2023届云南省昆明市“三诊一模”高三复习教学质量检测数学试题试题含解析

2023届云南省昆明市“三诊一模”高三复习教学质量检测数学试题试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据对数求解集合B，再求交集即可得结果.

【详解】由题意可得：，

故.

故选：A.

2．欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断

【详解】由题意可得：对应的点为，

∵，则，

故位于第二象限.

故选：B.

3．某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了10位，他们一天中三次作答的得分情况如图：

根据图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（    ）

A．该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致

B．该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致

C．该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差

D．该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差

【答案】D

【分析】根据给出统计图数据，分别计算出三次作答的平均分、正确率、极差、标准差，即可作出判断．

【详解】由题可得，该单位抽取的10位员工三次作答的得分分别为：

对于A：第一次作答的平均分为：，

第二次作答的平均分：，

第三次作答的平均分：，

故该单位职工一天中各次作答的平均分不一致，故A错误；

对于B：第一次作答的正确率： ，

第二次作答的正确率： ，

第三次作答的正确率： ，

故该单位职工一天中各次作答的正确率不一致，故B错误；

对于C：该单位职工一天中第三次作答得分的极差：，

该单位职工一天中第二次作答得分的极差：，

故该单位职工一天中第三次作答得分的极差等于第二次的极差，故C错误；

对于D：该单位职工一天中第三次作答得分的标准差：，

该单位职工一天中第一次作答得分的标准差：

，

故该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差，故D正确，

故选：D．

4．已知和均为等差数列，，，，则数列的前50项的和为（    ）

A．5000 B．5050 C．5100 D．5150

【答案】B

【分析】由题设易知为等差数列，结合已知求公差，应用等差数列前n项和公式求和即可.

【详解】由题设也为等差数列，且公差为、公差的和，

又，，故，

所以前50项和为.

故选：B

5．已知直线与圆：交于两点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据垂径定理求弦长，再结合余弦定理运算求解.

【详解】圆：的圆心为，半径，

∵圆心到直线的距离，

则，

可得，且，

∴.

故选：D.

6．函数在区间上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据函数奇偶性排除B、D，再取特值排除C.

【详解】对于函数，

∵，

故为奇函数，图象关于原点对称，B、D错误；

又∵，且，

故，C错误；

故选：A.

7．已知函数，的定义域均为，为偶函数且，，则 （    ）

A．21 B．22 C． D．

【答案】C

【分析】根据题意证明，结合对称性分析运算即可.

【详解】∵为偶函数且，则，

故关于点对称，

又∵，则，

则是以周期为4 的周期函数，故关于点对称，

∴，

则，

又∵，

则，

故.

故选：C.

8．某机床厂工人利用实心的圆锥旧零件改造成一个正四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积（单位：）的最大值为（    ）

A． B．8 C． D．9

【答案】B

【分析】设，借助于圆锥的轴截面分析可得，利用柱体体积公式可求得，求导，利用导数求最值.

【详解】显然当正四棱柱的上底面顶点在圆锥表面时的体积较大，

如图，借助于圆锥的轴截面，

由题意可得：，

设，则，可得，

故该正四棱柱体积，

构建，则，

∵，

当时，；当时，；

则在上单调递增，在上单调递减，

∴，

故该正四棱柱体积的最大值为8（）.

故选：B.

【点睛】方法定睛：利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．

(2)求导：求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0.

(3)求最值：比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．

(4)作答：回归实际问题作答．

二、多选题

9．已知，，设，，，则下列正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．以，为邻边的平行四边形的面积为

D．若，则的最大值为

【答案】BCD

【分析】对A、B、C：根据平面向量的数量积分析判断；对D：根据题意求得点C的轨迹方程，结合圆的性质分析判断.

【详解】对A：若，则，可得，

注意到，可得，A错误；

对B：若，且，则，

则，故，B正确；

对C：以，为邻边的平行四边形的面积，

，

∵，则，即，则有：

当时，则，

故；

当时，则，

故；

当时，则，

故；

综上所述：以，为邻边的平行四边形的面积为，C正确；

对D：不妨设，则，

可得，

∵，则，整理得，

点的轨迹为以为圆心，半径的圆

又∵，由圆可知，

故的最大值为，D正确；

故选：BCD.

10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过原点的直线与双曲线交于两点，若四边形为矩形且，则下列正确的是（    ）

A． B．的渐近线方程为

C．矩形的面积为 D．的斜率为

【答案】AD

【分析】对A、C：根据题意结合双曲线的定义可求得，分析运算；对B：由，可得，进而可求的渐近线方程；对D：利用余弦定理可求，进而可求，注意结合双曲线的对称性分析判断.

【详解】不妨设点在第一象限，

如图，由题意可得：四边形为平行四边形，

由双曲线的定义可得：，则，

对A：∵四边形为矩形，则，A正确；

对B：由选项A可得：，则，

注意到双曲线的焦点在x轴上，则的渐近线方程为，B错误；

对C：矩形的面积为，C错误；

对D：可知：，

则，且，

可得，故，

由双曲线的对称性可得：的斜率为，D正确；

故选：AD.

11．三棱锥中，平面，，记，，，则下列正确的是（    ）

A． B．

C． D．若，则与平面所成的角为

【答案】BCD

【分析】根据题意结合线面垂直可证，利用直角三角形的余弦值的定义与取值范围分析可判断A、B、C；对D：建系，利用空间向量求线面夹角可得，根据题意分析判断.

【详解】∵平面，且平面，则，

平面，

∴平面，

由平面，可得，

设，则，

可得，

故，即，

∵，则，

∴，

故A错误，B、C正确；

如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，

可得，

设平面的法向量为，则，

令，则，即，

设与平面所成的角为，

则，

当时，即，则，即，

此时，，则，

即与平面所成的角为，D正确.

故选：BCD.

12．对于函数，若存在两个常数，，使得，则称函数是“函数”，则下列函数能被称为“函数”的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】对A：根据题意结合指数幂运算分析判断；对B：根据题意整理得，分析判断；对C：根据题意整理得，分析判断，对D：根据题意结合两角和差的正切公式运算分析.

【详解】对A：若，则，

即存在两个常数，，使得使得成立，

故为“函数”，A正确；

对B：若，则，

若为定值，则，解得，且，

故存在两个常数，，

则为“函数”，B正确；

对C：若，则

∵不为定值，

即不存在两个常数，，使得，

不为为“函数”，C错误；

对D：若，则，

若，即，

可得，解得，

即存在两个常数，使得使得成立，

故为“函数”，D正确；

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：对于新定义问题要充分理解定义，严格按照定义的要求推理、运算，注意区别我们已学的相近知识.该题型重点考查学生的思维逻辑能力.

三、填空题

13．若函数在定义域上不单调，则正整数的最小值是______．

【答案】3

【分析】求导，令，得到，再根据，且求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

令，得，

因为，且，

所以，

当时，，则单调递增，

当时，当时，；

当时，，

所以不单调递增，

所以正整数的最小值是3，

故答案为：3

14．一个数学兴趣小组共有2名男生3名女生，从中随机选出2名参加交流会，在已知选出的2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为______．

【答案】

【分析】首先求出男女生各1名的概率，再应用对立事件概率求法求至少有1名男生的概率，最后应用条件概率公式求概率.

【详解】若A表示“2名中至少有1名男生”，B表示“2名中有1名女生”，

所以2名中有1名是男生的条件下，另1名是女生的概率为，

而，，故.

故答案为：

15．已知的部分图象如图所示，，为的图象上两点，则______．

【答案】

【分析】首先根据题意得到，从而得到，根据得到，再计算即可.

【详解】因为，为的图象上两点，

所以，解得，即.

所以.

又因为，，

所以或，

即或，

因为，所以，即.

.

故答案为：

16．已知抛物线：的焦点为，经过抛物线上一点，作斜率为的直线交的准线于点，为准线上异于的一点，当时，______．

【答案】##

【分析】根据题设条件确定在第一象限内，且，设且，结合得到关于m的方程并求值，又即可得结果.

【详解】

不妨令为过点垂直于准线的垂足，又，即为角平分线，

是斜率为的直线与抛物线准线的交点，则在第一象限内，

而，且，根据角平分线性质知：，如上图示，

令且，则直线为，令，则，

由，

整理可得，则，

故.

故答案为：

四、解答题

17．“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点都在圆周上，角的对边分别为，，，满足

(1)求；

(2)若的面积为，且，求的周长

【答案】(1)

(2)cm

【分析】（1）根据题意可求圆的直径，再结合正弦定理运算求解；

（2）根据题意结合面积公式和余弦定理运算求解.

【详解】（1）设的外接圆半径为，则（cm），

由正弦定理，可得.

（2）∵，则，故为锐角，

∴，

由面积公式，即，可得，

由余弦定理，即，

可得，解得（cm），

故的周长为（cm）.

18．某新能源汽车公司从2018年到2022年汽车年销售量（单位：万辆）的散点图如下：

记年份代码为

(1)根据散点图判断，模型①与模型②，哪一个更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果，建立关于的回归方程；

(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量．

参考数据：

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，

【答案】(1)

(2)

(3)预测2023年该公司新能源汽车销售量万辆

【分析】（1）根据散点图结合一次函数、二次函数的图象特征分析判断；

（2）换元令，结合题中数据与公式运算求解；

（3）令，代入回归方程运算求解.

【详解】（1）由散点图可知：散点图与一次函数偏差较大，与二次函数较接近，故模型②更适合.

（2）令，则，，

对于回归方程，

可得：，，

故回归方程为，即.

（3）由（2）可得：，

令，则，

预测2023年该公司新能源汽车销售量万辆.

19．已知数列的前项和为，，且满足

(1)设，证明：是等比数列

(2)设，数列的前项和为，证明：

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）由题设可得，整理变形得，结合等比数列定义即可证结论；

（2）根据的关系求通项公式，进而可得，在上放缩，结合裂项求和证结论.

【详解】（1）由题设，，则，

所以，即，而，

故是首项与公比都为的等比数列.

（2）由（1），即，

当时，，

显然满足上式，

所以，则，

则，又时，

所以且，故.

20．如图，直四棱柱中，是等边三角形，

(1)从三个条件：①；②；③中任选一个作为已知条件，证明：；

(2)在（1）的前提下，若，是棱的中点，求平面与平面所成角的余弦值．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明；

（2）建系，利用空间向量求面面夹角.

【详解】（1）对①：设与的交点为，

∵是等边三角形，且，则为的中点，

可得，且，则，

故，即，

又∵平面，平面，

∴，且平面，

故平面，

注意到平面，故；

对②：∵，则，

又∵，即，

可得，即，

又∵平面，平面，

∴，且平面，

故平面，

注意到平面，故；

对③：∵，即，

在中，则，可得，

故，则，

故，即，

又∵平面，平面，

∴，且平面，

故平面，

注意到平面，故.

（2）如图，建立空间直角坐标系，设，

则，

可得，

设平面的法向量为，则，

令，则，即，

设平面的法向量为，则，

令，则，即，

则，

故平面与平面所成角的余弦值为.

21．已知过点的椭圆：的焦距为2，其中为椭圆的离心率．

(1)求的标准方程；

(2)设为坐标原点，直线与交于两点，以，为邻边作平行四边形，且点恰好在上，试问：平行四边形的面积是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．

【答案】(1)

(2)是定值，定值为

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；

（2）根据题意结合韦达定理求点，代入椭圆方程可得，结合弦长公式求面积即可，注意讨论直线的斜率是否存在.

【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，

由题意可得，解得，

故的标准方程为.

（2）平行四边形的面积为定值，理由如下：

由（1）可得：，则有：

当直线的斜率不存在时，设，

若为平行四边形，则点为长轴顶点，不妨设，

可得，解得，

故平行四边形的面积；

当直线的斜率存在时，设，

联立方程，消去y得，

则，

可得，

∵，

若为平行四边形，则，

即点在椭圆上，则，

整理可得，满足，

则，

可得，

点到直线的距离，

故平行四边形的面积；

综上所述：平行四边形的面积为定值.

【点睛】方法定睛：求解定值问题的三个步骤

(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；

(2)证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；

(3)得出结论．

22．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若函数有两个零点（其中），且不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；

（2）根据题意可得有两个正根，换元令，分析可得有两个正根，换元令，整理分析可得在时恒成立，故而令，继而转化为利用导数求解函数的最值问题，结合分类讨论，即可求得答案.

【详解】（1）∵，则，

可得，

即切点坐标为，切线斜率，

故切线方程为，即.

（2）∵，

令，可得，

故函数有两个零点等价于有两个正根，

令，则，

等价于有两个正根，

∵当时恒成立，

故在上单调递增，

对于，由，可得，

可得，可得，

令，由，可得，

由，整理可得，

由于恒成立，

等价于当时恒成立，

等价于当时恒成立，

令，则，

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

则有当时，．

（i）当时，当时，，

所以在上单调递增，则有，符合题意。

（ⅱ）当时，由于，且，，

所以存在唯一的 使得，

所以当时，，则在上单调递减，

所以，不符合题意.

综上，不等式恒成立，则 .

【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围．

(2)函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解．