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河南省开封市2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份河南省开封市2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省开封市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．﹣1的立方根为（ ）
A．﹣1 B．±1 C．1 D．不存在
2．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝5 B．3x+2y2＝1 C．x﹣＝6 D．﹣2＝y
3．用不等式表示语句：2与x的3倍的和不小于6，下列正确的是（ ）
A．3x+2＞6 B．3（x+2）≥6 C．3x+2≥6 D．3（x+2）＞6
4．已知点P在第二象限，到x轴距离是3个单位长度，到y轴距离是5个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣5，3） D．（5．﹣3）
5．数学教学用具：直尺、三角板、量角器如图放置，则∠1的度数是（ ）
A．38° B．40° C．48° D．52°
6．国家近年来出台了一系列加强中学生体育锻炼的措施，某校在七年级举办了趣味体育活动，其中一项活动是比较参赛选手1分钟内将乒乓球用球拍颠到指定高度的次数，小明负责记录，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图，请问颠球次数在15～20的人数占总参赛人数的百分比是（ ）
A．40% B．30% C．20% D．10%
7．小军和小刚解同一个一元一次不等式，小军说：不等式求解过程中需要改变不等号的方向；小刚说：不等式的解集是x≤﹣5，根据以上信息，则所解的不等式可能是（ ）
A．3x≤﹣15 B．﹣3x≥15 C．3x≤15 D．﹣3x≥﹣15
8．如图，正方形ABCD的面积为7，A是数轴上表示﹣2的点，以A为圆心，AB为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（ ）
A．﹣1+ B．1﹣ C．﹣2+ D．2﹣
9．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把点P1（b+1，1﹣a）叫做点P的友谊点．已知点M1的友谊点为M2，点M2的友谊点为M3，点M3的友谊点为M4…，这样依次得到点M1M2M3…，M，若点M1的坐标为（2，3），则点M2023的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（2，3） C．（4，﹣1） D．（﹣2，1）
二、填空题.（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
13．已知点P（m，n），且mn＞0，m+n＜0，则点P在 象限．
14．已知，则y＝ （用含有x的式子表示）．
15．把一张对边互相平行的纸条，按如图（1）所示沿EF折叠后，再将图（1）继续沿BF折叠成图（2），若∠BHE＝44°，则∠EFC''＝ ．
三、解答题.（共55分）
16．（1）计算：；
（2）解方程组：．
17．下面是小李同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，，
去分母，得10﹣x≥3x﹣6…第一步，
移项，得﹣x﹣3x≥﹣6﹣10…第二步，
合并同类项，得﹣4x≥﹣16…第三步，
系数化为1，得x≥4…第四步．
任务一：
上述解不等式①的过程第 步出现了错误，其原因是 ；
任务二：
请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
18．请认真读题，观察图形，补全下面证明过程和推理依据．
已知：如图，∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝∠B．
求证：EF∥BC．
证明：∵∠1＝80°，∠2＝100°，
∴∠1+∠2＝180°；
∵∠2+∠AEC＝180°，
∴∠1＝∠AEC（ ），
∴DF∥ ，
∴∠3＝ （ ），
∵∠3＝∠B（已知），
∴ ＝∠B．（等量代换）
∴EF∥BC（ ）．
19．已知实数x，y满足．
（1）求x，y的值；
（2）求x﹣2y的平方根．
20．某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
调查问卷
2023年6月
你崇拜的偶像是（ ）（单选）
A．娱乐明星 B．英雄人物
C．科学家 D．其他
收集数据：
ADCCADBBACDBDAC
ACCCCDCADBBCAAC
ACAACACCCBBDBDD
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型
划记
人数
百分比
A．娱乐明星
正正正
15
25%
B．英雄人物
正正下
C．科学家
正正正正正
24
40%
D．其他
9
15%
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空n＝ ；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
21．如图，三角形ABC经过某种变换后得到三角形DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请观察它们之间的关系，完成以下问题：
（1）请分别写出点A，D的坐标：A ，D ；
（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标是（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是 ；
（3）在上述变换情况下，点P（a+3，﹣b+6）与点Q（2b﹣3，﹣2a）为对应点，求a+b的值．
22．安全进万家，关系你我他．为了进一步提升摩托车、电动车、自行车骑行人员的安全防护水平．公安部交通管理局部署在全国开展了“一盔一带”的安全守护行动．某商店顺应市场需求，销售A、B两种型号的头盔，每种进价分别为60元、40元，下表是近两次销售的情况．（售价、进价均保持不变）
销售数量
利润收入
A种头盔
B种头盔
第一次
5个
4个
140元
第二次
7个
8个
220元
（1）分别求出A、B两种头盔的售价；
（2）根据销售情况，若进价不变，该商店准备用不超过5200元的金额，采购这两种型号的头盔共100个进行销售，则A种头盔最多能采购多少个？
23．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，0），（3，2），过点A，B作直线．
问题提出：
（1）请你过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，则AB与CD的位置关系为 ；
问题探究：
（2）若点P是x轴上的一个动点，
①当点P与原点重合时，连接PA，PC，请直接写出∠APC，∠BAP与∠PCD之间的数量关系 ；
②当点P在直线AB左侧时，请猜想∠APC，∠BAP与∠PCD之间的数量关系，并给予证明．
拓展提高：
（3）当点P的坐标为（2，0）时，点Q在y轴上，且三角形AOQ的面积与三角形AOP的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．﹣1的立方根为（ ）
A．﹣1 B．±1 C．1 D．不存在
【分析】由立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．根据﹣1的立方等于﹣1即可求出﹣1的立方根．
解：因为（﹣1）3＝﹣1，
所以﹣1的立方根为﹣1，
即＝﹣1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，同时学生还需要掌握立方根等于本身的数有三个：0，1，﹣1．
2．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝5 B．3x+2y2＝1 C．x﹣＝6 D．﹣2＝y
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
解：A．该方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程．
3．用不等式表示语句：2与x的3倍的和不小于6，下列正确的是（ ）
A．3x+2＞6 B．3（x+2）≥6 C．3x+2≥6 D．3（x+2）＞6
【分析】根据“2与x的3倍的和不小于6”列出不等式即可．
解：根据题意，得3x+2≥6．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意是解题的关键．
4．已知点P在第二象限，到x轴距离是3个单位长度，到y轴距离是5个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣5，3） D．（5．﹣3）
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
解：∵点A在第二象限，且到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是5个单位长度，
∴点A的横坐标是﹣5，纵坐标是3，
∴点A的坐标是（﹣5，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
5．数学教学用具：直尺、三角板、量角器如图放置，则∠1的度数是（ ）
A．38° B．40° C．48° D．52°
【分析】根据题意可得：AD∥BC，∠CFG＝48°，然后利用平行线的性质可得∠DEF＝∠CFG＝48°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．
解：如图：
由题意得：AD∥BC，∠CFG＝48°，
∴∠DEF＝∠CFG＝48°，
∵∠GEH＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠DEF﹣∠GEH＝52°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并几何图形进行分析是解题的关键．
6．国家近年来出台了一系列加强中学生体育锻炼的措施，某校在七年级举办了趣味体育活动，其中一项活动是比较参赛选手1分钟内将乒乓球用球拍颠到指定高度的次数，小明负责记录，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图，请问颠球次数在15～20的人数占总参赛人数的百分比是（ ）
A．40% B．30% C．20% D．10%
【分析】将颠球次数在15～20的人数除以总人数化成百分数即可．
解：∵总人数为：3+10+12+5＝30（人），颠球次数在15～20的人数为：3人，
∴颠球次数在15～20的人数占总参赛人数的百分比是：，
故选：D．
【点评】本题考查频数分布直方图，能从频数分布直方图中获取有用信息是解题的关键．
7．小军和小刚解同一个一元一次不等式，小军说：不等式求解过程中需要改变不等号的方向；小刚说：不等式的解集是x≤﹣5，根据以上信息，则所解的不等式可能是（ ）
A．3x≤﹣15 B．﹣3x≥15 C．3x≤15 D．﹣3x≥﹣15
【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求．
解：A、3x≤﹣15，未知数系数为正数，不符合题意；
B、﹣3x≥15，解得x≤﹣5，符合题意；
C、3x≤15，未知数系数为正数，不符合题意；
D、﹣3x≥﹣15，解得x≤5，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能改变不等号方向，其它都不会改变不等号方向．
8．如图，正方形ABCD的面积为7，A是数轴上表示﹣2的点，以A为圆心，AB为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（ ）
A．﹣1+ B．1﹣ C．﹣2+ D．2﹣
【分析】根据已知条件求出正方形的边长再确定E点所表示的数即可．
解：∵正方形ABCD的面积为7，
∴正方形的边长为，
∴AE＝，
∵A是数轴上表示﹣2的点，
∴E点表示的数是﹣2+．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键．．
9．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．
解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
10．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把点P1（b+1，1﹣a）叫做点P的友谊点．已知点M1的友谊点为M2，点M2的友谊点为M3，点M3的友谊点为M4…，这样依次得到点M1M2M3…，M，若点M1的坐标为（2，3），则点M2023的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（2，3） C．（4，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根据“友谊点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点M2023的坐标即可．
解：∵M1的坐标为（2，3），
∴M2（4，﹣1），M3（0，﹣3），A4（﹣2，1），A5（2，3），…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝5045••••••3，
∴点M2023的坐标与M3的坐标相同，为（0，﹣3）．
故选：A．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“友谊点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
二、填空题.（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
13．已知点P（m，n），且mn＞0，m+n＜0，则点P在 三 象限．
【分析】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负以及有理数的加法运算法则确定出m、n的正负情况，再根据各象限的坐标的特点解答．
解：∵mn＞0，
∴m、n同号，
∵m+n＜0，
∴m＜0，n＜0，
∴点P（m，n）在第三象限．
故答案为：三．
【点评】本题考查了点的坐标，判断出m、n都是负数是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
14．已知，则y＝ （用含有x的式子表示）．
【分析】将原方程去分母并移项，然后将y的系数化为1即可求得答案．
解：原方程两边同乘6，去分母得：x﹣3y＝﹣2，
移项得：3y＝x+2，
则y＝，
故答案为：．
【点评】本题考查解二元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
15．把一张对边互相平行的纸条，按如图（1）所示沿EF折叠后，再将图（1）继续沿BF折叠成图（2），若∠BHE＝44°，则∠EFC''＝ 114° ．
【分析】如图（1）：根据长方形的性质可得AD∥BC，从而利用平行线的性质可得∠DEH＝∠BHE＝44°，再根据折叠的性质可得：∠DEF＝∠HEF＝22°，从而利用平行线的性质可得∠DEF＝∠EFB＝22°，然后根据题意可得：D′E∥FC′，从而利用平行线的性质可得∠EFC′＝158°，进而可得∠HFC′＝136°，如图（2）：根据折叠的性质可得：∠HFC′＝∠HFC″＝136°从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
解：如图（1）：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEH＝∠BHE＝44°，
由折叠得：∠DEF＝∠HEF＝∠DEH＝22°，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝22°，
由题意得：D′E∥FC′，
∴∠EFC′＝180°﹣∠HEF＝158°，
∴∠HFC′＝∠EFC′﹣∠EFB＝136°，
如图（2）：
由折叠得：∠HFC′＝∠HFC″＝136°，
∴∠EFC″＝∠HFC″﹣∠EFH＝114°，
故答案为：114°
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
三、解答题.（共55分）
16．（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算和去绝对值，然后合并即可；
（2）先利用加减消元法求出x，然后利用代入法求出y，从而得到方程组的解．
解：（1）原式＝2+2+1﹣
＝3+；
（2），
①×3+②×2得9x+10x＝48+66，
解得x＝6，
把x＝6代入①得18+4y＝16，
解得y＝﹣，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组．
17．下面是小李同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，，
去分母，得10﹣x≥3x﹣6…第一步，
移项，得﹣x﹣3x≥﹣6﹣10…第二步，
合并同类项，得﹣4x≥﹣16…第三步，
系数化为1，得x≥4…第四步．
任务一：
上述解不等式①的过程第 四 步出现了错误，其原因是 不等式两边都除以﹣4，不等号的方向没有改变 ；
任务二：
请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】任务一：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
任务二：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解：任务一：
上述解不等式①的过程第四步出现了错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣4，不等号的方向没有改变；
故答案为：四，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向没有改变；
任务二：
解不等式①得x≤4；
解不等式②得x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤4，
将不等式组的解集表示在数轴上：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18．请认真读题，观察图形，补全下面证明过程和推理依据．
已知：如图，∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝∠B．
求证：EF∥BC．
证明：∵∠1＝80°，∠2＝100°，
∴∠1+∠2＝180°；
∵∠2+∠AEC＝180°，
∴∠1＝∠AEC（ 同角或等角的补角相等 ），
∴DF∥ AB ，
∴∠3＝ ∠AEF （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵∠3＝∠B（已知），
∴ ∠AEF ＝∠B．（等量代换）
∴EF∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质和判定以及补角的知识进行填空．
【解答】证明：∵∠1＝80°，∠2＝100°，
∴∠1+∠2＝180°；
∵∠2+∠AEC＝180°，
∴∠1＝∠AEC（同角或等角的补角相等），
∴DF∥AB，
∴∠3＝∠AEF（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠AEF＝∠B．（等量代换）
∴EF∥BC（同位角相等，两直线平行 ）．
故答案为：同角或等角的补角相等；
AB；
∠AEF，两直线平行，内错角相等；
∠AEF；
同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定、补角的知识，难度不大．
19．已知实数x，y满足．
（1）求x，y的值；
（2）求x﹣2y的平方根．
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可求出x、y的值，由平方根的定义即可求出x﹣2y的平方根．
解：（1）∵|x﹣5|+＝0，
∴x﹣5＝0，y+3＝0，
∴x＝5，y＝﹣3，
（2）x﹣2y
＝5﹣2×（﹣3）
＝11，
∴x﹣2y的平方根是±．
【点评】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0，平方根的定义．
20．某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
调查问卷
2023年6月
你崇拜的偶像是（ ）（单选）
A．娱乐明星 B．英雄人物
C．科学家 D．其他
收集数据：
ADCCADBBACDBDAC
ACCCCDCADBBCAAC
ACAACACCCBBDBDD
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型
划记
人数
百分比
A．娱乐明星
正正正
15
25%
B．英雄人物
正正下
C．科学家
正正正正正
24
40%
D．其他
9
15%
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空n＝ 72 ；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
【分析】（1）用A的人数除以A所占百分比可得样本容量，进而求出B的人数，再补全统计表和条形统计图即可；用360°乘B所占百分比可得n的值；
（2）用总人数乘样本中崇拜英雄人物和科学家所占百分比之和即可；
（3）要围绕所统计的条形统计图给出合理化建议．
解：（1）由题意得，样本容量为：15÷25%＝60，
故B的人数为：60﹣15﹣24﹣9＝12，
补全统计表和条形统计图如下：
n°＝360°×（1﹣25%﹣15%﹣40%）＝72°，故n＝72，
故答案为：72；
（2）1600×（+40%）＝960（人），
答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；
（3）由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
21．如图，三角形ABC经过某种变换后得到三角形DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请观察它们之间的关系，完成以下问题：
（1）请分别写出点A，D的坐标：A （5，4） ，D （﹣5，﹣4） ；
（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标是（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是 （﹣x，﹣y） ；
（3）在上述变换情况下，点P（a+3，﹣b+6）与点Q（2b﹣3，﹣2a）为对应点，求a+b的值．
【分析】（1）观察平面直角坐标系可得点A，D的坐标；
（2）根据平面直角坐标系中点的坐标特征可知点A、B、C和点D、E、F关于原点对称，从而得出点N的坐标；
（3）根据（2）中的结论列出方程组，求解即可．
解：（1）由平面直角坐标系得点A的坐标是（5，4），点D的坐标是（﹣5，﹣4），
故答案为：（5，4）；（﹣5，﹣4）；
（2）∵点A（5，4）与点D（﹣5，﹣4），点B（4，0）与点E（﹣4，0），点C（1，2）与点F（﹣1，﹣2），两点的横纵坐标互为相反数，
∴这三组对应点均关于原点对称，
∴若三角形ABC内任意一点M的坐标是（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是（﹣x，﹣y），
故答案为：（﹣x，﹣y）；
（3）根据题意得，
，
解得，
∴a+b＝4﹣2＝2．
【点评】本题考查了几何变换，坐标与图形性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
22．安全进万家，关系你我他．为了进一步提升摩托车、电动车、自行车骑行人员的安全防护水平．公安部交通管理局部署在全国开展了“一盔一带”的安全守护行动．某商店顺应市场需求，销售A、B两种型号的头盔，每种进价分别为60元、40元，下表是近两次销售的情况．（售价、进价均保持不变）
销售数量
利润收入
A种头盔
B种头盔
第一次
5个
4个
140元
第二次
7个
8个
220元
（1）分别求出A、B两种头盔的售价；
（2）根据销售情况，若进价不变，该商店准备用不超过5200元的金额，采购这两种型号的头盔共100个进行销售，则A种头盔最多能采购多少个？
【分析】（1）设A种头盔的售价为x元/个，B种头盔的售价为y元/个，根据近两次销售数量及利润收入，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购m个A种头盔，则采购（100﹣m）个B种头盔，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不超过5200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设A种头盔的售价为x元/个，B种头盔的售价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：A种头盔的售价为80元/个，B种头盔的售价为50元/个；
（2）设采购m个A种头盔，则采购（100﹣m）个B种头盔，
根据题意得：60m+40（100﹣m）≤5200，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：A种头盔最多能采购60个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，0），（3，2），过点A，B作直线．
问题提出：
（1）请你过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，则AB与CD的位置关系为 AB∥CD ；
问题探究：
（2）若点P是x轴上的一个动点，
①当点P与原点重合时，连接PA，PC，请直接写出∠APC，∠BAP与∠PCD之间的数量关系 ∠APC＝∠PCD+∠BAP ；
②当点P在直线AB左侧时，请猜想∠APC，∠BAP与∠PCD之间的数量关系，并给予证明．
拓展提高：
（3）当点P的坐标为（2，0）时，点Q在y轴上，且三角形AOQ的面积与三角形AOP的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）根据CD⊥x，AB⊥x，得出结论即可；
（2）①证△APC是直角三角形，根据角的互余得出结论即可；
②根据三角形外角的性质和平行线的性质得出结论即可；
（3）根据三角形的面积相等得出OQ的长度，进而求出Q点的坐标即可．
解：（1）∵A，B，C三点的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，0），（3，2），
∴AB⊥x轴，△ABO为直角三角形，
又∵CD⊥x轴，
∴AB∥CD；
（2）①当点P与原点重合时，∠APC＝∠PCD+∠BAP，
∵A，B，C三点的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，0），（3，2），
∴OA＝＝，OC＝＝，AC＝＝，
∴OA2+OC2＝AC2，
即△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°，
∵∠BAP+∠APB＝∠CPD+∠PCD＝90°，∠APB+∠CPD＝90°，
∴∠APC＝∠PCD+∠BAP；
②当点P在直线AB左侧时，∠APC＝∠PCD﹣∠BAP，
设PC与AB交于点M，
∵∠AMC＝∠APC+∠BAP，
∵CD⊥x，AB⊥x，
∴AB∥CD，
∴∠AMC＝∠PCD，
∴∠PCD＝∠APC+∠BAP，
即∠APC＝∠PCD﹣∠BAP；
（3）∵三角形AOQ的面积与三角形AOP的面积相等，
∴OP•yA＝OQ•xA，
即×3＝×OQ×2，
解得OQ＝3，
∴Q点坐标为（0，﹣3）或（0，3）．
【点评】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握勾股定理，平行线的性质，三角形的面积等知识是解题的关键．
2022-2023学年河南省开封市七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．﹣1的立方根为（ ）
A．﹣1 B．±1 C．1 D．不存在
2．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝5 B．3x+2y2＝1 C．x﹣＝6 D．﹣2＝y
3．用不等式表示语句：2与x的3倍的和不小于6，下列正确的是（ ）
A．3x+2＞6 B．3（x+2）≥6 C．3x+2≥6 D．3（x+2）＞6
4．已知点P在第二象限，到x轴距离是3个单位长度，到y轴距离是5个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣5，3） D．（5．﹣3）
5．数学教学用具：直尺、三角板、量角器如图放置，则∠1的度数是（ ）
A．38° B．40° C．48° D．52°
6．国家近年来出台了一系列加强中学生体育锻炼的措施，某校在七年级举办了趣味体育活动，其中一项活动是比较参赛选手1分钟内将乒乓球用球拍颠到指定高度的次数，小明负责记录，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图，请问颠球次数在15～20的人数占总参赛人数的百分比是（ ）
A．40% B．30% C．20% D．10%
7．小军和小刚解同一个一元一次不等式，小军说：不等式求解过程中需要改变不等号的方向；小刚说：不等式的解集是x≤﹣5，根据以上信息，则所解的不等式可能是（ ）
A．3x≤﹣15 B．﹣3x≥15 C．3x≤15 D．﹣3x≥﹣15
8．如图，正方形ABCD的面积为7，A是数轴上表示﹣2的点，以A为圆心，AB为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（ ）
A．﹣1+ B．1﹣ C．﹣2+ D．2﹣
9．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把点P1（b+1，1﹣a）叫做点P的友谊点．已知点M1的友谊点为M2，点M2的友谊点为M3，点M3的友谊点为M4…，这样依次得到点M1M2M3…，M，若点M1的坐标为（2，3），则点M2023的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（2，3） C．（4，﹣1） D．（﹣2，1）
二、填空题.（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ．
13．已知点P（m，n），且mn＞0，m+n＜0，则点P在 象限．
14．已知，则y＝ （用含有x的式子表示）．
15．把一张对边互相平行的纸条，按如图（1）所示沿EF折叠后，再将图（1）继续沿BF折叠成图（2），若∠BHE＝44°，则∠EFC''＝ ．
三、解答题.（共55分）
16．（1）计算：；
（2）解方程组：．
17．下面是小李同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，，
去分母，得10﹣x≥3x﹣6…第一步，
移项，得﹣x﹣3x≥﹣6﹣10…第二步，
合并同类项，得﹣4x≥﹣16…第三步，
系数化为1，得x≥4…第四步．
任务一：
上述解不等式①的过程第 步出现了错误，其原因是 ；
任务二：
请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
18．请认真读题，观察图形，补全下面证明过程和推理依据．
已知：如图，∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝∠B．
求证：EF∥BC．
证明：∵∠1＝80°，∠2＝100°，
∴∠1+∠2＝180°；
∵∠2+∠AEC＝180°，
∴∠1＝∠AEC（ ），
∴DF∥ ，
∴∠3＝ （ ），
∵∠3＝∠B（已知），
∴ ＝∠B．（等量代换）
∴EF∥BC（ ）．
19．已知实数x，y满足．
（1）求x，y的值；
（2）求x﹣2y的平方根．
20．某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
调查问卷
2023年6月
你崇拜的偶像是（ ）（单选）
A．娱乐明星 B．英雄人物
C．科学家 D．其他
收集数据：
ADCCADBBACDBDAC
ACCCCDCADBBCAAC
ACAACACCCBBDBDD
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型
划记
人数
百分比
A．娱乐明星
正正正
15
25%
B．英雄人物
正正下
C．科学家
正正正正正
24
40%
D．其他
9
15%
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空n＝ ；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
21．如图，三角形ABC经过某种变换后得到三角形DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请观察它们之间的关系，完成以下问题：
（1）请分别写出点A，D的坐标：A ，D ；
（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标是（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是 ；
（3）在上述变换情况下，点P（a+3，﹣b+6）与点Q（2b﹣3，﹣2a）为对应点，求a+b的值．
22．安全进万家，关系你我他．为了进一步提升摩托车、电动车、自行车骑行人员的安全防护水平．公安部交通管理局部署在全国开展了“一盔一带”的安全守护行动．某商店顺应市场需求，销售A、B两种型号的头盔，每种进价分别为60元、40元，下表是近两次销售的情况．（售价、进价均保持不变）
销售数量
利润收入
A种头盔
B种头盔
第一次
5个
4个
140元
第二次
7个
8个
220元
（1）分别求出A、B两种头盔的售价；
（2）根据销售情况，若进价不变，该商店准备用不超过5200元的金额，采购这两种型号的头盔共100个进行销售，则A种头盔最多能采购多少个？
23．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，0），（3，2），过点A，B作直线．
问题提出：
（1）请你过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，则AB与CD的位置关系为 ；
问题探究：
（2）若点P是x轴上的一个动点，
①当点P与原点重合时，连接PA，PC，请直接写出∠APC，∠BAP与∠PCD之间的数量关系 ；
②当点P在直线AB左侧时，请猜想∠APC，∠BAP与∠PCD之间的数量关系，并给予证明．
拓展提高：
（3）当点P的坐标为（2，0）时，点Q在y轴上，且三角形AOQ的面积与三角形AOP的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．﹣1的立方根为（ ）
A．﹣1 B．±1 C．1 D．不存在
【分析】由立方根的概念：如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．根据﹣1的立方等于﹣1即可求出﹣1的立方根．
解：因为（﹣1）3＝﹣1，
所以﹣1的立方根为﹣1，
即＝﹣1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了立方根的定义，同时学生还需要掌握立方根等于本身的数有三个：0，1，﹣1．
2．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．xy＝5 B．3x+2y2＝1 C．x﹣＝6 D．﹣2＝y
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
解：A．该方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程是分式方程，不是整式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D．该方程是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键，只含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程．
3．用不等式表示语句：2与x的3倍的和不小于6，下列正确的是（ ）
A．3x+2＞6 B．3（x+2）≥6 C．3x+2≥6 D．3（x+2）＞6
【分析】根据“2与x的3倍的和不小于6”列出不等式即可．
解：根据题意，得3x+2≥6．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意是解题的关键．
4．已知点P在第二象限，到x轴距离是3个单位长度，到y轴距离是5个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A．（﹣3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣5，3） D．（5．﹣3）
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答．
解：∵点A在第二象限，且到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是5个单位长度，
∴点A的横坐标是﹣5，纵坐标是3，
∴点A的坐标是（﹣5，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
5．数学教学用具：直尺、三角板、量角器如图放置，则∠1的度数是（ ）
A．38° B．40° C．48° D．52°
【分析】根据题意可得：AD∥BC，∠CFG＝48°，然后利用平行线的性质可得∠DEF＝∠CFG＝48°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．
解：如图：
由题意得：AD∥BC，∠CFG＝48°，
∴∠DEF＝∠CFG＝48°，
∵∠GEH＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠DEF﹣∠GEH＝52°，
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并几何图形进行分析是解题的关键．
6．国家近年来出台了一系列加强中学生体育锻炼的措施，某校在七年级举办了趣味体育活动，其中一项活动是比较参赛选手1分钟内将乒乓球用球拍颠到指定高度的次数，小明负责记录，并将其绘制成如图所示的频数分布直方图，请问颠球次数在15～20的人数占总参赛人数的百分比是（ ）
A．40% B．30% C．20% D．10%
【分析】将颠球次数在15～20的人数除以总人数化成百分数即可．
解：∵总人数为：3+10+12+5＝30（人），颠球次数在15～20的人数为：3人，
∴颠球次数在15～20的人数占总参赛人数的百分比是：，
故选：D．
【点评】本题考查频数分布直方图，能从频数分布直方图中获取有用信息是解题的关键．
7．小军和小刚解同一个一元一次不等式，小军说：不等式求解过程中需要改变不等号的方向；小刚说：不等式的解集是x≤﹣5，根据以上信息，则所解的不等式可能是（ ）
A．3x≤﹣15 B．﹣3x≥15 C．3x≤15 D．﹣3x≥﹣15
【分析】找到未知数系数为负数，并且不等式的解为x≤5的即为所求．
解：A、3x≤﹣15，未知数系数为正数，不符合题意；
B、﹣3x≥15，解得x≤﹣5，符合题意；
C、3x≤15，未知数系数为正数，不符合题意；
D、﹣3x≥﹣15，解得x≤5，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能改变不等号方向，其它都不会改变不等号方向．
8．如图，正方形ABCD的面积为7，A是数轴上表示﹣2的点，以A为圆心，AB为半径画弧，与数轴正半轴交于点E，则点E所表示的数为（ ）
A．﹣1+ B．1﹣ C．﹣2+ D．2﹣
【分析】根据已知条件求出正方形的边长再确定E点所表示的数即可．
解：∵正方形ABCD的面积为7，
∴正方形的边长为，
∴AE＝，
∵A是数轴上表示﹣2的点，
∴E点表示的数是﹣2+．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理，考查实数与数轴，根据题意得出正方形的边长是解题的关键．．
9．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而本题得以解决．
解：由题意可得，
，
故选：B．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
10．在平面直角坐标系中，对于点P（a，b），我们把点P1（b+1，1﹣a）叫做点P的友谊点．已知点M1的友谊点为M2，点M2的友谊点为M3，点M3的友谊点为M4…，这样依次得到点M1M2M3…，M，若点M1的坐标为（2，3），则点M2023的坐标为（ ）
A．（0，﹣3） B．（2，3） C．（4，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根据“友谊点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4，根据商和余数的情况确定点M2023的坐标即可．
解：∵M1的坐标为（2，3），
∴M2（4，﹣1），M3（0，﹣3），A4（﹣2，1），A5（2，3），…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵2023÷4＝5045••••••3，
∴点M2023的坐标与M3的坐标相同，为（0，﹣3）．
故选：A．
【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“友谊点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．
二、填空题.（每小题3分，共15分）
11．请写出一个大于1且小于2的无理数 ．
【分析】由于所求无理数大于1且小于2，则该数的平方大于1小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．
解：大于1且小于2的无理数是，答案不唯一．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式： 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 ．
【分析】命题中的条件是两个角是对顶角，放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，应放在“那么”的后面．
解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
13．已知点P（m，n），且mn＞0，m+n＜0，则点P在 三 象限．
【分析】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负以及有理数的加法运算法则确定出m、n的正负情况，再根据各象限的坐标的特点解答．
解：∵mn＞0，
∴m、n同号，
∵m+n＜0，
∴m＜0，n＜0，
∴点P（m，n）在第三象限．
故答案为：三．
【点评】本题考查了点的坐标，判断出m、n都是负数是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
14．已知，则y＝ （用含有x的式子表示）．
【分析】将原方程去分母并移项，然后将y的系数化为1即可求得答案．
解：原方程两边同乘6，去分母得：x﹣3y＝﹣2，
移项得：3y＝x+2，
则y＝，
故答案为：．
【点评】本题考查解二元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
15．把一张对边互相平行的纸条，按如图（1）所示沿EF折叠后，再将图（1）继续沿BF折叠成图（2），若∠BHE＝44°，则∠EFC''＝ 114° ．
【分析】如图（1）：根据长方形的性质可得AD∥BC，从而利用平行线的性质可得∠DEH＝∠BHE＝44°，再根据折叠的性质可得：∠DEF＝∠HEF＝22°，从而利用平行线的性质可得∠DEF＝∠EFB＝22°，然后根据题意可得：D′E∥FC′，从而利用平行线的性质可得∠EFC′＝158°，进而可得∠HFC′＝136°，如图（2）：根据折叠的性质可得：∠HFC′＝∠HFC″＝136°从而利用角的和差关系进行计算即可解答．
解：如图（1）：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，
∴∠DEH＝∠BHE＝44°，
由折叠得：∠DEF＝∠HEF＝∠DEH＝22°，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝22°，
由题意得：D′E∥FC′，
∴∠EFC′＝180°﹣∠HEF＝158°，
∴∠HFC′＝∠EFC′﹣∠EFB＝136°，
如图（2）：
由折叠得：∠HFC′＝∠HFC″＝136°，
∴∠EFC″＝∠HFC″﹣∠EFH＝114°，
故答案为：114°
【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换（折叠问题），根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
三、解答题.（共55分）
16．（1）计算：；
（2）解方程组：．
【分析】（1）先进行二次根式的乘法运算和去绝对值，然后合并即可；
（2）先利用加减消元法求出x，然后利用代入法求出y，从而得到方程组的解．
解：（1）原式＝2+2+1﹣
＝3+；
（2），
①×3+②×2得9x+10x＝48+66，
解得x＝6，
把x＝6代入①得18+4y＝16，
解得y＝﹣，
所以方程组的解为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．也考查了解二元一次方程组．
17．下面是小李同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
解不等式①，，
去分母，得10﹣x≥3x﹣6…第一步，
移项，得﹣x﹣3x≥﹣6﹣10…第二步，
合并同类项，得﹣4x≥﹣16…第三步，
系数化为1，得x≥4…第四步．
任务一：
上述解不等式①的过程第 四 步出现了错误，其原因是 不等式两边都除以﹣4，不等号的方向没有改变 ；
任务二：
请写出正确的解题过程，并将不等式组的解集在数轴上表示出来．
【分析】任务一：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
任务二：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解：任务一：
上述解不等式①的过程第四步出现了错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣4，不等号的方向没有改变；
故答案为：四，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向没有改变；
任务二：
解不等式①得x≤4；
解不等式②得x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤4，
将不等式组的解集表示在数轴上：
．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
18．请认真读题，观察图形，补全下面证明过程和推理依据．
已知：如图，∠1＝80°，∠2＝100°，∠3＝∠B．
求证：EF∥BC．
证明：∵∠1＝80°，∠2＝100°，
∴∠1+∠2＝180°；
∵∠2+∠AEC＝180°，
∴∠1＝∠AEC（ 同角或等角的补角相等 ），
∴DF∥ AB ，
∴∠3＝ ∠AEF （ 两直线平行，内错角相等 ），
∵∠3＝∠B（已知），
∴ ∠AEF ＝∠B．（等量代换）
∴EF∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质和判定以及补角的知识进行填空．
【解答】证明：∵∠1＝80°，∠2＝100°，
∴∠1+∠2＝180°；
∵∠2+∠AEC＝180°，
∴∠1＝∠AEC（同角或等角的补角相等），
∴DF∥AB，
∴∠3＝∠AEF（ 两直线平行，内错角相等），
∵∠3＝∠B（已知），
∴∠AEF＝∠B．（等量代换）
∴EF∥BC（同位角相等，两直线平行 ）．
故答案为：同角或等角的补角相等；
AB；
∠AEF，两直线平行，内错角相等；
∠AEF；
同位角相等，两直线平行．
【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定、补角的知识，难度不大．
19．已知实数x，y满足．
（1）求x，y的值；
（2）求x﹣2y的平方根．
【分析】非负数之和等于0时，各项都等于0，由此即可求出x、y的值，由平方根的定义即可求出x﹣2y的平方根．
解：（1）∵|x﹣5|+＝0，
∴x﹣5＝0，y+3＝0，
∴x＝5，y＝﹣3，
（2）x﹣2y
＝5﹣2×（﹣3）
＝11，
∴x﹣2y的平方根是±．
【点评】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0，平方根的定义．
20．某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下：
调查问卷
2023年6月
你崇拜的偶像是（ ）（单选）
A．娱乐明星 B．英雄人物
C．科学家 D．其他
收集数据：
ADCCADBBACDBDAC
ACCCCDCADBBCAAC
ACAACACCCBBDBDD
整理数据：
崇拜偶像人数统计表
偶像类型
划记
人数
百分比
A．娱乐明星
正正正
15
25%
B．英雄人物
正正下
C．科学家
正正正正正
24
40%
D．其他
9
15%
描述数据：
请根据所统计信息，解答下列问题：
（1）请补全统计表和条形统计图并填空n＝ 72 ；
（2）若该校共有1600名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？
（3）请你针对中学生崇拜偶像问题．提出积极的合理化的建议．
【分析】（1）用A的人数除以A所占百分比可得样本容量，进而求出B的人数，再补全统计表和条形统计图即可；用360°乘B所占百分比可得n的值；
（2）用总人数乘样本中崇拜英雄人物和科学家所占百分比之和即可；
（3）要围绕所统计的条形统计图给出合理化建议．
解：（1）由题意得，样本容量为：15÷25%＝60，
故B的人数为：60﹣15﹣24﹣9＝12，
补全统计表和条形统计图如下：
n°＝360°×（1﹣25%﹣15%﹣40%）＝72°，故n＝72，
故答案为：72；
（2）1600×（+40%）＝960（人），
答：其中崇拜英雄人物和科学家的共约960人；
（3）由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了用样本估计总体的思想．
21．如图，三角形ABC经过某种变换后得到三角形DEF，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，请观察它们之间的关系，完成以下问题：
（1）请分别写出点A，D的坐标：A （5，4） ，D （﹣5，﹣4） ；
（2）若三角形ABC内任意一点M的坐标是（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是 （﹣x，﹣y） ；
（3）在上述变换情况下，点P（a+3，﹣b+6）与点Q（2b﹣3，﹣2a）为对应点，求a+b的值．
【分析】（1）观察平面直角坐标系可得点A，D的坐标；
（2）根据平面直角坐标系中点的坐标特征可知点A、B、C和点D、E、F关于原点对称，从而得出点N的坐标；
（3）根据（2）中的结论列出方程组，求解即可．
解：（1）由平面直角坐标系得点A的坐标是（5，4），点D的坐标是（﹣5，﹣4），
故答案为：（5，4）；（﹣5，﹣4）；
（2）∵点A（5，4）与点D（﹣5，﹣4），点B（4，0）与点E（﹣4，0），点C（1，2）与点F（﹣1，﹣2），两点的横纵坐标互为相反数，
∴这三组对应点均关于原点对称，
∴若三角形ABC内任意一点M的坐标是（x，y），点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是（﹣x，﹣y），
故答案为：（﹣x，﹣y）；
（3）根据题意得，
，
解得，
∴a+b＝4﹣2＝2．
【点评】本题考查了几何变换，坐标与图形性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
22．安全进万家，关系你我他．为了进一步提升摩托车、电动车、自行车骑行人员的安全防护水平．公安部交通管理局部署在全国开展了“一盔一带”的安全守护行动．某商店顺应市场需求，销售A、B两种型号的头盔，每种进价分别为60元、40元，下表是近两次销售的情况．（售价、进价均保持不变）
销售数量
利润收入
A种头盔
B种头盔
第一次
5个
4个
140元
第二次
7个
8个
220元
（1）分别求出A、B两种头盔的售价；
（2）根据销售情况，若进价不变，该商店准备用不超过5200元的金额，采购这两种型号的头盔共100个进行销售，则A种头盔最多能采购多少个？
【分析】（1）设A种头盔的售价为x元/个，B种头盔的售价为y元/个，根据近两次销售数量及利润收入，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设采购m个A种头盔，则采购（100﹣m）个B种头盔，利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不超过5200元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
解：（1）设A种头盔的售价为x元/个，B种头盔的售价为y元/个，
根据题意得：，
解得：．
答：A种头盔的售价为80元/个，B种头盔的售价为50元/个；
（2）设采购m个A种头盔，则采购（100﹣m）个B种头盔，
根据题意得：60m+40（100﹣m）≤5200，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：A种头盔最多能采购60个．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，0），（3，2），过点A，B作直线．
问题提出：
（1）请你过点C作CD⊥x轴，垂足为点D，则AB与CD的位置关系为 AB∥CD ；
问题探究：
（2）若点P是x轴上的一个动点，
①当点P与原点重合时，连接PA，PC，请直接写出∠APC，∠BAP与∠PCD之间的数量关系 ∠APC＝∠PCD+∠BAP ；
②当点P在直线AB左侧时，请猜想∠APC，∠BAP与∠PCD之间的数量关系，并给予证明．
拓展提高：
（3）当点P的坐标为（2，0）时，点Q在y轴上，且三角形AOQ的面积与三角形AOP的面积相等时，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）根据CD⊥x，AB⊥x，得出结论即可；
（2）①证△APC是直角三角形，根据角的互余得出结论即可；
②根据三角形外角的性质和平行线的性质得出结论即可；
（3）根据三角形的面积相等得出OQ的长度，进而求出Q点的坐标即可．
解：（1）∵A，B，C三点的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，0），（3，2），
∴AB⊥x轴，△ABO为直角三角形，
又∵CD⊥x轴，
∴AB∥CD；
（2）①当点P与原点重合时，∠APC＝∠PCD+∠BAP，
∵A，B，C三点的坐标分别为（﹣2，3），（﹣2，0），（3，2），
∴OA＝＝，OC＝＝，AC＝＝，
∴OA2+OC2＝AC2，
即△AOC是直角三角形，
∴∠AOC＝90°，
∵∠BAP+∠APB＝∠CPD+∠PCD＝90°，∠APB+∠CPD＝90°，
∴∠APC＝∠PCD+∠BAP；
②当点P在直线AB左侧时，∠APC＝∠PCD﹣∠BAP，
设PC与AB交于点M，
∵∠AMC＝∠APC+∠BAP，
∵CD⊥x，AB⊥x，
∴AB∥CD，
∴∠AMC＝∠PCD，
∴∠PCD＝∠APC+∠BAP，
即∠APC＝∠PCD﹣∠BAP；
（3）∵三角形AOQ的面积与三角形AOP的面积相等，
∴OP•yA＝OQ•xA，
即×3＝×OQ×2，
解得OQ＝3，
∴Q点坐标为（0，﹣3）或（0，3）．
【点评】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握勾股定理，平行线的性质，三角形的面积等知识是解题的关键．
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