河南省豫南九校2022-2023学年高三上学期第一次联考数学（文）试题（解析版）

豫南九校2022—2023学年上期第一次联考

高三数学（文）试题

（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 若集合，，则中元素的个数为（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】由交集的定义即可得出答案.

【详解】因为集合，，

所以

中元素的个数为3.

故选：B.

2. 已知复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（    ）

A.  B. 26 C.  D. 13

【答案】C

【解析】

【分析】将复数化简，即可得到结果.

【详解】因为，

则复数的虚部为.

故选:C.

3. 为了调查某工厂生产的一批口罩的质量情况，随机抽取了1000个口罩，所得数据如下图所示，据此估计，这批口罩质量指标值的众数（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）与中位数之和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据频率分布直方图中众数和中位数的求解方法，结合图表，求解即可.

【详解】由图可知，最高的小长方形所在区间的中点值为，故这批口罩质量指标值的众数为；

因为，

故这批口罩质量指标值的中位数在区间，设其为，

则，解得；

故批口罩质量指标值的众数与中位数之和为.

故选：C.

4. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ）

A. 364 B. 1094 C. 368 D. 1092

【答案】D

【解析】

【分析】根据等比数列可求公比，再按照等比数列求和公式即可得的值.

【详解】解：等比数列的前n项和为，若，，设公比为

则，所以，则.

故选：D.

5. 如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为4米时，水面宽AB为米，则当水面宽度为米时，拱顶M到水面的距离为（    ）

A. 4米 B. 米 C. 米 D. 米

【答案】D

【解析】

【分析】将代入双曲线得到，当得到，得到答案.

【详解】根据题意：，，故，解得，即，

当水面宽度为米时，即时，，

拱顶M到水面的距离为.

故选：D

6. 下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】由图中三视图还原几何体，再利用体积公式求体积.

【详解】由三视图知该几何体为截面朝上的半球里面挖掉了一个同心圆柱.如图：

其中半球的半径，圆柱的底面半径，高.

则几何体体积.

故选：C.

7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框中填入的条件可以为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定的程序框图，逐次循环计算，结合输出结果进行判定，即可求解.

【详解】框图首先给累加变量赋值，给循环变量赋值，

判断框中的条件满足，执行，；

判断框中的条件满足，执行，；

判断框中的条件满足，执行，；

依次类推，令，知，

判断框中的条件满足，执行

此时不满足条件，退出循环，则判断框内应填入的条件是“”

故选：D.

8. 若函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】化简函数，再根据在上恰有两个零点得，，化简即可得到答案.

【详解】

在上恰有两个零点，故

故选：D.

9. 已知抛物线的焦点为F，直线l过点F且与C交于M，N两点，若，则的面积为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由抛物线方程求出焦点，由抛物线的定义可知，求出M的坐标，即可求出直线l的斜率为，所以直线，联立抛物线方程，利用韦达定理和三角形面积公式，即可求出的面积.

【详解】

解：已知抛物线，则

焦点

由抛物线的定义可知

，，

则直线

联立，得

，

，

故选：C.

10. 已知（其中e为自然对数的底数），，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据函数单调性得到，，，得到答案.

【详解】，，，故.

故选：D

11. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（其中e为自然对数的底数）（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数可得在上单调递增，且,又因为是定义在上的奇函数，可得在上单调递增，且,由为偶函数，可得在上单调递减，在上单调递增，由可得，从而得，求解即可.

【详解】解：因为当时，，

所以，

所以在上单调递增，且,

又因为是定义在上的奇函数，

所以在上单调递增，且,

又因为为偶函数，

所以在上单调递减，在上单调递增；

，

所以，

解得.

故选：B.

12. 已知数列满足，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案.

【详解】因为，所以，

则，有，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

则，所以

则，所以.

故选：C.

【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等,其中待定系数法较为常见.

一、倒数变换法，适用于（为常数）

二、取对数运算

三、待定系数法

1、构造等差数列法

2、构造等比数列法

①定义构造法。利用等比数列的定义通过变换，构造等比数列的方法.

②（为常数）型递推式可构造为形如的等比数列.

③（为常数，下同）型递推式，可构造为形如的等比数列.

四、函数构造法

对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知平面向量，，若，，（其中表示向量，的夹角），则______．

【答案】

【解析】

【分析】根据的坐标求出模长，再根据数量积得，再化简即可得到答案.

【详解】

故答案为：.

14. 若曲线在处的切线与直线相互垂直，则______．

【答案】

【解析】

【分析】先求出函数的导函数，再求出函数在处的导数值，再利用切线与直线垂直即可得到答案.

【详解】已知，则,

因为曲线在处的切线与直线相互垂直，

所以，解得.

故答案为：.

15. 已知，则当取得最小值时，______．

【答案】##0.5

【解析】

【分析】直接利用基本不等式求解即可.

【详解】由，得

，

当且仅当取等，即.

所以.

故答案为：

16. 已知三棱锥中，，，则SA，SB，SC与平面ABC所成角的正弦值的平方和为______．

【答案】1

【解析】

【分析】先由已知条件得出三棱锥为正三棱锥，设边长后做出线面夹角再利用正三棱锥的性质，

求出SA，SB，SC与平面ABC所成角的正弦值即可

【详解】，三角形ABC为正三角形，又，

直角和中，得，，

，同理可得，三棱锥为正三棱锥，设，

过S点做底面ABC的投影O，由正三棱锥性质可知，点O也是的重心，

连接AO并延长交BC于点E，，，分别为SA，SB，SC与平面ABC所成角，

并且，，，即，

由，，，又因为点O也是的重心，得，

，又三角形为等腰直角三角形，，

，，

，

故答案为：1

【点睛】

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答）

（一）必考题：共60分．

17. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，点M在线段BC上，且，．

（1）求的值；

（2）若的面积为，求的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）边化角和两角和的正弦公式求出角，在中，设，利用正弦定理化简得，再利用两角和的正弦公式和二倍角公式化简即可得到答案.

（2）由（1）求出，，再由得和，在中，利用余弦定理得，在中利用正弦定理化简即可得到答案.

【小问1详解】

，由正弦定理得

在中，设

由正弦定理得，

【小问2详解】

由（1）得,

在中，利用余弦定理

设

在中，

在中利用正弦定理得

.

18. 如图，已知在四棱锥中，，，，平面⊥平面  ．

（1）求证：平面 ⊥平面；

（2）若直线平面 ，直线平面，直线平面，求的值．

【答案】（1）证明见解析.   

（2）的值为 .

【解析】

【分析】（1）设 与交于点 ，过点 作 交 于点，由已知条件，

，可设，，从而求出，

运用相似和勾股定理求得，利用线面垂直的判定定理可得到平面，

接着根据面面垂直的判定定理即可证得平面 ⊥平面.

（2）利用已知条件征得，即可得出，利用相似的比例即可求得的值.

【小问1详解】

证明：设 与交于点 ，过点 作 交 于点.

，又，

，

四边形是矩形，

，

， ，

，

所以设，则，

又，，

，

， ，

，，，，

由勾股定理可得： ， ，

四边形是矩形，

，

，

，

， ，

由，

，

，即 .

，

又平面⊥平面，平面 平面，

平面，

平面，

平面 ⊥平面.

【小问2详解】

解： 直线平面 ，直线平面，直线平面，

平面即平面.

直线平面，平面，

又平面 平面 ，

，

，

，

由（1）可知，，，

，，

，

的值为 .

19. 为了调查某地区程序员的工资情况，研究人员随机抽取了该地区20名程序员作调查，所得数据的茎叶图如下所示（单位：元），其中，经计算得，．

（1）求被调查的这20名程序员的平均工资；

（2）在（1）的条件下，可以算得，求“，，，”的方差；

（3）若从被调查的这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的2名程序员，求至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率．

【答案】（1）被调查的这20名程序员的平均工资   

（2）   

（3）至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率为

【解析】

【分析】（1）根据数据的平均值计算公式求解即可；

（2）根据数据方差的计算公式先确定数据的方差，再由数据，，，”的方差与的关系求解即可；

（3）根据古典概型计算公式求解即可.

【小问1详解】

解：由茎叶图可得，

由于

故被调查的这20名程序员的平均工资；

【小问2详解】

解：由方差的计算公式可知，数据的方差

则所求方差；

【小问3详解】

解：由题意可知，这20名程序员中随机抽取工资不足6501元的有6名，

其中有3名工资在6000元以下记作，记工资在元之间的3名程序员为

则6名程序员任取2人的所有抽取情况如下：

，共15种情况；

设至少有1名程序员的工资在6000元以下为事件，则的所有抽取情况如下：

，共12种情况；

则

所以至少有1名程序员的工资在6000元以下的概率为.

20. 已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点M是椭圆C的上顶点，且，．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知，其中O为坐标原点，过点D的直线与椭圆C交于E，G两点，点H在椭圆C上，探究：是否存在直线，使得四边形OEHG为矩形，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）不存在，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据以及即可联立求解的值，

（2）假设存在，联立方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式代入椭圆方程得矛盾，即可求解.

【小问1详解】

由于,分别为椭圆的左右顶点以及上顶点，所以，，

又，

解得：，

所以椭圆方程为：

【小问2详解】

由得，即，

当直线无斜率时，即直线方程为： ，

若四边形OEHG为矩形，由椭圆的对称性可知： ,则四边形OEHG为正方形，则，即此时将点代入椭圆方程中得，故四边形OEHG不能构成矩形，不满足题意，

当直线有斜率时，则设方程为：，

联立，

设 ，所以 ，

设的中点为 ，则，即

若四边形OEHG为矩形，则也是的中点，因此,即,

故在椭圆上，故，化简得：，显然方程无解，故四边形OEHG不能构成矩形，

综上可知：不存在直线，使得四边形OEHG构成矩形，

 【点睛】

21. 已知函数（其中为自然对数的底数）．

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若，求证：，．

【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；   

（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）求导，当时，，当时，，即可解决；（2）由令新函数，求导，由，再令新函数，证明在上恒成立，即可得证.

【小问1详解】

由题知，

所以，

当时，，

当时，，当时，，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，

【小问2详解】

由题知，，，

所以，

因为，

所以

令

即证在上恒成立，

因为

当时，，

当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

因为，，

令，

所以，

因为，

所以，

所以在上单调递增，

所以，

所以恒成立，

因为，

所以上恒成立，即得证.

（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号方框涂黑．

选修4-4：坐标系与参数方程

22. 已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点A的极坐标为．

（1）求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线C交于P，Q两点，求的值．

【答案】（1）：,：   

（2）

【解析】

【分析】（1）对于曲线，直接对化个简，然后把同时平方再求和即可得到.对于直线，直接利用极坐标与直角坐标的转化公式转化即可.

（2）先求出点的直角坐标，判断点在直线上，可以直接联立直线与曲线的方程，求出P，Q两点的坐标，利用两点间的坐标公式求距离即可；也可直接写出直线的参数方程，代入曲线的方程中去，再利用参数求出两点间的距离即可.

【小问1详解】

对于曲线有         

，即.

因为直线的极坐标方程为，所以，

即.

故：：，：.

【小问2详解】

法一：因为点A的极坐标为，则其直角坐标为，可知点在直线上.

联立，得，解得或

可得，

则

所以.

法二：因为点A的极坐标为，则其直角坐标为，可知点在直线：上.

故直线的参数方程为（为参数），代入曲线：中，

得：，    

不妨设，且，则.

故答案为：.

选修4-5：不等式选讲

23. 已知函数，且的解集为．

（1）求a，b的值；

（2）若正数m，n，p满足，求证：．

【答案】（1）；   

（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）首先把函数写成分段函数，再解不等式，利用对应相等即可得解；

（2）由，由左边再结合基本不等式即可得解.

【小问1详解】

由，

所以或或，

解得或或，

所以，

所以；

【小问2详解】

由，可得：，且，

所以

，得证.