝－x2，y1＝－y2.由y＝kx，x26＋y22=1，
可得（1＋3k2）x2－6＝0，可得x1x2＝－61+3k2，所以x12＝61+3k2.
将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与x轴上方半平面所成的角为直角，如图所示，
作BC⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为C，D，则｜AB｜2＝｜BC｜2＋｜CD｜2＋｜AD｜2.由对称性可得｜BC｜2＝｜AD｜2＝y12＝k2x12，｜CD｜2＝（x1－x2）2＝4x12，所以｜AB｜2＝2k2x12＋4x12＝12k2+241+3k2＝4（3k2+1+5）1+3k2＝4（1＋51+3k2）.因为k2≥0，所以3k2＋1≥1，所以0＜53k2+1≤5，所以4＜｜AB｜2≤24，所以2＜｜AB｜≤26，所以｜AB｜的取值范围是（2，26]，故选C.
学生用书·练习帮P355
1.[2024广西模拟]椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝（ C ）
A.4B.8C.4或8D.12
解析 当椭圆的焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，且10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，且m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
2.[2023成都模拟]设F为椭圆C：x24＋y23＝1的右焦点，点A（2，0），点B在C上，若｜BF｜＝2｜AF｜，则｜AB｜＝（ C ）
A.5 B.25 C.7D.27
解析 由题意可知，a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，所以F（1，0），｜AF｜＝1，所以｜BF｜＝2｜AF｜＝2.设F1为左焦点，则｜BF1｜＋｜BF｜＝4，得｜BF1｜＝2，故B为椭圆C短轴的端点，所以B（0，±3），所以｜AB｜＝22＋（±3）2＝7.故选C.
3.[2024陕西检测]已知两定点F1（－1，0），F2（1，0）和一动点P，若｜F1F2｜是｜PF1｜与｜PF2｜的等差中项，则动点P的轨迹方程为（ B ）
A.x216＋y29＝1B.x24＋y23＝1
C.x216－y29＝1D.y24＋x23＝1
解析 由题意得｜F1F2｜＝2，∵｜F1F2｜是｜PF1｜与｜PF2｜的等差中项，∴2F1F2=PF1+PF2，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，且｜PF1｜＋｜PF2｜＞2，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上.易知a＝2，c＝1，∴b2＝3，∴椭圆的方程是x24＋y23＝1.故选B.
4.[2024广东七校联考]已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ B ）
A.（0，12）B.（0，22）
C.（12，22）D.（22，1）
解析 因为MF1·MF2＝0，所以点M在以原点为圆心，c为半径的圆上，且该圆在椭圆内部，所以c＜b，所以c2＜b2＝a2－c2，则c2＜12a2，所以0＜e＜22，故选B.
5.[2024江西名校模拟]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆上的两点P，Q关于原点对称，若｜PF｜＋｜QF｜＝6，且椭圆C的离心率为13，则椭圆C的方程为（ A ）
A.x29＋y28＝1B.x23＋y22＝1
C.x26＋y24＝1D.x29＋y23＝1
解析 由椭圆的定义及椭圆的对称性可得｜PF｜＋｜QF｜＝2a＝6，所以a＝3.由椭圆C的离心率为13，得a2－b2a＝13，所以b2＝8，故椭圆C的方程为x29＋y28＝1，故选A.
6.[2023南京学情调研]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2.若AB∥PF1，则椭圆的离心率为（ A ）
A.55B.12C.33D.22
解析 由题意，知A（－a，0），B（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），所以kAB＝ba.因为AB∥PF1，所以kPF1＝kAB＝ba.将x＝c代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1中，解得y＝±b2a.易知点P位于第一象限，所以P（c，b2a），所以kPF1＝b22ac，所以b22ac＝ba，即b＝2c，两边平方，得b2＝4c2.又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝ca＝55，故选A.
7.[2024四川德阳检测]已知点P为椭圆C：x29＋y25＝1上一点，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，若｜PF1｜＝2｜PF2｜，则△PF1F2的内切圆半径为（ B ）
A.1510B.155C.2155D.15
解析 因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，且｜PF1｜＝2｜PF2｜，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，c2＝9－5＝4，｜F1F2｜＝2c＝4，所以｜PF1｜＝｜F1F2｜，
则等腰三角形PF1F2底边PF2上的高h＝42－12＝15，
所以S△PF1F2＝12×2×15＝15.设△PF1F2的内切圆半径为r，则12×PF1+PF2+F1F2×r=12×10×r=15，所以r＝155，故选B.
8.[多选/2023福州5月质检]已知椭圆C：px2＋qy2＝r，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ BC ）
A.C的长轴长为2
B.C的焦距为22
C.C的离心率为22
D.C与圆（x－3）2＋y2＝1有2个公共点
解析 ∵p，q，r依次成公比为2的等比数列，∴q＝2p，r＝4p，p≠0，∴px2＋qy2＝r可化为x2＋2y2＝4，即x24＋y22＝1， a＝2，b＝2，c＝2.选项A，椭圆C的长轴长为2a＝4，A错误；选项B，椭圆C的焦距为2c＝22，B正确；选项C，椭圆C的离心率为22，C正确；选项D，由x2+2y2=4，（x－3）2＋y2=1，得x＝2，y＝0，∴椭圆C与圆（x－3）2＋y2＝1只有一个公共点，故D错误.综上，选BC.
9.[2023广东省部分学校联考]我们通常称离心率为5－12的椭圆为“黄金椭圆”.请写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金椭圆”C的标准方程： x24＋y225－2＝1（答案不唯一） .
解析 由题可设C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），令a＝2，由题可知离心率e＝ca＝5－12，所以c＝5－1，b2＝a2－c2＝4－（5－1）2＝25－2，所以“黄金椭圆”C的标准方程可以为x24＋y225－2＝1.
10.[2021全国卷甲]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为 8 .
解析 因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，所以四边形PF1QF2为矩形.
解法一 设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，则m＋n＝8，m2＋n2＝｜F1F2｜2＝48，
所以（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn＝64，可得mn＝8，即四边形PF1QF2的面积等于8.
解法二 令∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积为b2tanθ2＝4tan90°2＝4，所以四边形PF1QF2的面积等于8.
11.[2023石家庄市二检]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于P，Q两点，若PF1⊥PF2 ，且｜PF2｜｜PQ｜＝512，则椭圆C的离心率为 53 .
解析 依题意，设｜PF2｜＝5t（t＞0），则｜PQ｜＝12t.如图，连接F2Q，在Rt△PF2Q中，根据勾股定理可得｜F2Q｜＝13t.因为PF1+PF2=2a,所以｜PF1｜＝2a－5t，所以QF1=12t-2a-5t=17t-2a.因为｜QF1｜＋｜QF2｜＝2a，所以｜QF1｜＝2a－13t，所以17t－2a＝2a－13t，即2a＝15t，则｜PF1｜＝43a，｜PF2｜＝23a.在Rt△PF2F1中，43a2+（23a）2＝4c2，解得c2a2＝59，所以ca＝53，即椭圆C的离心率为53.
12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长与短轴长的比是2∶3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（0，23），点P是椭圆C上任意一点，求｜MP｜的最大值.
解析 （1）设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），
由题意得a2＝b2＋c2，c=2，2a∶2b=2∶3，可得a2＝16，b2＝12，
所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.
（2）设P（x0，y0），则x0216＋y0212＝1，即x02＝16－43y02，
所以｜MP｜2＝x02＋（y0－23）2＝（16－43y02）＋y02－43y0＋12＝－13（y0+63）2＋64，y0∈[－23，23].
因为y＝－13（x+63）2＋64（x∈R）的图象的对称轴方程为x＝－63，所以y=-13(x+63)2＋64在[－23，23]上单调递减，所以当y0＝－23时，｜MP｜2取得最大值48，即｜MP｜的最大值为43.
13.[全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解析 （1）连接PF1.由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，于是2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝（3＋1）c，故C的离心率e＝ca＝3－1.
（2）设满足条件的点P的坐标为（x，y），则
12｜y｜·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，
即c｜y｜＝16 ①，
x2＋y2＝c2 ②，
x2a2＋y2b2＝1 ③，
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2，又由①知y2＝162c2，故b＝4.
由②③得x2＝a2c2（c2－b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.
当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞）.
14.[2023河南适应性测试]如图，椭圆E：x25＋y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作弦AB，CD.若AB∥CD，则｜AF1｜+｜CF2｜的取值范围为（ C ）
A.[25，1655]B.[25，1655）
C.[855，25）D.[855，25]
解析 由椭圆的对称性可知｜CF2｜＝｜BF1｜，所以AF1+CF2=AF1+BF1=AB.因为弦AB，CD分别过椭圆E的左、右焦点，且AB∥CD，所以｜AB｜∈[2b2a，2a），又a＝5，b2＝4，所以｜AB｜∈[855，25），故选C.
15.[2024天星原创]已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若｜PB｜2的最大值是｜PF1｜·｜PF2｜的最小值的163倍，则椭圆C的离心率为（ D ）
A.23B.12C.32或12D.32
解析 设P（x0，y0），则｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝a2（1－y02b2）＋（y0－b）2＝－c2b2（y0＋b3c2）2＋a4c2，由题意知c＞b，故－b＜－b3c2＜0，又－b≤y0≤b，所以当y0＝－b3c2时，｜PB｜2取得最大值a4c2.
因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝｜PF1｜（2a－｜PF1｜）＝－｜PF1｜2＋2a｜PF1｜＝－（｜PF1｜－a）2＋a2，因为｜PF1｜∈[a－c，a＋c]，所以当｜PF1｜＝a－c或｜PF1｜＝a＋c时，｜PF1｜·｜PF2｜取得最小值，为－c2＋a2＝b2.
又｜PB｜2的最大值是｜PF1｜·｜PF2｜的最小值的163倍，所以a4c2＝16b23，即3a4＝16a2c2－16c4，又e＝ca，所以16e4－16e2＋3＝0，得e＝12或e＝32.又e＝12不满足c＞b，e＝32满足c>b,所以e＝32.故选D.
16.[多选]已知F1，F2是椭圆C：mx2＋（1－m）y2＝m－m2在x轴上两个不同的焦点，点M在C上，则（ ABD ）
A.0＜m＜12
B.C的离心率为1－2m1－m
C.∠F1MF2的最大值小于π2
D.△F1MF2面积的最大值为24
解析 选项A，椭圆C的方程mx2＋（1－m）y2＝m－m2可化为x21－m＋y2m＝1，（提示：因为方程mx2＋（1－m）y2＝m－m2表示椭圆，所以m≠0且m≠1）
由题意可知，1－m＞m＞0，解得0＜m＜12，故A正确；
选项B，设C的半焦距为c，长半轴长为a，短半轴长为b，由方程x21－m＋y2m＝1可知，a2＝1－m，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝1－2m，则C的离心率e＝ca＝1－2m1－m，故B正确；
选项C，以F1F2为直径作圆O，因为c2－b2＝1－2m－m＝1－3m，所以当13＜m＜12时，椭圆C与圆O无交点，此时∠F1MF2的最大值小于π2，当m＝13时，椭圆C与圆O有两个交点，∠F1MF2的最大值为π2，当0＜m＜13时，椭圆C与圆O有四个交点，此时∠F1MF2的最大值大于π2，故C错误；
选项D，易知△F1MF2面积的最大值为12×2c×b＝（1－2m）m＝－2m2＋m＝－2（m－14）2＋18，
所以当m＝14时，△F1MF2的面积取得最大值，为24，故D正确.
17.[2021浙江高考]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0）c>0.若过F1的直线和圆（x－12c）2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是 255 ，椭圆的离心率是 55 .
解析 设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A（12c，0），则｜AM｜＝c，｜AF1｜＝32c，所以｜MF1｜＝52c，所以该直线的斜率k＝｜AM｜｜MF1｜＝c52c＝255.因为PF2⊥x轴，所以PF2=b2a，又｜F1F2｜＝2c，所以k＝255＝b2a2c＝a2－c22ac＝1－e22e，得e＝55.
18.[与立体几何综合/多选/2023安徽安庆模拟]如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是（ ACD ）
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为24
C.椭圆的方程可以为x24＋y22＝1
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－2
解析 圆柱的底面半径是2，直径是22，所以椭圆的长轴长2a＝22cs45°＝4，故a＝2，短轴长2b＝22，b＝2，则c＝a2－b2＝2，离心率e＝ca＝22.以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为x24＋y22＝1.椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－2.故选ACD.
19.[新定义“果圆”]我们把由半椭圆E1：x2a2＋y2b2＝1（x≥0）与半椭圆E2：y2b2＋x2c2＝1（x≤0）合成的曲线称为“果圆”，其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0，如图.设A1，A2，B1，B2是“果圆”与坐标轴的交点，C为半椭圆E1上一点，F为半椭圆E1的焦点.若CA1+CF=43，tan∠B1A1B2＝－22，则“果圆”的内接矩形面积的最大值为 4（2＋6） .
解析 由已知得F（c，0），A1（－c，0），所以A1，F分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点.由｜CA1｜＋｜CF｜＝43及椭圆的定义可得2a＝43，即a＝23.
设∠B1A1O＝θ，则tan∠B1A1B2＝tan 2θ＝－22，tan 2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22，因为θ是锐角，所以tan θ＞0，所以tan θ＝2.
因为tan θ＝bc，所以b＝2c，因为a＝23，a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0，所以b＝22，c＝2.所以半椭圆E1：x212＋y28＝1（x≥0），半椭圆E2：y28＋x24＝1（x≤0）.
作“果圆”的内接矩形为MNPQ（如图）.设M（x1，y1），N（x2，y1），0＜x1＜23，－2＜x2＜0，0＜y1＜22，则满足x1212＋y128＝1 ①，y128＋x224＝1 ②，①－②得x12＝3x22，即x1＝－3x2.
则“果圆”的内接矩形的面积为2（x1－x2）y1＝2（－3x2－x2）8（1－x224）＝22×（3＋1）×（4－x22）x22≤2（6＋2）×4－x22＋x222＝4（2＋6），当且仅当4－x22＝x22，即x2＝－2时等号成立.所以“果圆”的内接矩形面积的最大值为4（2＋6）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
2.了解椭圆的简单应用.
3.体会数形结合的思想.
椭圆的定义及其应用
2023全国卷甲T7；2023全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT5；2021全国卷甲T15；2020新高考卷ⅠT9
该讲是高考命题的热点，主要体现：（1）以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等；（2）以特殊的几何图形为命题背景，求解三角形的面积，弦长等.题型既有小题也有大题，难度中等偏上.在2025年高考的备考中，应关注椭圆的定义和几何性质在解题中的应用.
椭圆的标准方程
2023全国卷乙T20；2022全国卷甲T11；2022全国卷乙T20；2021新高考卷ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020新高考卷ⅡT21；2020全国卷ⅠT20；2020全国卷ⅡT19；2020全国卷ⅢT20；2019全国卷ⅠT10；2019全国卷ⅡT21
椭圆的几何性质
2023新高考卷ⅠT5；2022新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T20；2022全国卷甲T10；2021全国卷 乙T11；2020全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅢT15
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
图形
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
几
何
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：⑥ x轴、y轴 .对称中心：⑦ 原点
焦点
F1（－c，0），F2（c，0）
F1（0，－c），F2（0，c）
顶点
A1－a，0,A2a，0,
B10，－b,B20，b
A10，－a,A20，a,
B1－b，0,B2b，0
轴
线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为⑧ 2a ，短轴长为⑨ 2b
焦距
｜F1F2｜＝2c
离心率
e＝ca＝1－b2a2∈⑩ （0，1）
a，b，c
的关系
⑪ a2＝b2＋c2
学生用书P181
1.椭圆的定义和标准方程
（1）定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于① 常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的② 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的③ 焦距 .
集合语言：P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，2a＞｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数.
注意 若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为④ x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为⑤ y2a2+x2b2=1 （a＞b＞0）.
思维拓展
椭圆的第二定义、第三定义
椭圆的第二定义：{P｜｜PF｜d＝e，0＜e＜1，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F∉l，d表示点P到直线l的距离}.
椭圆的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，0＜e＜1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}.
注意 椭圆的第三定义中的两个定点（椭圆的顶点）在x轴上，且利用椭圆第三定义得出的轨迹方程不包括这两个定点.
2.椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝a2－c2越大，因此椭圆越接近于圆.
常用结论
1.椭圆的焦点三角形
以椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2为顶点的△PF1F2叫做焦点三角形.
如图所示，设∠F1PF2＝θ.
（1）当P为短轴端点时，θ最大.（2）S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2tanθ2=c｜y0｜，当｜y0｜＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，最大值为bc.（3）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c.（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.
2.设椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），则当点Px0,y0在椭圆上时，｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（e为椭圆的离心率）.
1.（1）的推导过程：在焦点三角形PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cs θ，
则cs θ＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝(|PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1||PF2｜－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝（2a）2－4c2－2｜PF1||PF2｜2｜PF1||PF2｜
＝2b2｜PF1||PF2｜－1，
∵｜PF1｜｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜，即点P是短轴端点时取等号，
∴cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1≥2b2a2－1.
又函数y＝cs x在（0，π）上单调递减，∴当P为短轴的端点时，θ最大.
1.（2）的推导过程：由上条结论的推导过程得cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1，∴｜PF1｜｜PF2｜＝2b21+csθ，
∴S△PF1F2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝12·2b21+csθ·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2·2sin θ2cs θ22cs2 θ2＝b2tan θ2.
1.设P是椭圆C：x25＋y23＝1上的动点，则P到椭圆的两个焦点的距离之和为（ C ）
A.22B.23C.25D.42
解析 根据椭圆的定义，可知点P到椭圆的两个焦点的距离之和为25.故选C.
2.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为12，则（ B ）
A.a2＝2b2B.3a2＝4b2C.a＝2bD.3a＝4b
解析 由题意得，ca＝12，∴c2a2＝14，又a2＝b2＋c2，∴a2－b2a2＝14，∴b2a2＝34，∴4b2＝3a2.故选B.
3.[多选]下列说法正确的是（ CD ）
A.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆
B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆
C.关于x，y的方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆
D.x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）与y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同
4.[易错题]平面内一点M到两定点F1（－6，0），F2（6，0）的距离之和等于12，则点M的轨迹是 线段F1F2 .
解析 由题意知｜MF1｜＋｜MF2｜＝12，但｜F1F2｜＝12，即｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜，所以点M的轨迹是线段F1F2.
5.[易错题]椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝ 4或8 .
解析 当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.
6.已知椭圆的一个焦点为F（6，0），且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是 x248＋y212＝1 .
解析 由已知得椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.由一个焦点为F（6，0），知c＝6，又△FB1B2为等边三角形，得b＝23，所以a2＝b2＋c2＝48，故椭圆的标准方程为x248＋y212＝1.
学生用书P183
命题点1 椭圆的定义及其应用
例1 （1）[2023全国卷甲]设F1，F2为椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（ B ）
A.1B.2C.4D.5
解析 解法一 因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝b2tan∠F1PF22，得12｜PF1｜·｜PF2｜＝1×tan90°2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
解法二 因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF12+PF22=F1F22＝2c2=16.因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝25，所以(|PF1｜＋｜PF2|)2＝20，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为（ C ）
A.13B.12C.9D.6
解析 由椭圆C：x29＋y24＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
则｜MF1｜·｜MF2｜≤（｜MF1｜＋｜MF2｜2）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.
（3）动圆M与圆M1：（x＋1）2＋y2＝1外切，与圆M2：（x－1）2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹是 椭圆 .
解析 设圆M的半径为R.因为圆M与圆M1外切，与圆M2内切，所以MM1=1+R,｜MM2｜＝5－R，所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6＞｜M1M2｜＝2，所以M的轨迹是椭圆.
方法技巧
1.椭圆定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为椭圆；（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义以及余弦定理.
训练1 （1）[2023全国卷甲]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29＋y26＝1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2＝35，则｜OP｜＝（ B ）
A.135B.302C.145D.352
解析 解法一 依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图，不妨令F1（－3，0），F2（3，0）.设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝m2＋n2－122mn＝35 ①，由椭圆的定义可得m+n=2a=6 ②.由①②，解得mn＝152.设｜OP｜＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得x2+3－m223x＝－x2+3－n223x，得x2＝m2＋n2－62＝（m＋n）2－2mn－62＝152，所以｜OP｜＝302.（也可由PO＝12（PF1＋PF2），两边同时平方求｜OP｜）
解法二 依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图（图同解法一），设点P的坐标为（x0，y0），利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝b2sin∠F1PF21+cs∠F1PF2.因为cs∠F1PF2＝35，所以sin∠F1PF2＝45，故S△F1PF2＝6×451+35＝3.又S△F1PF2＝12×2c｜y0｜＝3｜y0｜，故y02＝3，又x029＋y026＝1，所以x02＝92，故｜OP｜2＝x02＋y02＝152，得｜OP｜＝302.
（2）已知椭圆x24＋y23＝1，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若点A的坐标为（1，1），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为（ A ）
A.3B.10C.5＋12D.5＋1
解析 设椭圆的右焦点为F2（1，0），则｜AF2｜＝1，PA+PF=PA+4-PF2=4+PA-PF2.又｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝1，所以-1≤PA-PF2≤1，所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值为3（此时点P是射线F2A与椭圆的交点）.
（3）已知△ABC 的周长为20，且顶点B（0，－4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是 x220＋y236＝1（x≠0） .
解析 因为△ABC的周长为20，顶点B（0，－4），C（0，4），所以｜BC｜＝8，｜AB｜＋｜AC｜＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆的一部分，设椭圆方程为x2b2＋y2a2＝1（a＞b＞0），易得a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以点A的轨迹方程是x220＋y236＝1（x≠0）.
命题点2 椭圆的标准方程
例2 （1）[2023南京模拟]已知椭圆的两个焦点分别为F1（0，2）， F2（0，－2），P为椭圆上任意一点，若｜F1F2｜是｜PF1｜，｜PF2｜的等差中项，则此椭圆的标准方程为（ D ）
A.x264＋y260＝1B.y264＋x260＝1
C.x216＋y212＝1D.y216＋x212＝1
解析 由题意得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝23，又焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.
（2）[2022全国卷甲]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若BA1·BA2＝－1，则C的方程为（ B ）
A.x218＋y216＝1B.x29＋y28＝1
C.x23＋y22＝1D.x22＋y2＝1
解析 依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以BA1＝（－a，－b），BA2＝（a，－b），BA1·BA2＝－a2＋b2＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝ca＝13，所以a＝3，故a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为x29＋y28＝1，故选B.
方法技巧
求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法
先根据椭圆的定义确定a，b，c的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程.
2.待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b的值；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，用待定系数法求出m，n的值.
训练2 （1）[2023银川市质检]已知A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右顶点，焦距为4，直线y＝kx（k≠0）与C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为－12，则椭圆C的方程为（ B ）
A.x26＋y22＝1B.x28＋y24＝1
C.x29＋y25＝1D.x232＋y216＝1
解析 解法一 因为A是椭圆C的右顶点，所以点A的坐标为（a，0），因为直线y＝kx（k≠0）过原点，所以与椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的交点P，Q关于原点对称，因此可设P，Q两点的坐标分别为（x1，y1），（－x1，－y1），则kAP·kAQ＝y1x1－a·－y1－x1－a＝y1x1－a·y1x1＋a=y12x12－a2.因为点P（x1，y1）在椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，所以x12a2＋y12b2＝1，故y12＝b2（1－x12a2）＝b2a2（a2－x12），所以kAP·kAQ＝y12x12－a2＝b2a2（a2－x12）x12－a2＝－b2a2，由已知可得－b2a2＝－12，所以a2＝2b2.由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2=4，故椭圆C的方程为x28＋y24＝1，故选B.
解法二 由二级结论可知，直线AP和AQ的斜率之积为－b2a2，所以－b2a2＝－12，所以a2＝2b2，由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2＝4，故椭圆C的方程为x28＋y24＝1，故选B.（二级结论：过原点的直线与椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）相交于P，Q两点，A为椭圆上任意一点，且直线AP和AQ与坐标轴不垂直，则直线AP和AQ的斜率之积为定值－b2a2）
（2）若椭圆经过两点（1，32）和（2，22），则椭圆的标准方程为 x24+y2=1 .
解析 解法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1 （a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，32）和（2，22），∴1a2＋34b2=1，2a2＋12b2=1，解得a=2，b=1.∴所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，32）和（2，22），∴34a2＋1b2=1，12a2＋2b2=1，解得a=1，b=2，与a＞b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.
解法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 （m＞0，n＞0，m≠n）.
∵椭圆过（1，32）和（2，22）两点，∴m＋3n4=1，2m＋n2=1，解得m＝14，n=1.∴所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.
命题点3 椭圆的几何性质
角度1 离心率
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]设椭圆C1：x2a2＋y2＝1（a＞1），C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3e1，则 a＝（ A ）
A.233B.2C.3D.6
解析 解法一（直接求解法） 由已知得e1＝a2－1a，e2＝4－12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝3×a2－1a，得a＝233.故选A.
解法二（选项代入验证法） 若a＝233，则e1＝a2－1a＝（233）2－1233＝12，又e2＝32，所以e2＝3e1，所以a＝233符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）[2022全国卷甲]椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（ A ）
A.32B.22C.12D.13
解析 解法一 设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14 ①.因为点P在椭圆C上，所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2（a2－m2），代入①式，得b2a2＝14，所以e＝1－b2a2＝32.故选A.
解法二 设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－14＝e2－1，所以e＝32.故选A.
（3）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是（ C ）
A.[22，1）B.[12，1）C.（0，22]D.（0，12]
解析 依题意，得B（0，b），设椭圆上一点P（x0，y0），则｜y0｜≤b，由x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，则｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝x02＋y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，｜PB｜2＝4b2，所以－b3c2≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝ca≤22，故选C.
方法技巧
1.求椭圆离心率的方法
（1）直接利用公式求离心率.e＝ca＝1－（ba）2.
（2）由椭圆的定义求离心率.设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜.
（3）构造关于a，c的齐次式求离心率.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
注意 将余弦定理与椭圆的定义结合列方程，是常见的构造关于a，b，c的齐次式的方法.
2.求椭圆离心率范围时，要注意对几何图形的临界情况的应用.
训练3 （1）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且△ABF是等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ B ）
A.5－12B.3－12C.3－1D.5－1
解析 由题意知｜AB｜＞｜BF｜，｜AF｜＞｜BF｜，故｜AB｜＝｜AF｜，即a2＋b2＝a＋c，所以2a2－c2＝a2＋2ac＋c2，即2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，解得e＝3－12（负值舍去），故选B.
（2）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（ D ）
A.1－32B.2－3C.3－12D.3－1
解析 由题意可得，｜PF2｜∶｜PF1｜∶｜F1F2｜＝1∶3∶2.因为｜F1F2｜＝2c，所以｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，故椭圆C的离心率e＝ca＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜＝23+1＝3－1.故选D.
角度2 与椭圆性质有关的最值（范围）问题
例4 （1）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（ A ）
A.52B.6C.5D.2
解析 设点P（x，y），则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B（0，1），所以｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝254－（2y＋12）2（｜y｜≤1）.当2y＋12＝0，即y＝－14时，｜PB｜2取得最大值254，所以｜PB｜max＝52.故选A.
（2）设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ A ）
A.（0，1]∪[9，＋∞）B.（0，3]∪[9，＋∞）
C.（0，1]∪[4，＋∞）D.（0，3]∪[4，＋∞）
解析 依题意得3m≥tan∠AMB2，0
方法技巧
利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）代数法，设坐标，利用坐标构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）几何法，通过数形结合、几何意义等结合椭圆性质求解.
训练4 （1）[2023贵阳摸底]已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点.点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足MP·MF1＝0，NP·NF2＝0，则｜MN｜的最大值为（ A ）
A.3B.4C.5D.6
解析 设PF1，PF2的中点分别为A，B，因为MP·MF1＝0，NP·NF2＝0，所以M在以A为圆心，PF1为直径的圆上，N在以B为圆心，PF2为直径的圆上，所以直线AB与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M，N（M，N的位置如图所示）时，｜MN｜最大，此时｜MN｜＝｜PA｜＋｜AB｜＋｜PB｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜2＋｜AB｜.又椭圆C：x24＋y23＝1，所以a＝2，b＝3，c＝a2－b2＝1，所以｜MN｜的最大值为｜PF1｜＋｜PF2｜2＋｜AB｜＝a＋c＝2＋1＝3，故选A.
（2）如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1（b＞0）的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为 4 .
解析 由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.设P点坐标为（x0，y0），－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.因为F（－1，0），A（2，0），PF＝（－1－x0，－y0），PA＝（2－x0，－y0），x024＋y023＝1，所以PF·PA＝x02－x0－2＋y02＝14x02－x0＋1＝14（x0－2）2，则当x0＝－2时，PF·PA取得最大值4.
1.[命题点1，2]已知△ABC中，A为动点，B（－2，0），C（2，0）且满足sin C＋sin B＝2sin A，则点A的轨迹方程为 x216＋y212＝1（y≠0） .
解析 根据正弦定理，由sin C＋sin B＝2sin A，得AB＋AC＝2BC，得AB＋AC＝8＞BC，所以点A的轨迹是以B（－2，0），C（2，0）为焦点的椭圆，且不包括（4，0），（－4，0）两点.（易忽略隐含条件：△ABC）
设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0，y≠0），则2a＝8，2c＝4，即a＝4，c＝2，故b＝a2－c2＝23，所以点A的轨迹方程为x216＋y212＝1（y≠0）.
2.[命题点1，2/多选/2024重庆一中阶段练习]已知点A（－1，1），F1（－1，0），F2（1，0），动点P（x，y）满足：（x+1）2＋y2＋（x－1）2＋y2＝4，则以下说法正确的是（ AD ）
A.点P的轨迹方程为x24＋y23＝1
B.｜PA｜＋｜PF2｜＜5
C.存在4个点P，使得△PAF1的面积为32
D.｜PA｜＋｜PF1｜＞1
解析 对于A，由（x+1）2＋y2＋（x－1）2＋y2＝4得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4＞｜F1F2｜＝2，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且焦距2c＝2，长轴长2a＝4，即c＝1，a＝2，故短半轴长b＝a2－c2＝3，
故点P（x，y）的轨迹方程为x24＋y23＝1，A正确.
对于B，D，将（－1，1）代入椭圆方程，得14＋13＜1，所以点A（－1，1）在椭圆内，所以｜PA｜＋｜PF2｜＝｜PA｜＋2a－｜PF1｜＝2a＋｜PA｜－｜PF1｜≤2a＋｜AF1｜＝4＋1＝5，
如图，当且仅当点P位于点P1的位置，即P1F1与x轴垂直时等号成立.｜PA｜＋｜PF1｜＝｜PA｜＋2a－｜PF2｜＝4＋｜PA｜－｜PF2｜，连接AF2，由于｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝5，所以｜PA｜－｜PF2｜≥－5，所以｜PA｜＋｜PF1｜＝4＋｜PA｜－｜PF2｜≥4－5＞1，如图，当且仅当点P位于点P2的位置时等号成立，故B错误，D正确.
对于C，S△PAF1＝12｜AF1｜h＝12×1×h＝h2，其中h为点P到直线AF1的距离，若S△PAF1＝h2=32，则h＝3，由于当点P为椭圆的右顶点时，h取得最大值3，故满足条件的点P只有一个，C错误.故选AD.
3.[命题点1，3]如图，焦点在x轴上的椭圆x2a2＋y22＝1（a＞2）的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于
A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若｜F1Q｜＝4，则该椭圆的离心率为 144 .
解析 如图所示，不妨设△APF1的内切圆在边AF1，AP上的切点分别为M，N，圆心为C，连接CM，CN，则易得｜CM｜＝｜CN｜，又因为△AF1F2为等腰三角形，故点C在y轴上，则由题意可知｜F1Q｜＝｜F1M｜＝｜F2N｜＝｜PN｜＋｜PF2｜＝｜PQ｜＋｜PF2｜＝4，由椭圆的定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，即｜PQ｜＋｜QF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8，解得a＝4，所以c＝a2－2＝16－2＝14，所以椭圆的离心率e＝ca＝144.
4.[命题点3角度1]若椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F1MF2＝90°（F1，F2分别为椭圆的左、右焦点），则椭圆的离心率e的取值范围为 [22，1） .
解析 解法一 设点M的坐标是（x0，y0），则｜x0｜＜a.
∵F1（－c，0），F2（c，0），∴MF1＝（－c－x0，－y0），MF2＝（c－x0，－y0）.
∵∠F1MF2＝90°，∴MF1·MF2＝－（c＋x0）（c－x0）＋y02＝0，即x02＋y02＝c2.
又点M在椭圆上，即y02＝b2－b2a2x02，
∴x02＋y02＝b2＋c2a2x02∈[b2，a2），即c2∈[b2，a2），
∴c2≥b2＝a2－c2，即c2a2≥12，
又0＜e＜1，∴22≤e＜1，
故椭圆的离心率e的取值范围是[22，1）.
解法二 设椭圆与y轴的一个交点为P，
∵椭圆上存在一点M，使∠F1MF2＝90°，
∴∠F1PF2≥90°，则c≥b，
∴c2≥b2＝a2－c2，即c2a2≥12，
又0＜e＜1，∴22≤e＜1，
故椭圆的离心率e的取值范围为[22，1）.
5.[命题点3]直线y＝kx（k∈R）与椭圆x26＋y22＝1相交于A，B两点，若将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与x轴上方半平面所成的角为直角，则｜AB｜的取值范围是（ C ）
A.[2，6）B.[2，26]C.（2，26]D.（2，6]
解析 在平面直角坐标系中，设A（x1，y1），B（x2，y2），则易知x1＝－x2，y1＝－y2.由y＝kx，x26＋y22=1，
可得（1＋3k2）x2－6＝0，可得x1x2＝－61+3k2，所以x12＝61+3k2.
将x轴下方半平面沿着x轴翻折，使之与x轴上方半平面所成的角为直角，如图所示，
作BC⊥x轴，AD⊥x轴，垂足分别为C，D，则｜AB｜2＝｜BC｜2＋｜CD｜2＋｜AD｜2.由对称性可得｜BC｜2＝｜AD｜2＝y12＝k2x12，｜CD｜2＝（x1－x2）2＝4x12，所以｜AB｜2＝2k2x12＋4x12＝12k2+241+3k2＝4（3k2+1+5）1+3k2＝4（1＋51+3k2）.因为k2≥0，所以3k2＋1≥1，所以0＜53k2+1≤5，所以4＜｜AB｜2≤24，所以2＜｜AB｜≤26，所以｜AB｜的取值范围是（2，26]，故选C.
学生用书·练习帮P355
1.[2024广西模拟]椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝（ C ）
A.4B.8C.4或8D.12
解析 当椭圆的焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，且10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，且m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.∴m＝4或8.
2.[2023成都模拟]设F为椭圆C：x24＋y23＝1的右焦点，点A（2，0），点B在C上，若｜BF｜＝2｜AF｜，则｜AB｜＝（ C ）
A.5 B.25 C.7D.27
解析 由题意可知，a2＝4，b2＝3，所以c2＝1，所以F（1，0），｜AF｜＝1，所以｜BF｜＝2｜AF｜＝2.设F1为左焦点，则｜BF1｜＋｜BF｜＝4，得｜BF1｜＝2，故B为椭圆C短轴的端点，所以B（0，±3），所以｜AB｜＝22＋（±3）2＝7.故选C.
3.[2024陕西检测]已知两定点F1（－1，0），F2（1，0）和一动点P，若｜F1F2｜是｜PF1｜与｜PF2｜的等差中项，则动点P的轨迹方程为（ B ）
A.x216＋y29＝1B.x24＋y23＝1
C.x216－y29＝1D.y24＋x23＝1
解析 由题意得｜F1F2｜＝2，∵｜F1F2｜是｜PF1｜与｜PF2｜的等差中项，∴2F1F2=PF1+PF2，即｜PF1｜＋｜PF2｜＝4，且｜PF1｜＋｜PF2｜＞2，∴点P在以F1，F2为焦点的椭圆上.易知a＝2，c＝1，∴b2＝3，∴椭圆的方程是x24＋y23＝1.故选B.
4.[2024广东七校联考]已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ B ）
A.（0，12）B.（0，22）
C.（12，22）D.（22，1）
解析 因为MF1·MF2＝0，所以点M在以原点为圆心，c为半径的圆上，且该圆在椭圆内部，所以c＜b，所以c2＜b2＝a2－c2，则c2＜12a2，所以0＜e＜22，故选B.
5.[2024江西名校模拟]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆上的两点P，Q关于原点对称，若｜PF｜＋｜QF｜＝6，且椭圆C的离心率为13，则椭圆C的方程为（ A ）
A.x29＋y28＝1B.x23＋y22＝1
C.x26＋y24＝1D.x29＋y23＝1
解析 由椭圆的定义及椭圆的对称性可得｜PF｜＋｜QF｜＝2a＝6，所以a＝3.由椭圆C的离心率为13，得a2－b2a＝13，所以b2＝8，故椭圆C的方程为x29＋y28＝1，故选A.
6.[2023南京学情调研]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，上顶点为B，点P为椭圆上一点，且PF2⊥F1F2.若AB∥PF1，则椭圆的离心率为（ A ）
A.55B.12C.33D.22
解析 由题意，知A（－a，0），B（0，b），F1（－c，0），F2（c，0），所以kAB＝ba.因为AB∥PF1，所以kPF1＝kAB＝ba.将x＝c代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1中，解得y＝±b2a.易知点P位于第一象限，所以P（c，b2a），所以kPF1＝b22ac，所以b22ac＝ba，即b＝2c，两边平方，得b2＝4c2.又b2＝a2－c2，所以a2－c2＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝ca＝55，故选A.
7.[2024四川德阳检测]已知点P为椭圆C：x29＋y25＝1上一点，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，若｜PF1｜＝2｜PF2｜，则△PF1F2的内切圆半径为（ B ）
A.1510B.155C.2155D.15
解析 因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，且｜PF1｜＝2｜PF2｜，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，c2＝9－5＝4，｜F1F2｜＝2c＝4，所以｜PF1｜＝｜F1F2｜，
则等腰三角形PF1F2底边PF2上的高h＝42－12＝15，
所以S△PF1F2＝12×2×15＝15.设△PF1F2的内切圆半径为r，则12×PF1+PF2+F1F2×r=12×10×r=15，所以r＝155，故选B.
8.[多选/2023福州5月质检]已知椭圆C：px2＋qy2＝r，且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（ BC ）
A.C的长轴长为2
B.C的焦距为22
C.C的离心率为22
D.C与圆（x－3）2＋y2＝1有2个公共点
解析 ∵p，q，r依次成公比为2的等比数列，∴q＝2p，r＝4p，p≠0，∴px2＋qy2＝r可化为x2＋2y2＝4，即x24＋y22＝1， a＝2，b＝2，c＝2.选项A，椭圆C的长轴长为2a＝4，A错误；选项B，椭圆C的焦距为2c＝22，B正确；选项C，椭圆C的离心率为22，C正确；选项D，由x2+2y2=4，（x－3）2＋y2=1，得x＝2，y＝0，∴椭圆C与圆（x－3）2＋y2＝1只有一个公共点，故D错误.综上，选BC.
9.[2023广东省部分学校联考]我们通常称离心率为5－12的椭圆为“黄金椭圆”.请写出一个焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的“黄金椭圆”C的标准方程： x24＋y225－2＝1（答案不唯一） .
解析 由题可设C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），令a＝2，由题可知离心率e＝ca＝5－12，所以c＝5－1，b2＝a2－c2＝4－（5－1）2＝25－2，所以“黄金椭圆”C的标准方程可以为x24＋y225－2＝1.
10.[2021全国卷甲]已知F1，F2为椭圆C：x216＋y24＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，则四边形PF1QF2的面积为 8 .
解析 因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且｜PQ｜＝｜F1F2｜，所以四边形PF1QF2为矩形.
解法一 设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，则m＋n＝8，m2＋n2＝｜F1F2｜2＝48，
所以（m＋n）2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn＝64，可得mn＝8，即四边形PF1QF2的面积等于8.
解法二 令∠F1PF2＝θ，则△PF1F2的面积为b2tanθ2＝4tan90°2＝4，所以四边形PF1QF2的面积等于8.
11.[2023石家庄市二检]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C交于P，Q两点，若PF1⊥PF2 ，且｜PF2｜｜PQ｜＝512，则椭圆C的离心率为 53 .
解析 依题意，设｜PF2｜＝5t（t＞0），则｜PQ｜＝12t.如图，连接F2Q，在Rt△PF2Q中，根据勾股定理可得｜F2Q｜＝13t.因为PF1+PF2=2a,所以｜PF1｜＝2a－5t，所以QF1=12t-2a-5t=17t-2a.因为｜QF1｜＋｜QF2｜＝2a，所以｜QF1｜＝2a－13t，所以17t－2a＝2a－13t，即2a＝15t，则｜PF1｜＝43a，｜PF2｜＝23a.在Rt△PF2F1中，43a2+（23a）2＝4c2，解得c2a2＝59，所以ca＝53，即椭圆C的离心率为53.
12.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长与短轴长的比是2∶3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（0，23），点P是椭圆C上任意一点，求｜MP｜的最大值.
解析 （1）设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），
由题意得a2＝b2＋c2，c=2，2a∶2b=2∶3，可得a2＝16，b2＝12，
所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.
（2）设P（x0，y0），则x0216＋y0212＝1，即x02＝16－43y02，
所以｜MP｜2＝x02＋（y0－23）2＝（16－43y02）＋y02－43y0＋12＝－13（y0+63）2＋64，y0∈[－23，23].
因为y＝－13（x+63）2＋64（x∈R）的图象的对称轴方程为x＝－63，所以y=-13(x+63)2＋64在[－23，23]上单调递减，所以当y0＝－23时，｜MP｜2取得最大值48，即｜MP｜的最大值为43.
13.[全国卷Ⅱ]已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
解析 （1）连接PF1.由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，于是2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝（3＋1）c，故C的离心率e＝ca＝3－1.
（2）设满足条件的点P的坐标为（x，y），则
12｜y｜·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，
即c｜y｜＝16 ①，
x2＋y2＝c2 ②，
x2a2＋y2b2＝1 ③，
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2，又由①知y2＝162c2，故b＝4.
由②③得x2＝a2c2（c2－b2），所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.
当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞）.
14.[2023河南适应性测试]如图，椭圆E：x25＋y24＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1，F2分别作弦AB，CD.若AB∥CD，则｜AF1｜+｜CF2｜的取值范围为（ C ）
A.[25，1655]B.[25，1655）
C.[855，25）D.[855，25]
解析 由椭圆的对称性可知｜CF2｜＝｜BF1｜，所以AF1+CF2=AF1+BF1=AB.因为弦AB，CD分别过椭圆E的左、右焦点，且AB∥CD，所以｜AB｜∈[2b2a，2a），又a＝5，b2＝4，所以｜AB｜∈[855，25），故选C.
15.[2024天星原创]已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若｜PB｜2的最大值是｜PF1｜·｜PF2｜的最小值的163倍，则椭圆C的离心率为（ D ）
A.23B.12C.32或12D.32
解析 设P（x0，y0），则｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝a2（1－y02b2）＋（y0－b）2＝－c2b2（y0＋b3c2）2＋a4c2，由题意知c＞b，故－b＜－b3c2＜0，又－b≤y0≤b，所以当y0＝－b3c2时，｜PB｜2取得最大值a4c2.
因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝｜PF1｜（2a－｜PF1｜）＝－｜PF1｜2＋2a｜PF1｜＝－（｜PF1｜－a）2＋a2，因为｜PF1｜∈[a－c，a＋c]，所以当｜PF1｜＝a－c或｜PF1｜＝a＋c时，｜PF1｜·｜PF2｜取得最小值，为－c2＋a2＝b2.
又｜PB｜2的最大值是｜PF1｜·｜PF2｜的最小值的163倍，所以a4c2＝16b23，即3a4＝16a2c2－16c4，又e＝ca，所以16e4－16e2＋3＝0，得e＝12或e＝32.又e＝12不满足c＞b，e＝32满足c>b,所以e＝32.故选D.
16.[多选]已知F1，F2是椭圆C：mx2＋（1－m）y2＝m－m2在x轴上两个不同的焦点，点M在C上，则（ ABD ）
A.0＜m＜12
B.C的离心率为1－2m1－m
C.∠F1MF2的最大值小于π2
D.△F1MF2面积的最大值为24
解析 选项A，椭圆C的方程mx2＋（1－m）y2＝m－m2可化为x21－m＋y2m＝1，（提示：因为方程mx2＋（1－m）y2＝m－m2表示椭圆，所以m≠0且m≠1）
由题意可知，1－m＞m＞0，解得0＜m＜12，故A正确；
选项B，设C的半焦距为c，长半轴长为a，短半轴长为b，由方程x21－m＋y2m＝1可知，a2＝1－m，b2＝m，所以c2＝a2－b2＝1－2m，则C的离心率e＝ca＝1－2m1－m，故B正确；
选项C，以F1F2为直径作圆O，因为c2－b2＝1－2m－m＝1－3m，所以当13＜m＜12时，椭圆C与圆O无交点，此时∠F1MF2的最大值小于π2，当m＝13时，椭圆C与圆O有两个交点，∠F1MF2的最大值为π2，当0＜m＜13时，椭圆C与圆O有四个交点，此时∠F1MF2的最大值大于π2，故C错误；
选项D，易知△F1MF2面积的最大值为12×2c×b＝（1－2m）m＝－2m2＋m＝－2（m－14）2＋18，
所以当m＝14时，△F1MF2的面积取得最大值，为24，故D正确.
17.[2021浙江高考]已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），焦点F1（－c，0），F2（c，0）c>0.若过F1的直线和圆（x－12c）2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是 255 ，椭圆的离心率是 55 .
解析 设过F1的直线与圆的切点为M，圆心A（12c，0），则｜AM｜＝c，｜AF1｜＝32c，所以｜MF1｜＝52c，所以该直线的斜率k＝｜AM｜｜MF1｜＝c52c＝255.因为PF2⊥x轴，所以PF2=b2a，又｜F1F2｜＝2c，所以k＝255＝b2a2c＝a2－c22ac＝1－e22e，得e＝55.
18.[与立体几何综合/多选/2023安徽安庆模拟]如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面成45°角的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是（ ACD ）
A.椭圆的长轴长为4
B.椭圆的离心率为24
C.椭圆的方程可以为x24＋y22＝1
D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－2
解析 圆柱的底面半径是2，直径是22，所以椭圆的长轴长2a＝22cs45°＝4，故a＝2，短轴长2b＝22，b＝2，则c＝a2－b2＝2，离心率e＝ca＝22.以椭圆中心为原点，长轴与短轴所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，可得椭圆的方程为x24＋y22＝1.椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a－c＝2－2.故选ACD.
19.[新定义“果圆”]我们把由半椭圆E1：x2a2＋y2b2＝1（x≥0）与半椭圆E2：y2b2＋x2c2＝1（x≤0）合成的曲线称为“果圆”，其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0，如图.设A1，A2，B1，B2是“果圆”与坐标轴的交点，C为半椭圆E1上一点，F为半椭圆E1的焦点.若CA1+CF=43，tan∠B1A1B2＝－22，则“果圆”的内接矩形面积的最大值为 4（2＋6） .
解析 由已知得F（c，0），A1（－c，0），所以A1，F分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点.由｜CA1｜＋｜CF｜＝43及椭圆的定义可得2a＝43，即a＝23.
设∠B1A1O＝θ，则tan∠B1A1B2＝tan 2θ＝－22，tan 2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－22，解得tan θ＝2或tan θ＝－22，因为θ是锐角，所以tan θ＞0，所以tan θ＝2.
因为tan θ＝bc，所以b＝2c，因为a＝23，a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0，所以b＝22，c＝2.所以半椭圆E1：x212＋y28＝1（x≥0），半椭圆E2：y28＋x24＝1（x≤0）.
作“果圆”的内接矩形为MNPQ（如图）.设M（x1，y1），N（x2，y1），0＜x1＜23，－2＜x2＜0，0＜y1＜22，则满足x1212＋y128＝1 ①，y128＋x224＝1 ②，①－②得x12＝3x22，即x1＝－3x2.
则“果圆”的内接矩形的面积为2（x1－x2）y1＝2（－3x2－x2）8（1－x224）＝22×（3＋1）×（4－x22）x22≤2（6＋2）×4－x22＋x222＝4（2＋6），当且仅当4－x22＝x22，即x2＝－2时等号成立.所以“果圆”的内接矩形面积的最大值为4（2＋6）.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
2.了解椭圆的简单应用.
3.体会数形结合的思想.
椭圆的定义及其应用
2023全国卷甲T7；2023全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT5；2021全国卷甲T15；2020新高考卷ⅠT9
该讲是高考命题的热点，主要体现：（1）以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等；（2）以特殊的几何图形为命题背景，求解三角形的面积，弦长等.题型既有小题也有大题，难度中等偏上.在2025年高考的备考中，应关注椭圆的定义和几何性质在解题中的应用.
椭圆的标准方程
2023全国卷乙T20；2022全国卷甲T11；2022全国卷乙T20；2021新高考卷ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020新高考卷ⅡT21；2020全国卷ⅠT20；2020全国卷ⅡT19；2020全国卷ⅢT20；2019全国卷ⅠT10；2019全国卷ⅡT21
椭圆的几何性质
2023新高考卷ⅠT5；2022新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T20；2022全国卷甲T10；2021全国卷 乙T11；2020全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅢT15
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
图形
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
几
何
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：⑥ x轴、y轴 .对称中心：⑦ 原点
焦点
F1（－c，0），F2（c，0）
F1（0，－c），F2（0，c）
顶点
A1－a，0,A2a，0,
B10，－b,B20，b
A10，－a,A20，a,
B1－b，0,B2b，0
轴
线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为⑧ 2a ，短轴长为⑨ 2b
焦距
｜F1F2｜＝2c
离心率
e＝ca＝1－b2a2∈⑩ （0，1）
a，b，c
的关系
⑪ a2＝b2＋c2
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