2023年山东省济宁市梁山县中考一模数学试题

2023年山东省济宁市梁山县中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在数轴上，点A表示的数在﹣2的右边，且到﹣2的距离为3，则点A表示的数的倒数为（　　）

A．﹣1 B．﹣5 C．1 D．﹣

2．下列各式计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．中秋节上，同学设计了如图的艺术字“中秋快乐”，下面展示如图几何体“中”字的俯视图是（    ）

A． B．

C． D．

4．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后，到，点经过的路径为弧，已知，则图中阴影部分的面积为（　　）．

A．π B．π C．π D．π

5．不等式组的解集是（    ）

A． B． C． D．

6．对于实数 a，b，定义运算“#”如下：a#b＝a2－ab，如：3#2＝32－3×2＝3，则方程（x＋1）#3＝2的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

7．五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（    ）

A．只有平均数 B．只有中位数 C．只有众数 D．中位数和众数

8．估计的值应在（    ）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）

A．45° B．50° C．55° D．60°

10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，在第一象限，且△是等边三角形．在射线上取点，，，分别以，，为边作等边三角形△，△，使得，，，在同一直线上，该直线交轴于点．若，，则点的横坐标是（    ）

A． B． C．256 D．

二、填空题

11．这段时间，一个叫“学习强国”的理论学习平台火了，很多人主动下载、积分打卡，兴起了一股全民学习的热潮．据不完全统计，截止4月2号，华为官方应用市场“学习强国APP”下载量已达8830万次，请将8830万用科学记数法表示为是_____．

12．如果式子有意义，那么的取值范围是______．

13．如图，A，B是双曲线y＝（x＞0）上的两点，连接OA，OB．过点A作AC⊥x轴于点C，交OB于点D．若D为AC的中点，△AOD的面积为3，点B的坐标为（m，2），则m的值为 _____．

14．“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为___________．

15．如图，在中，，按图进行翻折，使，，则的度数是___________．

三、解答题

16．分式化简：．

17．梁山县某学校在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团活动，现准备开设手工、摄影、航模，编程四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对七年级学生选修校本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．

(1)补全条形统计图和扇形统计图；

(2)若本次调查中选择“航模”课程中的女生占，则在全校名学生中，请你估计约有多少名女生会选择“航模”课程；

(3)将2名选修“航模”的学生和2名选修“编程”的学生编为一组，再从中随机抽取2人，请用画树状图的方法求出2人都选修“航模”的概率．

18．如图，已知，点为上一点．

(1)画，垂足为；

(2)画的平分线，交于．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）

19．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量x成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位都是万元）．

(1)直接写出利润与关于投资量x的函数关系式；

(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

20．如图，线段是的直径，交线段于D，且D是的中点，于E，连接．

(1)求证：是的切线．

(2)若，，求的长．

21．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”．

(1)判断下列方程是否为“差1方程”？

(2)已知关于x的方程（m是常数）是“差1方程”，求m的值；

(3)若关于x的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求t的最大值．

参考答案：

1．C

【分析】在数轴的右边找出与点A距离是3的点表示的数，再求出倒数即可．

【详解】解：∵点A在-2的右侧，且到-2的距离为3，

∴点A表示的数为-2+3=1，

∴点A表示的数的倒数为1，

故选：C．

【点睛】本题主要考查数轴的性质，以及倒数的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

2．C

【分析】根据完全平方及平方差公式，幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，即可一一判定．

【详解】解：A.，故该选项不正确；

B.，故该选项不正确；

C.，故该选项正确；

D.，故该选项不正确；

故选：C．

【点睛】本题考查了完全平方及平方差公式，幂的乘方运算，同底数幂的乘法，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．

3．B

【分析】根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．

【详解】解：从上面看，看到的图形是一个矩形，在矩形中间有两条竖直的实线，在靠近两边各有一条竖直的虚线，即看到的图形为，

故选B．

【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟知俯视图是从上面看到的图形是解题的关键．

4．C

【分析】图中阴影部分的面积也就是的面积加上扇形的面积再减去的面积，是经旋转得到的，所以的面积等于的面积，阴影部分的面积也即扇形的面积，根据扇形的面积计算公式即可求解．

【详解】解：在中，，，，

，

，

由题意得：，，

则图中阴影部分的面积：

S阴影 S扇形EAB

S扇形EAB ．

故选C．

【点睛】本题考查了扇形的面积计算公式、旋转的性质、勾股定理，能正确分析出阴影部分的面积和扇形面积相等是解这道题的关键，同时，要掌握扇形的面积计算公式．

5．D

【分析】先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可．

【详解】解：，

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集为，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了不等式组的解集,要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小找不到．

6．D

【分析】本题根据题目所给新定义将方程（x＋1）#3＝2变形为一元二次方程的一般形式，即的形式，再根据根的判别式的值来判断根的情况即可．

【详解】解：根据题意得（x＋1）#3＝2可以变形为：

，

提公因式可得：

，

化简得：

，

，

，

根据根的判别式可知该方程有两个不等的实数根．

故选D．

【点睛】本题主要考查新定义运算，将新定义方程化为一元二次方程的一般形式，根的判别式，根据题目所给的定义对方程进行变形后依据的值来判断根的情况，注意时有两个不相等的实数根；时有一个实数根或两个相等的实数根；时没有实数根．

7．D

【分析】分别计算前后数据的平均数、中位数、众数，比较即可得出答案．

【详解】解：追加前的平均数为：(5+3+6+5+10)=5.8；

从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5；

5出现次数最多，众数为5；

追加后的平均数为：(5+3+6+5+20)=7.8；

从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5；

5出现次数最多，众数为5；

综上，中位数和众数都没有改变，

故选：D．

【点睛】本题为统计题，考查了平均数、众数与中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．

8．C

【分析】先进行二次根式的计算，再根据的取值范围确定结果的取值范围．

【详解】∵

∵，

∴

∴，

∴的值应在和之间，

故选：C

【点睛】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9．B

【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．

【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，

∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．

∵，∠BAC=25°，

∴∠DCE=∠BAC=25°，

∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．

【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

10．B

【分析】首先证明OA1∥B1A2，∠B1A1A2＝90°，求出B1A2＝2A1B1＝2，然后同理可得B2A3，B3A4的长，根据等边三角形边长的规律，即可求出B9的横坐标．

【详解】解：∵△OA1B1是等边三角形，OA1＝1，

∴B1的横坐标为，OA1＝OB1＝A1B1＝1，∠OA1B1＝60°，

∵△B1B2A2是等边三角形，

∴∠B2B1A2＝60°，

∴OA1∥B1A2，∠A2B1A1＝60°，

∵∠OA1C＝30°，

∴∠B1A2A1＝30°，

∴∠B1A1A2＝90°，

∴B1A2＝2A1B1＝2，

同理：B2A3＝2A2B2＝4，B3A4＝2A3B3＝8，…，

∴B1的横坐标为，

B2的横坐标为＋1＝，

B3的横坐标为＋1＋2＝，

B4的横坐标为＋1＋2＋4＝，

...，

∴点B9的横坐标是＋1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋128＝．

故选：B．

【点睛】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解题的关键是根据等边三角形的性质得到等边三角形边长的规律．

11．8.83×107．

【分析】先将8830万改写成88300000，然后再写成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，即可完成解答．

【详解】解：8830万＝88300000=8.83×107．

故答案为8.83×107．

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．

12．且

【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可．

【详解】解：根据题意得：

解得且，

故答案为：且．

【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0；正确列式是解题的关键．

13．6

【分析】应用k的几何意义及中线的性质求解．

【详解】解：D为AC的中点，的面积为3，

的面积为6，

所以，

解得：m＝6．

故答案为：6．

【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，关键是利用的面积转化为三角形AOC的面积．

14．

【分析】根据时间=距离÷速度，结合学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院列分式方程即可．

【详解】设学生步行的速度为每小时里，则牛车的速度是每小时里，

∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，

∴，

故答案为：

【点睛】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．

15．80

【分析】如图，根据翻折的性质可得，，，根据平行线的性质可得，，，即可得出，根据可求出、的度数，进而可得答案．

【详解】如图，

∵按图进行翻折，

∴，，，

∵，，

∴，，，

∵，

∴

∵，

∴，，

∴．

故答案为：80

【点睛】本题考查翻折的性质及平行线的性质，正确找出翻折后的对应边和对应角并熟练掌握平行线的性质是解题关键．

16．

【分析】根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，即可求解．

【详解】解：

．

【点睛】本题主要考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

17．(1)见解析

(2)名

(3)

【分析】（1）根据选修“编程”的人数除以占比得出总人数，然后求得选修“手工”的人数以及选修“航模”的占比，补充统计图即可求解；

（2）根据样本估算总体，用即可求解．

（3）根据画梳树状图法求概率即可求解．

【详解】（1）解：总人数为（人），

∴选择“手工”的人数为（人），

选修“航模”的占比为，

补全条形统计图和扇形统计图：

（2）（人），

∴约有196名女生会选择“航模”课程．

（3）画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中2人都选修“航模”的情况有2种，

∴2人都选修“航模”的概率．

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

18．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）以点为圆心适当长度为半径画弧，交于两点，作这两点间线段的垂直平分线交于点即可；

（2）以点为圆心适当长度为半径画弧，分别交，于两点，分别再以这两点为圆心，相同适当长度为半径画弧，两弧交于点，然后连接并延长即可．

【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）如图，为所作；

【点睛】本题考查了垂线和角平分线的作图，熟练掌握尺规作图方法是解题的关键．

19．(1)，

(2)他至少获得万元利润，他能获取的最大利润是万元

【分析】（1）利用待定系数法求出正比例函数和二次函数解析式即可；

（2）设种植花卉万元（），则投入种植树木万元，利润为万元，根据题意列出函数关系式，求出函数的最大值和最小值即可．

【详解】（1）解：设，由图1所示，函数的图像过，

∴，

∴，且，

故利润关于投资量的函数关系式是；

由图2所示，抛物线的顶点是原点，

∴设，

∵函数的图像过，

∴，

∴，且，

故利润关于投资量的函数关系式是．

（2）解：设种植花卉万元（），则投入种植树木万元，利润为万元，根据题意得：

，

∵二次函数图像开口向上，且，

∴当时，的最小值是；

∴当时，随的增大而增大；

∴当时，的最大值是；

∴他至少获得万元利润，他能获取的最大利润是万元．

【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求正比例函数解析式和二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法．

20．(1)见解析

(2)2

【分析】（1）如图，连接，则为的中位线，得到．由，得到，则为的切线；

（2）先证明垂直平分，得到．然后证明，推出，由此即可得到答案．

【详解】（1）证明：如图，连接，

∵D为的中点，O为的中点，

∴为的中位线，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴为的切线．

（2）解：∵为的直径，

∴，即．

∵由D为的中点，

∴垂直平分，

∴．

∵，，

∴，

∴，即．

∵，

∴．

∵，，

∴，即．

【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，切线的判定，相似三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，直径所对的圆周角是直角等等，熟知相关知识是解题的关键．

21．(1)不是

(2)或

(3)9

【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“差1方程”；

（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出的方程，注意有两种情况；

（3）根据新定义得方程的大根与小根的差为1，列出与的关系式，再由，得与的关系，从而得出最后结果．

【详解】（1）解：，

，

或，

∵

不是“差1方程”；

（2）解： ，

，

或，

方程是常数）是“差1方程”，

或，

或；

（3）解：由题可得：

∴解方程得，

关于的方程、是常数，是“差1方程”，

，

，

，

，

，

时，的最大值为9．

【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“差1方程”的定义，本题属于中等题型．