2023届云南省昆明市第三中学高三下学期数学高考适应性课堂测试题含解析

2023届云南省昆明市第三中学高三下学期数学高考适应性课堂测试题

一、单选题

1．集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据分式不等式解法解出集合，一元二次不等式解法解出集合，再由补集与交集的运算即可求解.

【详解】依题意，

因为，

解得，所以，所以

因为，解得，所以

所以.

故选：D.

2．复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，若，为虚数单位，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数几何意义可确定，由复数乘法运算可求得结果.

【详解】对应的点为，对应的点为，即，

.

故选：B.

3．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角.

【详解】因为，所以，即①.

因为向量在向量方向的投影向量是，所以.

所以②，将①代入②得，，又，

所以.

故选：B

4．一袋中有大小相同的个白球和个红球，现从中任意取出个球，记事件“个球中至少有一个白球”，事件“个球中至少有一个红球”，事件“个球中有红球也有白球”，下列结论不正确的是（    ）

A．事件与事件不为互斥事件 B．事件与事件不是相互独立事件

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球，进而依次分析事件、事件、事件，及其概率，再讨论各选项即可得答案.

【详解】根据题意，取出的个球的可能情况为：个红球；个红球个白球；个红球个白球；个白球.

故事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个白球，且；

事件包含：个红球个白球；个红球个白球；个红球，且；

事件包含：个红球个白球；个红球个白球，且.

所以，，，

因为，则事件与事件不为互斥事件，A选项错误；

，故事件与事件不是相互独立事件，B正确；

，故D错误；

，故C正确；

故选：D.

5．已知椭圆的左、右焦点分別为为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设关于平分线的对称点为Q，结合角平分线的性质可得是正三角形，再运用椭圆定义求得，，根据三角形面积公式求的面积即可.

【详解】设椭圆的长半轴为，则

设关于平分线的对称点为Q，

由椭圆对称性及角平分线性质可知P，，Q三点共线且

又因为，所以是正三角形，

设，

由椭圆定义可得，，

又，

所以，

所以，即，，

所以的面积.

故选：C.

6．如图，已知是侧棱长和底面边长均等于的直三棱柱，是侧棱的中点.则点到平面的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取的中点，连接，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.

【详解】取的中点，连接，

因为为等边三角形，为的中点，则，

以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

设平面的法向量为，，，

由，取，可得，

，所以，点到平面的距离为.

故选：A.

7．椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，利用椭圆和双曲线的定义以及余弦定理可得出、关于的等式，从而可得出、的关系式.

【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，并设，，焦距为，在中，由余弦定理得，

由椭圆和双曲线的定义得，解得.

代入，

得，

即，，

即，，因此，.

故选B.

【点睛】本题考查共焦点和共交点的椭圆和双曲线的综合问题，要充分结合椭圆、双曲线的定义以及余弦定理列等式求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

8．已知一族曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．则下列结论错误的是（    ）

A．数列的通项为 B．数列的通项为

C．当时， D．

【答案】B

【分析】设直线与曲线方程联立，由结合韦达定理直线的方程可得出从而可判断A,B 选项;由，，可判断选项C；设，求出其导数，得出其单调性，从而得出，根据可判断选项D.

【详解】设直线，联立，

得，

则由，即，

得(负值舍去)，

所以可得，，

所以A对，B错；

因为，，

所以，

故C对；

因为，

令，，

可得在上递减，可知在上恒成立，

又.所以成立，

故D正确.

故选：B.

二、多选题

9．制造业指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业指数的临界点为．我国年月至年月制造业指数如图所示，则（    ）

A．年月中国制造业指数为，比上月下降个百分点，低于临界点

B．年月至年月中国制造业指数的极差为

C．年月至年月中国制造业指数的众数为

D．年月至年月中国制造业指数的标准差小于年月至年月中国制造业指数的标准差

【答案】ABD

【分析】根据图中数据，结合极差、众数的定义、标准差与数据稳定性之间关系可直接得到结果.

【详解】对于A，由图可知：年月中国制造业指数为，年月中国制造业指数为，

年月中国制造业指数比上月下降个百分点，且低于临界点，A正确；

对于B，极差为，B正确；

对于C，由图中数据知：众数为，C错误；

对于D，由图中数据波动幅度知：年月至年月中国制造业指数比年月至年月更稳定，

年月至年月中国制造业指数的标准差更小，D正确.

故选：ABD.

10．如图，正方体的棱长为4，是上一点，，是正方形内一点（不包括边界），若，则（    ）

A．对任意点，直线与直线异面 B．存在点，使得直线平面

C．直线与所成角的最大值为 D．的最小值为5

【答案】ACD

【分析】根据线线关系求得，即可得点的轨迹是以为圆心，从而可判断A；构造平面平行，利用其性质可判断B；根据异面直线的定义确定异面直线所成角根据正弦值确定角度大小，即可判断C；结合的轨迹，根据点与圆的位置关系，即可得的最小值，从而可判断D.

【详解】对于A，连接，因为，，所以，即，

所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一（不含边界），则直线与直线异面，故A正确；

对于B，过点作，垂足为，则，设为上一点，且，

连接，则，连接，

又平面，平面，所以平面，平面，平面，所以平面，

因为平面，则平面平面，

因为到的距离为3，大于2，所以直线与圆相离，所以不存在点，使得直线平面，故B错误；

对于C，因为，所以即直线与所成的角，当与圆相切时，最大，此时，得，

所以直线与所成角的最大值为，故C正确；

对于D，连接，

易知，显然当最小时，最小，连接交圆于点，当与重合时最小，最小值为，故5，故D正确.

故选：ACD.

11．已知函数的定义域为R，且对任意，都有，且当时，恒成立，则（    ）

A．函数是R上的减函数 B．函数是奇函数

C．若，则的解集为 D．函数()+为偶函数

【答案】ABC

【分析】利用单调性定义结合可判断A；利用特殊值求出，从而证明可判断B，根据条件求出，进而利用单调性解不等式可判断C，利用奇偶性的定义可判断D.

【详解】设，且，，则，

而

，

又当时，恒成立，即，，

函数是R上的减函数，A正确；

由，

令可得，解得，

令可得，即，而，

，而函数的定义域为R，

故函数是奇函数，B正确；

令可得，解得，

因为函数是奇函数，所以，

由，可得，

因为函数是R上的减函数，所以，C正确；

令，易知定义域为R，

因为，显然不恒成立，所以不是偶函数，D错误.

故选：ABC.

12．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a、b的存在性，即可得答案.

【详解】A：为增函数，

若存在“3倍值区间”，则，

结合及的图象知，方程无解，

故不存在“3倍值区间”，A错误；

B：为减函数，

若存在“3倍值区间”，则有，得，又，，

所以可取，，

所以存在“3倍值区间”，B正确；

C：为增函数，

若存在“3倍值区间”，则，得，

所以存在“3倍值区间”，C正确；

D：当时，；当时，，从而可得在上单调递增，

若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不符合题意，

所以不存在“3倍值区间”，D错误．

故选：BC

三、填空题

13．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．

【答案】2.1

【分析】由,利用正态分布的对称性求得,

则,利用二项分布的方差公式可得结果.

【详解】,且，，

,

,

由题意可得,

所以的方差为，

故答案为:2.1

14．已知抛物线的焦点为，准线为.过焦点的一条直线交抛物线于点，（在第一象限）.分别过点，作准线的垂线，交准线于，.若，，则的值为______.

【答案】

【分析】设过的直线方程为，联立抛物线的方程，可得，进而根据抛物线的定义与几何关系求解即可.

【详解】设过的直线方程为，，联立可得，故.

易得，故，即.

故，则，解得.

故答案为：

15．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”.已知数列1，2，第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2.则第六次“H扩展”后得到的数列的项数为___________.

【答案】65

【分析】可以找出扩展项数之间的递推公式，从而得到第六次扩展后的项数.

【详解】设第一次“H扩展”后的项数为第次“H扩展”后的项数为个数中间的空有，新增个数

则有

为2为首项，2为公比的等比数列，

故答案为：65

16．已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．

【答案】

【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案.

【详解】由已知得：恒成立，则 ，

，

由得，

由于在区间 上恰有3个零点，

故，则， ，

则,

只有当时，不等式组有解，此时，故，

故答案为：

四、解答题

17．已知在：中，角所对的边分別为，且.

(1)求的值；

(2)若为钝角三角形，且，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将条件转化为，再利用正弦定理得到化简求解；

（2）根据结合，得到，且为钝角，然后利用余弦定理求解.

【详解】（1）解：依题意，，

故，

由正弦定理得，

即，故.

（2）因为，所以为锐角，

又，故，则，

因为为钝角三角形，所以为钝角；

因为，

所以，

解得，

所以的取值范围为.

18．如图，四棱锥的底面为矩形，，，，平面平面．是的中点，是上一点，且平面．

(1)求的值；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设平面与直线相交于点，连接，．根据线面平行的性质即可求解；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角.

【详解】（1）设平面与直线相交于点，连接，．

因为平面，平面，平面平面，

所以．

因为，平面，平面，

所以平面．又平面平面，

所以，所以四边形为平行四边形，

所以，

所以，分别为，的中点，故．

（2）因为，是的中点，所以，

又平面平面，且平面平面，平面，

所以平面.

以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ，，，

所以，，．

设平面的法向量为，

则令，得，

所以．

设直线与平面所成的角为，

则．

19．已知等比数列的前项和为，，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）根据题意，由与的关系，结合等比数列的定义即可求得，从而得到数列的通项公式；

（2）根据题意，由错位相减法即可得到结果.

【详解】（1），

①-②得

由，（且），令，，．

为等比数列，则

则此时数列的公比为，，．

（2）．

①

②

②-①得

整理得．

20．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.

(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.

(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.

(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.

【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：

(2)分布列答案见解析，数学期望：

(3)答案见解析

【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可；

（2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可；

（3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可.

【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，

因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，

所以的所有可能取值为，则

，

所以的分布列为

所以的数学期望为.

（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，

则，

，

，

所以的分布列为

所以的数学期望为.

（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，

即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，

回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.

回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.

21．已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)为定值

【分析】（1）根据双曲线渐近线可设双曲线方程为，利用焦点坐标，求得，即得答案.

（2）设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，求得，以及的中点坐标，求出的中垂线方程可得T点坐标，继而求得，化简即可得结论.

【详解】（1）因为双曲线C以为渐近线，

设双曲线方程为，即,

∵，∴，即：，

∴，∴，即.,

所以双曲线C的方程为：.

（2）由题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l：，，，

，

化简得：，，

此方程的两根为，则，

∴

.，

中点M坐标为，即，

∴PQ中垂线方程为：，

令，∴，∴，

则，

∴，即为定值，定值为.

【点睛】难点点睛：解答此类直线和双曲线的位置关系类题目，涉及到定值问题，要设出直线方程并联立双曲线方程，结合根与系数的关系式进行化简，解答的难点是计算比较复杂，计算量较大，比如计算弦长或者其他线段长度，计算要十分细心.

22．设.

(1)求的单调性，并求在处的切线方程；

(2)若在上恒成立，求k的取值范围.

【答案】(1)递增区间为，递减区间为，

(2)

【分析】（1）利用函数单调性间与导数的关系，可直接求出单调增区间和单调减区间；再由导数的几何意义，求出函数在处的导数值，即切线的斜率，从而求出切线方程；

（2）恒（能）成立问题，转化求函数的最值，再利用的函数的单调性，即可求出结果.

【详解】（1）因为，所以，

由得到，由，得到，

所以函数的单调递增区间为，函数的单调递减区间为.

当时，，

所以切点为，又，

∴在处的切线方程为：

，即.

（2）由，即，

所以，

∵，∴，∴，

由（1）可知在上单调递减，

下证：，

即证：在恒成立，

令，则，

∴在上单调递增，

又∵，∴.

∴，

∵在上单调递减，

∴，即，∴.

∴.