河南省豫南五市2023届高三下学期第一次联考数学（文）试卷（含答案）

河南省豫南五市2023届高三下学期第一次联考数学（文）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、已知复数z满足，则等于(   )

A.－1 B.0 C.1 D.2

3、已知，，且，则在方向上的投影为(   )

A. B. C. D.

4、为迎接北京2022年冬奥会，小王选择以跑步的方式响应社区开展的“喜迎冬奥爱上运动”(如图)健身活动.依据小王2021年1月至2021年11月期间每月跑步的里程(单位：十公里)数据，整理并绘制的折线图(如图)，根据该折线图，下列结论正确的是(   )

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程的极差小于15

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更大

5、已知是定义在R上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是(   )

A.函数图象关于直线对称

B.函数的周期为2

C.函数图象关于点中心对称

D.

6、记正项等比数列的前n项和为，若，则该数列的公比(   )

A. B. C.2 D.3

7、如图是把二进制数化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是(   )

A. B. C. D.

8、若变量x，y满足，则的最大值是(   )

A.12 B.10 C.8 D.15

9、已知正方体的棱长为2，E，F分别为AB，的中点，则下列结论：

①；

②平面平面；

③点到平面的距离为；

④三棱锥的体积为；

⑤AF与CE所成角的正弦值为.

其中正确的个数为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

10、已知函数的最小正周期为T，若，把的图象向左平移个单位长度，得到奇函数的图象，则(   )

A.-2 B.2 C. D.

11、若直线与曲线有两个公共点，则实数m的取值范围为(   )

A. B.

C.  D.

12、柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体.柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四而体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体.如图，在一个棱长为的正八面体(正八面体是每个面都是正三角形的八面体)内有一个内切圆柱(圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行)，则这个圆柱的体积的最大值为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、已知等差数列的前n项和为，若，且，则_________.

14、割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率为3.1416，在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形的概率为__________.

15、已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______.

16、已知函数，则在上的最大值与最小值之和为_________.

三、解答题

17、2019年12月武汉出现的不明原因的病毒性肺炎，后发现这种肺炎传染性极强，春节到来时中央发出了武汉封城，全国停工停产，学校停课的决定.到2022年底，各地疫情不断，因学校是人员密集场所，所以会根据疫情情况不定时的停课.停课不停学，师生们开始了在家网课教与学的常态化状态.某网站为疫情在家学习的学生们提供了“学习强国”APP的学习平台.某校为了调研学生在该APP学习情况，研究人员随机抽取了2000名学生进行调查，将他们在该APP上学习的时间转化为分数，最长的学习时间赋为100分，最短的学习时间为0分，某两天的分数统计如下表所示：

(1)现用分层抽样的方法从80分及以上的学员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数都在上的概率；

(2)为了调查学生的学习情况是否受到家庭的影响，研究人员随机抽取了500名学生作出调查，得到的数据如下表所示：

判断是否有的把握认为“学习强国”APP得分情况受是否有人陪伴的影响.

附：，其中.

18、在中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.

(1)求证：；

(2)求的最小值.

19、在直三棱柱中，，D、、E分别为AC、、的中点，，点M在线段上，且，.

(1)当时，证明：平面；

(2)当为何值时，点D到平面ABM的距离为？

20、已知函数.

(1)若函数在定义域内单调递增，求a的取值范围；

(2)若，在上恒成立，求整数k的最大值.(参考数据：，)

21、已知椭圆过直线上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设O为坐标原点，求面积的最小值.

22、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.

(1)写出的极坐标方程；

(2)设点M的极坐标为，射线分别交，于A，B两点(异于极点)，当时，求.

23、已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：.

参考答案

1、答案：D

解析：因为

，

集合，所以.故选：D.

2、答案：B

解析：由题意可得：，可得：，，，，，则，，故.故选：B.

3、答案：D

解析：，，且，，即，解得，在方向上的投影为，故选：D.

4、答案：C

解析：对于A，由折线图的变化趋势可知，月跑步里程不是逐月增加的，故选项A错误；对于B，由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月为5，最大值出现在10月为25，极差为20，大于15，故选项B错误；对于C，月跑步里程从小到大排列为：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月，则5月对应的里程为中位数，故C正确；对于D，由折线图的变化趋势可知，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小，所以1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月的月跑步里程的方差更小，故选项D错误.故选：C.

5、答案：D

解析：因为是定义在R上的函数满足，所以，故函数的图象关于对称，即，因为满足为奇函数，即，所以，所以的函数图象关于对称，即，令得，所以，所以，所以，故函数的周期，ABC错误；，D正确.故选：D.

6、答案：C

解析：设等比数列的公比为q，，，即，，，，解得或(舍去).故选：C.

7、答案：B

解析：由题意，输出的，按照程序运行：，，不应此时输出S，，，不应此时输出S，，，不应此时输出S，，，不应此时输出S，，，不应此时输出S，，，此时跳出循环输出S，则判断框内的条件应为，故选：B.

8、答案：B

解析：作出可行域如图中阴影部分所示，可求得，，故，联立可得B点坐标为，，因为的几何意义为可行域内一点到原点距离的平方，而可行域内点到原点距离最远的是B，故的最大值为10.

9、答案：C

解析：如图，以D为坐标原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，

，，，与不共线，即与不平行，故①错误；，，，设平面与平面的一个法向量分别为，，由，取，的，由，取，得，，平面与平面不垂直，故②错误；点E到平面的距离为，故③正确；，故④正确；，，则，与CE所成角的正弦值为，故⑤正确.其中正确的个数为3.故选C.

10、答案：A

解析：，

为奇函数，，即，.

又，，

，，，

，.

故选：A.

11、答案：B

解析：当时，曲线C的方程为，轨迹为椭圆的右半部分；

当时，曲线C的方程为，轨迹为双曲线的左半部分，其渐近线为，作出图象如图，直线l(图中虚线)是与直线平行的直线，平行移动直线，可得直线l，如图可知，当直线l介于直线和(与l平行且与椭圆相切，切点在第一象限)之间时，直线l与曲线C有两个公共点.设的方程为，，则有，联立，消去x并整理得，由，解得或(舍)，故m的取值范围为.

故选：B.

12、答案：C

解析：如图，设该圆柱的底面半径为，高，由题可知，，则.又，，，圆柱的体积，，可知，当时，；当时，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，当时，.故答案为：.

13、答案：182

解析：因为，所以，解得，又，所以，所以.故答案为：182.

14、答案：

解析：半径为1的圆内接正十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，该正十二边形的面积为，根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为，故答案为：.

15、答案：

解析：根据题意，圆即，

由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，，，所以，因为，所以，

又，所以，则有，变形可得：，所以当最短时，最短，而的最小值为点C到直线的距离，则，所以的最小值为，故答案为：.

16、答案：

解析：由题意，得，把的图象向上平移3个单位长度，可得函数的图象.当时，，即为奇函数，则在上的最大值与最小值之和为0，故在上的最大值与最小值之和为-6.

17、答案：(1)

(2)有的把握认为“学习强国”APP得分情况受是否有人陪伴的影响

解析：(1)由题意得，分数在上抽取2人，记为a，b；

分数在上抽取3人，记为A，B，C.

选取2人作为学习小组长的基本事件有10个，其中两位小组长的分数都在上的有3个基本事件，

所求概率.

(2)完善表格如下：

18、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)证明：在中，

由已知及余弦定理，得，

即，

由正弦定理，得，又，

故，

，，

，，故.

(2)由(1)得，，，，

由(1)得，，

得，

，

当且仅当时等号成立，

所以当时，，的最小值为.

19、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)由题知，又，且，

所以平面，则.

，，连接，BD，

因为是的中点，所以，且.

因为，，所以，

因为，所以，且，

所以.

连接，如图，，，

因为，所以，则，

所以，则，

则，所以，

因为，所以.

(2)连接BD，因为，，D是AC的中点，

所以，且，，

设，，，取AB的中点F，则，

连接FM，则，且，

则，

所以，

，

得，解得，

又因为，所以，

因此，当时，点D到平面ABM的距离为.

20、答案：(1)

(2)6

解析：(1)，函数定义域为，

，

在函数上单调递增，在上恒成立，

，记，

，解得，，解得，

在上单调递减，在上单调递增，

，

，

a的取值范围为.

(2)由可知，，

记，

，

令，，

，解得，，解得，

在上单调递增，在上单调递减，

，，

，，

，，，单调递减，

，，，单调递增，

，

，，

，

整数k的最大值为6.

21、答案：(1)

(2)

解析：(1)当P点在x轴上时，，，

于是得：，由，得，

故椭圆方程为：；

(2)设切线为，设，，

，

由得，

且，，，则，

直线PO为：点A到直线PO距离，

则

.

当时，.

，，此时，

同理当时，可得，此时.

所以面积的最小值为.

22、答案：(1)

(2)

解析：(1)(为参数)，

曲线的普通方程为，

即.，，，

曲线的普通方程为.

(2)依题意设，，

由，可得，由，可得.

，，

，

OM是圆的直径，.

在直角中，，

在直角中，，

，即，

.

23、答案：(1)或

(2)证明见解析

解析：(1)，

即，或，或解得或或，

所以原不等式解集为或.

(2)证明：由(1)知当时，有最小值，

所以，，因为，，

所以，

因为，，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当，时取等号，

方法二：，

当且仅当时等号成立，所以，.

，

当且仅当时等号成立.