2023年上海市虹口区高三二模数学试卷含答案

虹ロ区2022学年第二学期期中学生学习能力诊断测试

高三数学试卷2023.4

考生注意：

1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1.已知集合，，则________.

2.函数的定义域为________.

3.复数，在复平面上对应的点分别为，，则________.

4.抛物线上的点到其焦点的距离为________.

5.已知是第二象限的角，且，则________.

6.某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是________.

7.在中，已知，，，则________.

8.对于定义在上的奇函数，当时，，则该函数的值域为________.

9.端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为________.

10.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为________.

11.过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，,为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为________.

12.已知平面向量，，，满足，，，，且对任意的实数，均有，则的最小值为________.

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13.已知复数（为虚数单位），则（    ）

A. B. C. D.2

14.某同学上学路上有4个红绿灯的路口，假设他走到每个路口遇到绿灯的概率为，且在各个路口遇到红灯或绿灯互不影响，则该同学上学路上至少遇到2次绿灯的概率为（    ）

A. B. C. D.

15.对于函数，给出下列结论：

（1）函数的图像关于点对称；

（2）函数在区间上的值域为；

（3）将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像；

（4）曲线在处的切线的斜率为1.

则所有正确的结论是（    ）

A.（1）（2） B.（2）（3） C.（2）（4） D.（1）（3）

16.在数列中，若有（，均为正整数，且），就有，则称数列为“递等数列”.已知数列满足，且，将“递等数列”前项和记为，若，，，则（    ）

A.4720 B.4719 C.4718 D.4716

三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步聚.

17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）记为数列的前项和，已知，（为正整数）.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，若，求正整数的值.

18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

电解电容是常见的电子元件之一.检测组在的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类

（1）铝䇚是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下列联表，那么他们是否有的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明理由；

（2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.附录：

，其中.

20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点.

（1）求曲线的方程；

（2）若，求直线的方程；

（3）已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点.

21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设，，.

（1）求函数，的单调区间和极值；

（2）若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值；

（3）若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：，，成等比数列.

虹口区2022学年第二学期期中学生学习能力诊断测试

高三数学参考答案和评分标准

一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分；第7-12题每题5分）

1. 2. 3. 4.5 5. 6.32.5

7.4 8. 9. 10. 11. 11.

二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13.A 14.D 15.C 16.B

三、解答题（本大题共5题，满分78分）

17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

解：（1）由，，得：，且当时

，即.    3分

所以，数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，故数列的通项公式为：    6分

（2）当时，又.    8分

当时，，不满足条件；    10分

当时，由，解得.    14分

18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

证：（1）由是底面的直径，点是底面圆周上的点，得.又因，分别为，的中点，所以，故.    2分

因是圆锥的轴，所以底面，又平面，故.

于是与平面内的两条相交直线，都垂直.    4分

从而平面；而平面，故由平面与平面垂直的判定定理，得：平面平面.    6分

解：（2）在圆锥底面，过圆心作直径的垂线，交圆周于点，则直线，，两两垂直以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图.    8分

于是由条件，可得相关点的坐标：，，，，.

设平面的一个法向量为，则

即取，得.    11分

又是平面的一个法向量，故

.

易知平面与平面所成的二面角是锐角，故二面角的余弦值为.    14分

19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

解：（1）提出原假设：电解电容质量与铝䈹质量无关.由题意及列联表，可得

.    3分

由于，而，因此，根据检测组的数据，原假设不成立，并且有的把握认为电解电容质量与铝箔质量有关.    6分

（2）设第一次取出的元件是特等品的事件为，第二次取出的元件是合格品的事件为.取出的元件是第一箱、第二箱的事件分别为，.    8分

则由全概率公式，得

    10分

    12分

于是，由条件概率公式，得.

因此，在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率约为0.846.    14分

20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

解：（1）由条件，得    2分

即，，化简，得曲线的方程：.    4分

（2）设直线的方程为，并设，，则由得，于是，     ①    6分

由，即，得    ②    8分

②代入①，解得，即.

所以，直线的方程为.（也可写成）    10分

（3）因点，故，从而直线的方程为.

由得.同理可得    13分

因为

    15分

将①代入上式，得

所以.故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以为直径的圆经过点.    18分

21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）

解：（1）解：（1）由题设，有，可得

    2分

所以，当时，；当时，.令，当在变化时，，的变化情况如下表：

所以，函数在上的增区间为：与；减区间为：与.函数在上的极值为：

，，.    4分

（2）关于不等式，即：在区间上恒成立.

令，则由条件可知：是函数在上的一个极小值.

由，得，所以.    7分

下面证明：当时，在上恒成立.

当时，，

由（1）知：在上的极大值为，从而在上的最大值为1，即在上恒成立.

于是在上恒成立，所以在上严格增；从而，所以在上严格增；从而在上恒成立.即知：当时在上恒成立.

综合上述，得：.    10分

证：（3）对于函数，令，则.从而

当时，，函数在上严格增；当时，，函数在上严格减；故.

对于函数，令，则.从而

当时，，函数在上严格增；当时，，函数在上严格减；故.    12分

因此，函数与有相同的最大值.其图像如下图所示.

下面先证明：曲线与有唯一交点.

由，得，即方程有唯一实数根.

令，则.所以在上恒为负数.

易知，曲线与在区间上没有交点.而在区间上，函数严格减，函数严格增，所以函数在上严格减，进而函数在上严格减.由，及零点存在定理得：函数在上存在唯一零点，从而方程在上有唯一实数根，且.    14分

下面再证明：直线与曲线，有3个交点，，，且，，成等比数列.

由于直线与曲线，共有3个不同交点，故直线必过点，且，，

由，得，即，而函数在上严格增，，，故

    ①     16分

由，得，即，而函数在上严格减，，，故

    ②

由①，②得.    ③

由，得，故有

    ④

因此，由③，④得，即，，成等比数列.    18分