河南省开封市龙亭区立洋外国语学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷

这是一份河南省开封市龙亭区立洋外国语学校2022-2023学年七年级下学期期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了下列图中∠1与∠2是对顶角的是，点A等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省开封市龙亭区立洋外国语学校七年级（下）期中数学试卷
一.选择题（共10小题）
1．下列图中∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　）

A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点可以作无数条直线
D．垂线段最短
3．2022年，中国将举办第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
4．如图所示，点O在直线CD上，已知∠AOC＝125°，AO⊥BO，则∠BOD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
5．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3
6．如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上．若∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
7．如果一个数x的平方等于9，则x的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．
8．点A（3，﹣4）到x轴的距离为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
9．如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方形，并且猴山的坐标是（﹣2，2），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（　　）

A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
10．如图，平面直角坐标系中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（　　）

A．（4，﹣3） B．（﹣3，3） C．（﹣6，﹣4） D．（5，2）
二.填空题（共5小题）
11．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝70°，则∠1＝　 　．

12．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向上平移 　 　个单位后得到点Q（3，3）．
13．已知，那么（a+b）2023+1的值为 　 　．
14．设n为正整数，且，则n的值为 　 　．
15．对于平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新的运算“*”；（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．若A（x1，y1）在第一象限，B（x2，y2）在第二象限，则A*B在第 　 　象限．
三.解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；
（2）（2﹣x）2＝9．
17．如图是莉莉绘制的某公园一角平面简图的一部分，已知卫生间的坐标为（2，4），凉亭的坐标为（﹣2，3）．
（1）根据上述坐标，建立平面直角坐标系，并写出保安室的坐标；
（2）已知便利店的坐标为（4，﹣2），请在图中标出便利店的位置．

18．如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要证∠3+∠4＝180°，请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
∵AD∥BC（已知）
∴　 　＝　 　（ 　 　），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（ 　 　），
∴　 　∥　 　（ 　 　），
∴∠3+∠4＝180°（ 　 　）．

19．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．
（1）求a、b的值；
（2）求4a+b的平方根．
20．如图，把方格纸中的△ABC平移，使点D平移到点D′的位置，
（1）画出平移后三角形；
（2）写出平移后点A′，B′，C′的坐标；
（3）计算△ABC的面积．

21．如图，已知AE∥BC，且AE平分∠DAC，试说明∠B＝∠C．

22．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．

23．（1）问题发现
如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．

请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（　 　）
∴∠C＝∠CEF．（　 　）
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝　 　（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A＝　 　．（只写出结论，不用写计算过程）


参考答案
一.选择题（共10小题）
1．下列图中∠1与∠2是对顶角的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据对顶角的定义可逐项判断求解．
解：A选项中，∠1和∠2没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角；
B选项中，∠1和∠2符合对顶角定义，故是对顶角；
C选项中，∠1和∠2，不符合对顶角定义，故不是对顶角；
D选项中，∠1和∠2没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角．
故选：B．
【点评】本题主要考查对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键．
2．如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠PQ，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道AB．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　）

A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．过一点可以作无数条直线
D．垂线段最短
【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可选择．
解：根据题意可知这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短．
故选：D．
【点评】本题考查垂线段最短．理解直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解题关键．
3．2022年，中国将举办第二十四届冬季奥林匹克运动会，如图，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质进行判断．
解：根据平移的性质，通过平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形是．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的性质：平移前后两图形的形状和大小完全相同、各个部分的方向不会变．
4．如图所示，点O在直线CD上，已知∠AOC＝125°，AO⊥BO，则∠BOD的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】由邻补角的性质求出∠AOD的度数，由垂直的定义即可求出∠BOD的度数．
解：∵∠AOC＝125°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝55°，
∵AO⊥BO，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣∠AOD＝35°．
故选：C．
【点评】本题考查垂线，求角的度数，关键是掌握垂直的定义，邻补角的性质．
5．如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是（　　）

A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠3
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
解：A、∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠5，
因为”同旁内角互补，两直线平行“，
所以本选项不能判断AB∥CD，符合题意；
B、∵∠3＝∠4，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
C、∵∠3+∠5＝180°，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意；
D、∵∠1＝∠5，
∴AB∥CD，
故本选项能判定AB∥CD，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定，能灵活运用平行线的判定进行推理是解此题的关键，平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行．
6．如图，三角板的直角顶点在直尺的一边上．若∠1＝30°，∠2＝70°，则∠3的度数是（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】根据AB∥CD，先算出∠4的度数，根据邻补角再算出∠5的度数，根据三角形内角和即可求解．
解：如图所示，

直尺ABCD中，AB∥CD，
∴∠2＝∠4＝70°，
∵∠4+∠5＝180°，
∴∠5＝180°﹣70°＝110°，
∵∠1+∠3+∠5＝180°，∠1＝30°，
∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠5＝180°﹣30°﹣110°＝40°，
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
7．如果一个数x的平方等于9，则x的值是（　　）
A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．
【分析】根据平方根的意义，即可解答．
解：如果一个数x的平方等于9，则x的值是±3，
故选：C．
【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的意义是解题的关键．
8．点A（3，﹣4）到x轴的距离为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【分析】根据点的坐标的特点选出．
解：点A到x轴的距离是此点纵坐标的绝对值，|﹣4|＝4，
故选：C．
【点评】主要考查了点的坐标，掌握点的坐标的特点是解题关键．
9．如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方形，并且猴山的坐标是（﹣2，2），则图中熊猫馆的位置用坐标表示为（　　）

A．（1，1） B．（2，2） C．（1，3） D．（4，4）
【分析】根据猴山（﹣2，2）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定熊猫馆的位置．
解：如图所示：
熊猫馆的点的坐标是（1，3），
故选：C．

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系．
10．如图，平面直角坐标系中，被一团墨水覆盖住的点的坐标有可能是（　　）

A．（4，﹣3） B．（﹣3，3） C．（﹣6，﹣4） D．（5，2）
【分析】根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点解答即可．
解：由图可知：
被墨水污染部分遮住的点的坐标应位于第四象限，则可以为：（4，﹣3），
故选：A．
【点评】本题主要考查点的坐标，掌握平面直角坐标系内各象限内点的坐标特点是解题的关键．
二.填空题（共5小题）
11．如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝70°，则∠1＝　110°　．

【分析】由平行线的性质证明∠2＝∠3，邻补角互补求得∠1的度数为110°．
解：如图所示：

∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2＝70°，
∴∠3＝70°，
又∵∠1+∠3＝180°，
∴∠1＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，角的和差等相关知识点，掌握平行线的性质是解题的关键．
12．在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向上平移 　2　个单位后得到点Q（3，3）．
【分析】根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得答案．
解：在平面直角坐标系中，将点P（3，1）向上平移2个单位后得到点Q（3，3）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了坐标系中点的平移规律．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13．已知，那么（a+b）2023+1的值为 　0　．
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代值计算即可．
解：∵，，
∴，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴（a+b）2023+1＝（2﹣3）2023+1＝（﹣1）2023+1＝﹣1+1＝0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了算术平方根的非负数的性质，代数式求值，熟知如果几个非负数相加的结果为0，那么这几个非负数的结果都为0是解题的关键．
14．设n为正整数，且，则n的值为 　3　．
【分析】先判断15在哪两个相邻的平方数之间，然后可得在哪两个相邻的整数之间．
解：∵9＜15＜16，
∴，
∵，
∴n＝3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，确定估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间是解答本题的关键．
15．对于平面直角坐标系中的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）定义一种新的运算“*”；（x1，y1）*（x2，y2）＝（x1y2，x2y1）．若A（x1，y1）在第一象限，B（x2，y2）在第二象限，则A*B在第 　四　象限．
【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分别得出各式符号，进而分析得出答案．
解：∵A（x1，y1）在第二象限，
∴x1＜0，y1＞0，
∵B（x2，y2）在第三象限，
∴x2＜0，y2＜0，
∴x1y2＞0，x2y1＜0，
∴A*B＝（x1y2，x2y1）在第四象限．
故答案为：四．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确得出横纵坐标符号是解题关键．
三.解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；
（2）（2﹣x）2＝9．
【分析】（1）先化简绝对值，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据平方根的意义可得2﹣x＝±3，即可获得答案．
解：（1）原式＝＝；
（2）（2﹣x）2＝9，
根据平方根的意义，可得2﹣x＝±3，
即2﹣x＝3或2﹣x＝﹣3，
∴x1＝﹣1，x2＝5．
【点评】本题主要考查了化简绝对值、实数运算、平方根的意义等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
17．如图是莉莉绘制的某公园一角平面简图的一部分，已知卫生间的坐标为（2，4），凉亭的坐标为（﹣2，3）．
（1）根据上述坐标，建立平面直角坐标系，并写出保安室的坐标；
（2）已知便利店的坐标为（4，﹣2），请在图中标出便利店的位置．

【分析】（1）根据卫生间的坐标为（2，4）建立坐标系，根据保安室在坐标系中的位置写出其坐标即可；
（2）直接在平面直角坐标系标注出便利店的位置即可．
解：（1）∵卫生间的坐标为（2，4），
∴平面直角坐标系如图所示，保安室的坐标为（﹣4，﹣1）．
（2）便利店的位置如图所示．

【点评】本题考查了坐标确定位置，主要利用了平面直角坐标系的建立和在平面直角坐标系中确定点的位置的方法．
18．如图，已知AD∥BC，∠1＝∠2，要证∠3+∠4＝180°，请完善证明过程，并在括号内填上相应依据：
∵AD∥BC（已知）
∴　∠1　＝　∠3　（ 　两直线平行，内错角相等　），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（ 　等量代换　），
∴　BE　∥　DF　（ 　同位角相等，两直线平行　），
∴∠3+∠4＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）．

【分析】根据平行线的判定定理和性质定理，即可得到答案．
解：∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行），
∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：∠1；∠3；两直线平行，内错角相等；等量代换；BE；DF；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【点评】本题主要考查平行线的判定和性质定理，掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
19．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2；b﹣15的立方根为﹣3．
（1）求a、b的值；
（2）求4a+b的平方根．
【分析】（1）根据正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，列出方程解出a，再根据b﹣15的立方根为﹣3，列出方程解出b；
（2）把a＝4、b＝﹣12代入4a+b计算出代数式的值，然后求它的平方根．
解：（1）∵正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a﹣2，
∴3a﹣14+a﹣2＝0，
解得a＝4，
∵b﹣15的立方根为﹣3，
∴b﹣15＝﹣27，
解得b＝﹣12
∴a＝4、b＝﹣12；
（2）a＝4、b＝﹣12代入4a+b
得4×4+（﹣12）＝4，
∴4a+b的平方根是±2．
【点评】本题主要考查平方根、立方根，熟练掌握其定义及性质是解题关键
20．如图，把方格纸中的△ABC平移，使点D平移到点D′的位置，
（1）画出平移后三角形；
（2）写出平移后点A′，B′，C′的坐标；
（3）计算△ABC的面积．

【分析】（1）画出对应点A′、B′、C′即可解决问题；
（2）根据图象即可写出点A′，B′，C′的坐标；
（3）利用分割法求三角形的面积即可；
解：（1）平移后△A′B′C′如图所示；
（2）由图象可知A′（ 4，0 ），B′（1，﹣3 ），C′（6，﹣4 ）
（ 3 ） S＝4×5﹣×3×3﹣×2×4﹣×5×1＝9．

【点评】本题考查作图平移变换、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，正确性质对应点的位置是解决问题的关键，学会用分割法求三角形的面积，属于中考常考题型．
21．如图，已知AE∥BC，且AE平分∠DAC，试说明∠B＝∠C．

【分析】根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠C，从而得到∠B＝∠C，然后根据等角对等边即可得证．
【解答】证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠1＝∠2，
∵AE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∴∠B＝∠C，

【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记性质是解题的关键．
22．如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，AB∥CD，∠1＝∠2．
（1）求证：FG∥AE；
（2）若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D＝120°，求∠1的度数．

【分析】（1）利用平行线的性质可得∠1＝∠FGC，再结合已知可得∠2＝∠FGC，然后利用平行线的判定，即可解答；
（2）根据垂直定义可得∠FHB＝90°，再利用平行线的性质可得∠ABD＝60°，然后利用角平分线的定义可得∠ABH＝30°，从而利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠FGC，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠FGC，
∴FG∥AE；
（2）解：∵FG⊥BC，
∴∠FHB＝90°，
∵AB∥CD，∠D＝120°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D＝60°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABH＝∠ABD＝30°，
∴∠1＝90°﹣∠ABH＝60°，
∴∠1的度数为60°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．（1）问题发现
如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C＝∠BEC．

请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（　平行于同一直线的两直线平行　）
∴∠C＝∠CEF．（　两直线平行，内错角相等　）
∵EF∥AB，∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝　∠BEF+∠CEF　（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC．
（2）拓展探究
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：∠B+∠C＝360°﹣∠BEC．
（3）解决问题
如图③，AB∥DC，∠C＝120°，∠AEC＝80°，则∠A＝　20°　．（只写出结论，不用写计算过程）
【分析】（1）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可；
（3）过点E作EF∥AB，根据平行线的判定得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出即可．
【解答】（1）证明：如图①，过点E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C＝∠CEF．（两直线平行，内错角相等），
∵EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF（同理），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠CEF（等量代换）
即∠B+∠C＝∠BEC，
故答案为：平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF+∠CEF；

（2）证明：如图②，过点E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠B+∠BEF＝180°，
∴∠B+∠C+∠AEC＝360°，
∴∠B+∠C＝360°﹣∠BEC；

（3）解：如图③，过点E作EF∥AB，

∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法），
∴EF∥DC（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠C+∠CEF＝180°，∠A＝∠BEF，
∵∠C＝120°，∠AEC＝80°，
∴∠CEF＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BEF＝80°﹣60°＝20°，
∴∠A＝∠AEF＝20°．
故答案为：20°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．