河南省豫南五市2023届高三下学期第一次联考数学（理）试卷（含答案）

河南省豫南五市2023届高三下学期第一次联考数学（理）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，则集合A的所有非空真子集的个数是(   )

A.6 B.7 C.14 D.15

2、欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足，则z的虚部为(   )

A. B. C.1 D.-1

3、在等比数列中，已知，，则等于(   )

A.128 B.64 C.64或-64 D.128或-128

4、若抛物线上的一点M到坐标原点O的距离为，则点M到该抛物线焦点的距离为(   )

A.3 B. C.2 D.1

5、变量X与Y相对应的一组数据为，，，，；变量U与V相对应的一组数据为，，，，.表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则(   ).

A. B. C. D.

6、如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，M是侧棱的中点，N是的中点，则(   )

A. B.平面BAM C.平面ABM D.

7、是单位圆的内接三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则a等于(   )

A.2 B. C. D.1

8、讲桌上放有两摞书，一摞3本，另一摞4本，现要把这7本不同的书发给7个学生，每位学生一本书，每次发书只能从其中一摞取最上面的一本书，则不同取法的种数为(   )

A.20 B.30 C.35 D.210

9、已知函数(其中，)的图像与x轴相邻两个交点之间的最小距离为，当时，的图像与x轴的所有交点的横坐标之和为，则(   )

A.， B.， C.， D.，

10、某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(   )

A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

11、传说古希腊数学家阿基米德的募碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则(   )

A.球与圆柱的表面积之比为

B.平面DEF截得球的截面面积取值范围为

C.四面体CDEF的体积的最大值为16

D.若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围

12、某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图(单位：cm)所示，四边形AFED为矩形，AB，CD，FE，均与圆O相切，B、C为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知，，则该零件的截面的周长为(   )cm(结果保留)

A. B. C. D.

二、填空题

13、的展开式的第2项为__________.

14、已知向量，满足，，，则__________.

15、已知双曲线的左，右焦点分别为，，过且倾斜角为的直线与双曲线右支交于A，B两点，若为等腰三角形，则该双曲线的离心率为__________.

16、已知正实数x，y满足，则的最小值为__________.

三、解答题

17、已知是数列的前n项和，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，是的前n项和，证明：.

18、如图，在三棱柱中，，，P为AD的中点，为等边三角形，直线AC与平面ABED所成角大小为.

(1)求证：平面BCP；

(2)求平面ECP与平面PCD夹角的余弦值.

19、某超市采购了一批袋装的进口牛肉干进行销售，共1000袋，每袋成本为30元，销售价格为50元，经过科学测定，每袋牛肉干变质的概率为，且各袋牛肉干是否变质相互独立.依据消费者权益保护法的规定：超市出售变质食品的，消费者可以要求超市退一赔三.为了保护消费者权益，针对购买到变质牛肉干的消费者，超市除退货外，并对每袋牛肉干以销售价格的三倍现金赔付，且把变质牛肉干做废物处理，不再进行销售.

(1)若销售完这批牛肉干后得到的利润为X，且，求p的取值范围；

(2)已知，若超市聘请兼职员工来检查这批牛肉干是否变质，超市需要支付兼职员工工资5000元，这样检查到的变质牛肉干直接当废物处理，就不会流入到消费者手中.请以超市获取的利润为决策依据，判断超市是否需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质？

20、已知椭圆过直线上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设O为坐标原点，求面积的最小值.

21、已知函数.

(1)若在上恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若，判断关于x的方程在内解的个数，并说明理由.

22、极坐标系中曲线T的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，单位长度不变，直线，均过点，且，直线的倾斜角为.

(1)写出曲线T的直角坐标方程；写出，的参数方程；

(2)设直线，分别与曲线T交于点A，B和C，D，线段AB和CD的中点分别为MN，求的最小值.

23、已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若函数的最小值为m，正实数a，b满足，证明：.

参考答案

1、答案：A

解析：，元素个数为3个，则集合A的所有非空真子集的个数是.故选A.

2、答案：B

解析：由已知可得，，

则，z的的虚部为.故选：B.

3、答案：D

解析：设等比数列的公比为q，在等比数列中，，，，

解得，或，，或.故选：D.

4、答案：B

解析：设点，，或(舍去)，.M到抛物线的准线的距离，

点M到该抛物线焦点的距离等于点M到抛物线的准线的距离，

点M到该抛物线焦点的距离为：.故选：B.

5、答案：C

解析：变量X与Y相对应的一组数据为，，，，，

，，这组数据的相关系数是，变量U与V相对应的一组数据为，，，，，，这组数据的相关系数是-0.3755，第一组数据的相关系数大于零，第二组数据的相关系数小于零.故选：C.

6、答案：D

解析：因为与异面，故A错误；因为的延长线必过点B，则直线与平面BAM相交，故B错误；因为与AB不垂直，所以不垂直于平面ABM，故C错误；取BC的中点P，连接在正方形中，由，，

即，可得，所以.连接AP，则，又平面底面ABC，平面底面所以平面因为平面，所以，且，所以平面因为平面所以.故D正确.故选：D.

7、答案：C

解析：因为，所以，即，由正弦定理得，

所以，因为，所以，由A为三角形内角得，由正弦定理得，所以，故选：C.

8、答案：C

解析：根据题意，问题等价于从一行七个空里选三个空把1、2、3按从小到大自左向右顺序填进去，剩下三个空将4、5、6、7从小到大自左向右顺序填进去，共有填法.故选：C.

9、答案：C

解析：

10、答案：D

解析：A选项，已知棋，手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等所以P受比赛次序影响，故A错误；设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为，，

同理可得，，，，，最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大.故选：D.

11、答案：D

解析：选项A，球表面积为，圆柱全面积是，，A错；选项B平面DEF过球心O时，戒得球的戴面最大，此时截面面积为，B错；选项C，EF绕施转时，由于始终有 (是圆柱的轴，圆柱的底面垂直，因此与底面上的直线EF垂直)，从而为定值，，当时，易得平面，而当EF与AB不垂直时，CD与平面不垂直，因此C到平面的吟离小于，D到平面的距离小于，因此，

即四面体CDEF的体积的最大值为，C错；选项D，如下图，不妨设E与A重合，F与B重合，设Q是圆柱过点P的母线与下底面得交点，则PQ与底面圆垂直，从而PQ与底面上的直线AQ，BQ，，，设，则，，则，，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，而，所以，的取值范围是，所以，即的取值范围是，D正确.故选D.

12、答案：A

解析：以A为原点，AD为x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示：

则，，又，，所以直线AB的方程为：，即，直线CD的方程为：，即，直线EF的方程为：，设圆心为，则圆心到直线AB、直线CD、直线的距离均相等且等于r，则，解得，，，所以，，，，由题可知，即，所以可得，，对应弧长为圆的周长，故该零件的截面的周长为.故选：A.

13、答案：

解析：

14、答案：

解析：根据题意，向量，满足，，若，则，则，两边平方变形可得，则，则有，则，故答案为.

15、答案：

解析：如图为等腰三角形，直线AB的倾斜角为，，当时，，，，，，直线AB的倾斜角为，，，

在三角形中，根据余弦定理得，，

整理得，同除以得，，即，解得，，(应舍去)，当时，，

，，，直线AB的倾斜角为，，在三角形中，根据余弦定理得，整理得，，同除以得，即，解得，(应舍去)，，双曲线的渐近线方程为，，综上所述，该双曲线的离心率为.

16、答案：0

解析：，即，设，则，且，所以在上单调递增，正实数x，y，，即，所以，等价于，即，，设，

；，设，所以单调递增，且，所以在上，，，单调递减；在上，，，单调递增；所以即最小值为0，故答案为0.

17、答案：(1)

(2)证明见解析

解析：(1)已知是数列的前的前n项和，，时，，

时，，

经验证时，，且；

(2)证明：若，是的前n项和，

时，，

时，，

，

.

18、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：(1)证明：取BP中点M，连接AM，CM，

，P为AD的中点，

，，为等边三角形，，

，AM，平面ACM，平面ACM，

平面平面，直线AC在平面ABP的射影在直线AM上，

直线AC在平面ABED所成角为，则，

，，是正三角形，则，，

为等边三角形，，则，中，

由，，得，

则，，，

，，AM，平面ABED，

平面ABED，平面ABED，，

，在中，，，，

又，，

，，平面BCP.

(2)由(1)知MP，MC，MA两两垂直，以M为坐标原点，MA所在直线为x轴，MP所在直线为y轴，M所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，

P是AD的中点，，，，

，，，

设平面ECP的法向量，

则，令，得，

设平面PCD的法向量，

，令，得，

设平面ECP与平面CDP所成锐二面角的平面角为，

则平面ECP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为：.

19、答案：(1)

(2)由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质

解析：(1)令Y表示1000袋牛肉干中变质牛肉干的数量，

由题意有，则，

故，

由，有，

解得：，

故当时，p的取值范围为.

(2)对这批牛肉干来说变质牛肉干不管数量有多少，未变质牛肉干的销售后产生的利润与变质牛肉干作废物处理后产生的费用是不变的，是否聘请兼职员工来检查这批牛肉干，产生的费用是工资和给消费者赔付的费用，当时，由(1)知，，

设需要赔付给消费者的费用为Z元，有，

由，以超市获取的利润为决策依据，故超市需要聘请兼职员工来检验这批牛肉干是否变质.

20、答案：(1)

(2)

解析：(1)当P点在x轴上时，，，

于是得：，由，得，

故椭圆方程为：；

(2)设切线为，设，，

，

由得，

且，，，则，

直线PO为：点A到直线PO距离，

则

.

当时，.

，，此时，

同理当时，可得，此时.

所以面积的最小值为.

21、答案：(1)

(2)两个，理由见解析

解析：(1)由可得，即，

令，，

当时，令，得，

，得，

所以在上为减函数，在为增函数，

故，，

综上.

(2)由得，等价于，

令，，

在，，单调递减，

，，单调递增，

注意到，，

，

，上各有一个零点，，共有两个零点.故方程有两个实数根.

22、答案：(1)见解析

(2)1

解析：(1)曲线T的极坐标方程变形为，

(t为参数)，(t为参数).

(2)将(t为参数)，带入，，

则，同理，

，

当时取得等号，且此时满足方程的判别式均大于零.

故的最小值为1.

23、答案：(1)或

(2)证明见解析

解析：(1)，

即，或，或解得或或，

所以原不等式解集为或.

(2)证明：由(1)知当时，有最小值，

所以，，因为，，

所以，

因为，，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当时取等号，

所以，当且仅当，时取等号，

方法二：，

当且仅当时等号成立，所以，.

，

当且仅当时等号成立.