2023届云南省昆明市第一中学高三下学期数学复习试题含解析

2023届云南省昆明市第一中学高三下学期数学复习试题

一、单选题

1．的二项展开式中第4项的系数为（    ）

A．-80 B．-40 C．40 D．80

【答案】B

【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】的二项展开式中第4项为，

所以所求系数为.

故选：B

2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据指对数函数的性质比较a，b，c的大小即可.

【详解】由，

所以.

故选：B

3．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用函数的零点存在定理判断.

【详解】因为，

，

.

所以函数的零点所在的区间为，

故选：C

4．画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题可得，然后利用离心率公式即得.

【详解】由题可得，

∴，即椭圆为，

∴.

故选：A.

5．设为实数，若直线与圆相交于M，N两点，且，则（    ）

A．3 B．-1 C．3或-1 D．-3或1

【答案】C

【分析】化出圆的标准方程，求出圆心和半径，利用垂径定理列方程求解即可.

【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

直线的一般方程为

则由已知得，

解得或

故选：C.

6．若正实数满足，则的（    ）

A．最大值为9 B．最小值为9

C．最大值为8 D．最小值为8

【答案】B

【分析】由1的妙用结合基本不等式可得.

【详解】因为正实数满足，

所以，

当且仅当，即取等号，

所以的最小值为9，无最大值.

故选：B

7．南宋数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为、、，则面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由公式列出面积的表达式，代入，然后利用基本不等式可求得结果

【详解】由题意得，

则

，

当且仅当，即时取等号，

所以三角形面积的最大值为.

故选:B

8．直线被圆所截得的弦长为（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】A

【分析】由已知，根据题中给出的圆的方程，写出圆心坐标与半径，然后求解圆心到直线的距离，最后利用垂径定理可直接求解弦长.

【详解】由已知，圆，圆心坐标为，半径为，

所以点到直线的距离为，

所以，直线被圆截得的弦长为.

故选：A.

二、多选题

9．（多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（　　）

A．－2 B． C．1 D．－1

【答案】ABD

【分析】先求与，使之共线并求出的值，则A，B，C三点不共线即可构成三角形，因此取共线之外的值即可．

【详解】因为，

．

假设A，B，C三点共线，则1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，则A，B，C三点即可构成三角形.

故选：ABD．

10．已知条件p：，条件q：，且p是q的必要条件，则m的值可以是（    ）

A． B． C．- D．0

【答案】BCD

【分析】根据必要条件转化为集合的包含关系，求解即可.

【详解】设，,

因为p是q的必要条件，所以，

当时，由无解可得，符合题意；

当时，或，当时，由解得，

当时，由解得.

综上，的取值为0，，.

故选：BCD

11．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据指数幂的运算法则，对数的运算法则及换底公式逐项分析即得.

【详解】对于A中，原式，所以A正确；

对于B中，原式，所以B正确；

对于C中，原式，所以C错误；

对于D中，原式，所以D正确.

故选：ABD.

12．双曲线的方程为，左、右焦点分别为，过点作直线与双曲线的右半支交于点，，使得，则（    ）

A． B．点的横坐标为

C．直线的斜率为或 D．的内切圆半径是

【答案】BCD

【分析】根据双曲线的定义得到方程组，求出、，即可判断A，再由等面积法求出，代入双曲线方程求出，即可判断B，再求出直线的斜率，即可判断C，利用等面积法求出内切圆的半径，即可判断D；

【详解】解：如图所示，由题意知，解得，故A不正确；

在中，由等面积法知，解得，

代入双曲线方程得，又因为点在双曲右支上，故，故B正确；

由图知，，

由对称性可知，若点在第四象限，则，故C正确；

的内切圆半径

，故D正确．

故选：BCD．

三、填空题

13．抛物线的焦点到准线的距离是______.

【答案】

【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离

【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是.

故答案为：

14．过点作曲线的切线，则切线方程是__________．

【答案】

【分析】求解导函数，设切点坐标，求解，从而设出切线方程，代入点计算，即可求出答案.

【详解】函数定义域为，，

设切点为，，

所以切线方程为，

代入，得，

解得：，所以切线方程为，

整理得：．

故答案为：

15．已知偶函数，当时，，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为__________

【答案】

【分析】作出函数的图象,将问题转化为函数与有4个不同的交点，由图示可得答案.

【详解】解：作出函数的图象如下图所示，令，则，

若函数恰有4个不同的零点，则需函数与有4个不同的交点，所以实数的取值范围为，

故答案为：.

四、双空题

16．已知，则___________，其定义域为___________.

【答案】         

【解析】根据解析式求得的定义域，令，利用换元法即可求得的解析式及定义域，即可得答案.

【详解】由题意得，解得

所以，，

令，则，

所以，

所以，

故答案为：；.

五、解答题

17．已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

（1）求B；

（2）设，，求c.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题设，根据正弦定理得，结合三角形内角的性质得，即可求B；

（2）由余弦定理，结合已知条件列方程，即可求c.

【详解】（1）由正弦定理得：，而，

∴，又，，

∴，又，即.

（2）由余弦定理，即，

∴，解得.

18．在中，内角对应的边分别为，已知．

（1）求；

（2）若，，求的值．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据正弦定理边化角化简题中等式即可；（2）直接运用余弦定理即可求解.

【详解】（1）在中，由正弦定理得，

因为，代入化简得，

因为，所以，

所以，又因为，所以.

（2）在中，由余弦定理得，

代入数据解得.

19．已知公差不为0的等差数列的前项和为成等差数列，且成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)若的前项和为.证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)根据题干条件列出方程组解得，进而可得的通项公式；

(2)将裂项可得，利用裂项相消可求得，进而可证明.

【详解】（1）设的公差为，由题意得，

即，

解得，所以.

（2），

所以.

20．已知的内角，所对的边分别是，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，且的面积，求a.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由正弦定理结合辅助角公式得出角A的大小；

（2）利用面积公式以及余弦定理，解出的值．

【详解】（1）因为，由正弦定理得；

所以

得

因

故

（2）

得

所以

21．已知双曲线C：的焦距为4，且过点.

(1)求双曲线方程；

(2)若直线与双曲线C有且只有一个公共点，求实数的值.

【答案】(1)

(2)，．

【分析】（1）求出双曲线的焦点，根据定义求出，然后求出．可得双曲线的方程．

（2）联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可．

【详解】（1）解：由题意可知双曲线的焦点为和，

根据定义有．

，又，所以，，．

所求双曲线的方程为．

（2）解：因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；

由，消去整理得．

①当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；

②当即时，由，解得，

此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意．

综上所述：符合题意的的所有取值为，．

22．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动.

(1)求甲最后没有得奖的概率；

(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；

（2）若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可.

【详解】（1）记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未通过为事件，甲最后没有得奖为事件，

则，，，

故.

（2）记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件，

则，.

因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，

故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为.