2023届河南省豫南九校高三上学期第一次联考数学（文）试题含解析

这是一份2023届河南省豫南九校高三上学期第一次联考数学（文）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，取对数运算，待定系数法，函数构造法等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省豫南九校高三上学期第一次联考数学（文）试题 一、单选题1．若集合，，则中元素的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．1【答案】B【分析】由交集的定义即可得出答案.【详解】因为集合，，所以.中元素的个数为3.故选：B.2．已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（    ）A． B．26 C． D．13【答案】C【分析】将复数化简，即可得到结果.【详解】因为，则复数的虚部为.故选:C.3．为了调查某工厂生产的一批口罩的质量情况，随机抽取了1000个口罩，所得数据如下图所示，据此估计，这批口罩质量指标值的众数（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）与中位数之和为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据频率分布直方图中众数和中位数的求解方法，结合图表，求解即可.【详解】由图可知，最高的小长方形所在区间的中点值为，故这批口罩质量指标值的众数为；因为，故这批口罩质量指标值的中位数在区间，设其为，则，解得；故批口罩质量指标值的众数与中位数之和为.故选：C.4．已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ）A．364 B．1094 C．368 D．1092【答案】D【分析】根据等比数列可求公比，再按照等比数列求和公式即可得的值.【详解】解：等比数列的前n项和为，若，，设公比为则，所以，则.故选：D.5．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ）A．4米 B．米 C．米 D．米【答案】D【分析】将代入双曲线得到，当得到，得到答案.【详解】根据题意：，，故，解得，即，当水面宽度为米时，即时，，拱顶M到水面的距离为.故选：D6．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由图中三视图还原几何体，再利用体积公式求体积.【详解】由三视图知该几何体为截面朝上的半球里面挖掉了一个同心圆柱.如图：其中半球的半径，圆柱的底面半径，高.则几何体体积.故选：C.7．执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框中填入的条件可以为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合输出结果进行判定，即可求解.【详解】框图首先给累加变量赋值，给循环变量赋值，判断框中的条件满足，执行，；判断框中的条件满足，执行，；判断框中的条件满足，执行，；依次类推，令，知，判断框中的条件满足，执行此时不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是“”故选：D.8．若函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】化简函数，再根据在上恰有两个零点得，，化简即可得到答案.【详解】在上恰有两个零点，故故选：D.9．已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，若，则的面积为（   ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线方程求出焦点，由抛物线的定义可知，求出M的坐标，即可求出直线l的斜率为，所以直线，联立抛物线方程，利用韦达定理和三角形面积公式，即可求出的面积.【详解】解：已知抛物线，则焦点由抛物线的定义可知，，则直线联立，得，，故选：C.10．已知（其中e为自然对数的底数），，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性得到，，，得到答案.【详解】，，，故.故选：D11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（其中e为自然对数的底数）（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数可得在上单调递增，且,又因为是定义在上的奇函数，可得在上单调递增，且,由为偶函数，可得在上单调递减，在上单调递增，由可得，从而得，求解即可.【详解】解：因为当时，，所以，所以在上单调递增，且,又因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且,又因为为偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增；，所以，解得.故选：B.12．已知数列满足，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案.【详解】因为，所以，则，有，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，所以则，所以.故选：C.【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等,其中待定系数法较为常见.一、倒数变换法，适用于（为常数）二、取对数运算三、待定系数法1、构造等差数列法2、构造等比数列法①定义构造法。利用等比数列的定义通过变换，构造等比数列的方法.②（为常数）型递推式可构造为形如的等比数列.③（为常数，下同）型递推式，可构造为形如的等比数列.四、函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法. 二、填空题13．已知平面向量，，若，，（其中表示向量，的夹角），则______．【答案】【分析】根据的坐标求出模长，再根据数量积得，再化简即可得到答案.【详解】故答案为：.14．若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．【答案】【分析】先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数值，再利用切线与直线垂直即可得到答案.【详解】已知，则,因为曲线在处的切线与直线相互垂直，所以，解得.故答案为：.15．已知，则当取得最小值时，______．【答案】##0.5【分析】直接利用基本不等式求解即可.【详解】由，得，当且仅当取等，即.所以.故答案为：16．已知三棱锥中，，，则SA，SB，SC与平面ABC所成角的正弦值的平方和为______．【答案】1【分析】先由已知条件得出三棱锥为正三棱锥，设边长后做出线面夹角再利用正三棱锥的性质，求出SA，SB，SC与平面ABC所成角的正弦值即可【详解】，三角形ABC为正三角形，又，在直角和中，得，，，同理可得，三棱锥为正三棱锥，设，过S点做底面ABC的投影O，由正三棱锥性质可知，点O也是的重心，连接AO并延长交BC于点E，，，分别为SA，SB，SC与平面ABC所成角，并且，，，即，由，，，又因为点O也是的重心，得，，又三角形为等腰直角三角形，，，，，故答案为：1【点睛】三、解答题17．已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点M在线段BC上，且，．(1)求的值；(2)若的面积为，求的值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）边化角和两角和的正弦公式求出角，在中，设，利用正弦定理化简得，再利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简即可得到答案.（2）由（1）求出，，再由得和，在中，利用余弦定理得，在中利用正弦定理化简即可得到答案.【详解】（1），由正弦定理得在中，设由正弦定理得，（2）由（1）得,在中，利用余弦定理设在中，在中利用正弦定理得.18．如图，已知在四棱锥中，，，，平面⊥平面  ．(1)求证：平面 ⊥平面；(2)若直线平面 ，直线平面，直线平面，求的值．【答案】(1)证明见解析.(2)的值为 . 【分析】（1）设 与交于点 ，过点 作 交 于点，由已知条件，，可设，，从而求出，运用相似和勾股定理求得，利用线面垂直的判定定理可得到平面，接着根据面面垂直的判定定理即可证得平面 ⊥平面.（2）利用已知条件征得，即可得出，利用相似的比例即可求得的值.【详解】（1）证明：设 与交于点 ，过点 作 交 于点. ，又， ，四边形是矩形， ， ， ，，所以设，则，又，，， ， ， ，，，，由勾股定理可得： ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ，由， ， ，即 .，又平面⊥平面，平面 平面，平面，平面，平面 ⊥平面.（2）解： 直线平面 ，直线平面，直线平面，平面即为平面.直线平面，平面，又平面 平面 ，，， ，由（1）可知，，， ，，，的值为 .19．为了调查某地区程序员的工资情况，研究人员随机抽取了该地区20名程序员作调查，所得数据的茎叶图如下所示（单位：元），其中，经计算得，．(1)求被调查的这20名程序员的平均工资；(2)在（1）的条件下，可以算得，求“，，，”的方差；(3)若从被调查的这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的2名程序员，求至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率．【答案】(1)被调查的这20名程序员的平均工资(2)(3)至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率为 【分析】（1）根据数据的平均值计算公式求解即可；（2）根据数据方差的计算公式先确定数据的方差，再由数据，，，”的方差与的关系求解即可；（3）根据古典概型计算公式求解即可.【详解】（1）解：由茎叶图可得，由于故被调查的这20名程序员的平均工资；（2）解：由方差的计算公式可知，数据的方差则所求方差；（3）解：由题意可知，这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的有6名，其中有3名工资在6000元以下记作，记工资在元之间的3名程序员为则6名程序员任取2人的所有抽取情况如下：，共15种情况；设至少有1名程序员的工资在6000元以下为事件，则的所有抽取情况如下：，共12种情况；则所以至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率为.20．已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C的上顶点，且，．(1)求椭圆C的方程；(2)已知，其中O为坐标原点，过点D的直线与椭圆C交于E，G两点，点H在椭圆C上，探究：是否存在直线，使得四边形OEHG为矩形，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据以及即可联立求解的值，（2）假设存在，联立方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式代入椭圆方程得矛盾，即可求解.【详解】（1）由于,分别为椭圆的左右顶点以及上顶点，所以，，又，解得：，所以椭圆方程为：（2）由得，即，当直线无斜率时，即直线方程为： ，若四边形OEHG为矩形，由椭圆的对称性可知： ,则四边形OEHG为正方形，则，即此时将点代入椭圆方程中得，故四边形OEHG不能构成矩形，不满足题意，当直线有斜率时，则设方程为：，联立，设 ，所以 ，设的中点为 ，则，即 若四边形OEHG为矩形，则也是的中点，因此,即,故在椭圆上，故，化简得：，显然方程无解，故四边形OEHG不能构成矩形，综上可知：不存在直线，使得四边形OEHG构成矩形， 【点睛】21．已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)若，求函数的单调区间；(2)若，求证：，．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2)见解析. 【分析】（1）求导，当时，，当时，，即可解决；（2）由令新函数，求导，由，再令新函数，证明在上恒成立，即可得证.【详解】（1）由题知，所以，当时，，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，（2）由题知，，，所以，因为，所以令即证在上恒成立，因为当时，，当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，因为，，令，所以，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以恒成立，因为，所以在上恒成立，即得证.22．已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点A的极坐标为．(1)求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．【答案】(1)：,：(2) 【分析】（1）对于曲线，直接对化个简，然后把同时平方再求和即可得到.对于直线，直接利用极坐标与直角坐标的转化公式转化即可.（2）先求出点的直角坐标，判断点在直线上，可以直接联立直线与曲线的方程，求出P，Q两点的坐标，利用两点间的坐标公式求距离即可；也可直接写出直线的参数方程，代入曲线的方程中去，再利用参数求出两点间的距离即可.【详解】（1）对于曲线有          ，即.因为直线的极坐标方程为，所以，即.故：：，：.（2）法一：因为点A的极坐标为，则其直角坐标为，可知点在直线上.联立，得，解得或可得，则所以.法二：因为点A的极坐标为，则其直角坐标为，可知点在直线：上.故直线的参数方程为（为参数），代入曲线：中，得：，     不妨设，且，则.故答案为：.23．已知函数，且的解集为．(1)求a，b的值；(2)若正数m，n，p满足，求证：．【答案】(1)；(2)见解析. 【分析】（1）首先把函数写成分段函数，再解不等式，利用对应相等即可得解；（2）由，由左边再结合基本不等式即可得解.【详解】（1）由，所以或或，解得或或，所以，所以；（2）由，可得：，且，所以，得证.