2023届宁夏银川一中、云南省昆明市第一中学高三联合考试一模数学（文）试题含解析

2023届宁夏银川一中、云南省昆明市第一中学高三联合考试一模数学（文）试题

一、单选题

1．设全集，若集合满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由补集运算得出集合，再由元素与集合的关系判断.

【详解】因为全集，，所以.

根据元素与集合的关系可知，ABD错误，C正确.

故选：C

2．复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的乘法运算得，即可求得模长.

【详解】因为，所以.

故选：B.

3．下列判断不正确的是（    ）

A．“若，互为相反数，则”是真命题

B．“，”是特称命题

C．若，则x，y都不为0

D．“且”是“”的充要条件

【答案】D

【分析】根据命题的相关概念和充分、必要条件逐项分析判断.

【详解】对A：若，互为相反数，则，即，

故“若，互为相反数，则”是真命题，A正确；

对B：“，”含有存在量词，

故“，”是特称命题，B正确；

对C：若，则且，即x，y都不为0，

故若，则x，y都不为0，C正确；

对D：若“且”，则“”，

但“”，不一定能得到“且”，例如，

故“且”是“”的充分不必要条件，D不正确.

故选：D.

4．已知向量，，，且，则实数为（    ）

A．-4 B．-3 C．4 D．3

【答案】A

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.

【详解】，

由于，

所以.

故选：A

5．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较函数值的大小即可.

【详解】因为，所以；又，所以；又，所以，

故可得.

故选：B.

6．已知双曲线：，则的焦点到其渐近线的距离为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】求出双曲线的焦点坐标及渐近线方程，根据双曲线的对称性取其中一个焦点坐标和一条渐近线即可，根据点到直线的距离公式求出结果即可．

【详解】由题知双曲线的标准方程为，

所以其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，

又根据双曲线的对称性，

不妨取焦点到渐近线方程为的距离，

故的焦点到其渐近线的距离为．

故选：A．

7．考查棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到如表数据：

根据以上数据，则（    ）A．种子是否经过处理决定是否生病

B．种子是否经过处理跟是否生病无关

C．种子是否经过处理跟是否生病有关

D．以上都是错误的

【答案】C

【分析】根据表格提供的数据作出判断.

【详解】由列联表中的数据可知，

种子经过处理，得病的比例明显降低，

种子未经过处理，得病的比例要高些，

所以可得结论：种子是否经过处理跟是否生病有关.

故选：C

8．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先由周期大于等于单调区间的长度的2倍，求得的初步范围，然后结合余弦函数的单调性进一步确定的范围，得到答案.

【详解】由题意有，可得，又由，必有，可得.

故选：A

9．执行如图所示程序框图，则输出的（    ）

A．501 B．642 C．645 D．896

【答案】B

【分析】根据框图，逐一写出各个循环的运算结果，直到s>500，跳出循环，得到输出值.

【详解】s=0,m=1;

s=0+1×21=2，m=1+1=2,s≤500；

s=2+2×22=10，m=2+1=3,s≤500；

s=10+3×23=34,m=3+1=4, s≤500；

s=34+4×24=98,m=4+1=5, s≤500；

s=98+5×25=258,m=5+1=6, s≤500；

s=258+6×26=642，m=6+1=7, s>500；

结束循环，输出s=642.

故选:B.

【点睛】本题考查程序框图的输入输出值的确定，涉及循环结构，根据程序逐行模拟运算即得.

10．在的条件下，目标函数的最大值为，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线，找出使得取得最大值时的最优解，代入目标函数可得，然后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】不等式组所表示的可行域如下图所示：

联立，解得，可得点，

平移直线，当直线经过可行域的顶点时，该直线在轴上的截距最大，

此时，取最大值，即，可得，

，

，当且仅当时，等号成立.

因此，的最小值为.

故选：D.

【点睛】本题考查利用线性规划求参数，同时也考查了利用基本不等式求代数式的最值，考查数形结合思想的应用以及计算能力，属于中等题.

11．已知在直三棱柱中，，，若该棱柱的外接球的表面积为，则三棱柱的体积为（　　）

A．4 B． C．8 D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理，可求解外接圆的半径，利用外接球的表面积，可得外接球的半径，借助勾股定理，可得，利用三棱柱体积公式，即得解

【详解】在中，，，所以，

则其外接圆的半径，

因为外接球的表面积为，所以外接球的半径，

由，得．

则．

故选：B

12．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据所给方程，求出,，根据关于的方程恰有5个不同的实根，借助于图像可知的取值范围.

【详解】，

，

，

或.

作出函数的图像如图所示，

由图知的图像与有两个交点，

若关于的方程恰有5个不同的实根，则的图像与有三个公共点，所以的取值范围.

故选：D.

二、填空题

13．人体的正常温度大约是36℃，当人体温度超过正常温度的时认定为高烧，则高烧温度℃应满足的不等关系式是_________.

【答案】

【分析】根据题目所给已知条件列出不等关系式.

【详解】依题意，.

故答案为：

14．如图两个同心圆，大圆的半径是小圆半径的两倍，在大圆内随机取一点，则此点取白阴影部分的概率是_________.

【答案】##

【分析】先分别求解两个圆的面积，利用几何概型可得概率.

【详解】设小圆半径为，则大圆半径为，

小圆的面积为，大圆的面积为，

所以在大圆内随机取一点，则此点取白阴影部分的概率是.

故答案为：.

15．在中，角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数，且，则______.

【答案】8

【解析】根据大边对大角，可得, 可设,由已知条件，利用正弦的二倍角公式和正余弦定理得到关于的方程求解即可.

【详解】由题意可得,,又角A，B，C的对边a，b，c为三个连续偶数，

故可设

由

,,

由余弦定理得.

所以,即

解得,故.

故答案为：.

【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，关键是熟练使用二倍角公式，正弦定理角化边，正余弦定理联立得到方程求解.

16．椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________.

【答案】

【分析】根据已知条件求得，根据直线与轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.

【详解】依题意，，解得，

所以椭圆的方程为，

由于，，

所以是等腰直角三角形，

所以，

直线的方程为，直线的方程为，

设直线与的交点为，与轴的交点为，

①当与重合时，，则，

所以，解得.

②当在之间时，，

所以，

由解得，，

由令，得，

所以，所以，

整理得，由解得.

③当在左侧，则，，

设直线与的交点为，

由解得，

因为，

所以，

，所以，

所以，

所以.

综上所述，的取值范围是.

故答案为：

【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据已知条件求得，是个未知数，需要个条件，其中一个条件是，另外的两个条件由题目给出，如本题中的点坐标以及离心率，通过解方程组可求得，进而求得椭圆的方程.

三、解答题

17．设是正项等差数列，，且成等比数列.

(1)求的通项公式；

(2)记的前项和为，且，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；

（2）由（1）求，再根据裂项相消法求和.

【详解】（1）设正项等差数列的公差为，则，

由题意，可得，即，

解得或（舍去），

故.

（2）由（1），可得，则，

故，

即.

18．如图，圆锥SO的侧面展开图是半径为2的半圆，AB，CD为底面圆的两条直径，P为SB的中点.

(1)求证：平面PCD；

(2)当体积最大时，求S到平面PCD的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接OP，利用中位线定理可证OP∥SA，由线面平行的判定定理证明即可；

（2）由题意，建立空间直角坐标系，利用向量求解点到平面距离.

【详解】（1）证明：连接OP，如图所示，

因为O为AB的中点，P为SB的中点，

则，又平面，平面，

所以平面.

（2）记底面圆半径为r，侧面展开图半径为R，则R=2，

又，所以， ，

当体积最大时，，

以O为原点，OD，OB，OS为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

所以，，，，

  ， ， ，

设平面PCD的法向量为 ，

因为 ，令，，，

所以， ，

所以点S到平面PCD的距离

19．2002年8月国家通过修订《中华人民共和国水法》来保护水资源，加强人们保护水资源，防治水污染，节约用水等意识.小明为了了解本市市民保护水资源，节约用水意识是否落地，随机抽取了300名市民进行节约用水调查评分，将得到的分数分成6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求的值，并估计这300名市民评分的中位数；

(2)若先用分层抽样的方法从评分在和的市民中抽取5人，然后再从抽出的这5位市民中任意选取2人作进一步访谈：

①写出这个试验的样本空间；

②求这2人中至少有1人的评分在的概率.

【答案】(1)，中位数是

(2)①详见解析；②

【分析】（1）根据频率之和为求得，根据中位数的求法求得中位数.

（2）①先根据分层抽样的知识求得每组抽取的人数，然后利用列举法求得样本空间.

②根据古典概型概率计算公式求得这2人中至少有1人的评分在的概率.

【详解】（1）依题意，，

解得.

，故中位数是、

（2）①的频率为，的频率为，

所以在的市民中抽取人，记为，

在的市民中抽取人，记为，

从中抽取人 ，

样本空间为.

②这2人中至少有1人的评分在的包含个基本事件，

即，

所以这2人中至少有1人的评分在的概率为.

20．已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)在单调递增，在单调递减

(2)

【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义，分析导函数的符号即可；

（2）利用导函数研究单调性，结合零点存在性定理求解即可.

【详解】（1）当，，则，

令解得，令解得，

所以在单调递增，在单调递减.

（2）由题意可得，，

当时，恒成立，单调递增，故至多有一个零点，不符合题意，

所以，由解得，由解得，

所以在单调递增，在单调递减，

所以由零点存在性定理可得若有两个零点，则，即，

令，由（1）得在单调递增，在单调递减，

又，所以由解得，

因为，

所以由的在和之间存在一个零点，又，

所以的取值范围为.

21．已知点F为抛物线E：（）的焦点，点P（−3，2），，若过点P作直线与抛物线E顺次交于A，B两点，过点A作斜率为1的直线与抛物线的另一个交点为点C．

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)求证：直线BC过定点；

(3)若直线BC所过定点为点Q，△QAB，△PBC的面积分别为S1，S2，求的取值范围

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用表示出，化简即可求出答案.

（2）设出直线，联立直线与抛物线，利用韦达定理则可表示出两点的关系.再由点写出直线，联立直线与抛物线，利用韦达定理则可表示出两点的关系.写出直线的方程，根据两个关系式消掉点，则可得出结论.

（3）将、用点表示出来，再利用韦达定理用直线的斜率表示出，最后化简即可得出答案.

【详解】（1）焦点，∵，∴

抛物线E的标准方程为

（2）显然．直线斜率存在，设的方程为

由，化简得：，

设，则，

∴      ①

直线的方程为，

由化简得：，

设则      ②

由①②得，∴      ③

（ⅰ）若直线没有斜率，则，又，∴，∴，

∴的方程为．

（ⅱ）若直线有斜率，为，

直线的方程为，即，

将③代入得，∴，

故直线有斜率时过点．

由（ⅰ）（ⅱ）知，直线过点．

（3）

由（2）得，

，∴，且，

设，

∵，且，∴∴，

故的取值范围是．

【点睛】本题考查抛物线的标准方程、直线过定点.属于难题.其中证明直线过定点，寻找坐标之间的关系进行消元是解题的关键.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为()，射线的极坐标方程为.

（1）指出曲线的曲线类型，并求其极坐标方程；

（2）若射线与曲线交于，两点，射线与曲线交于，两点，求的面积的取值范围.

【答案】（1）曲线是以为圆心，2为半径的圆，曲线的极坐标方程为；（2）.

【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系消参得到普通方程，得到曲线类型，并利用极直互化公式化为极坐标方程；

（2）利用极坐标方程，根据极径的意义求得关于的三角函数表达式，利用三角形的面积公式求得面积关于的三角函数表达式，并化简为一角一函的形式，然后利用三角函数的性质求得取值范围.

【详解】（1）曲线的普通方程为，

所以曲线是以为圆心，2为半径的圆，

其方程可化为，

所以曲线的极坐标方程为.

（2）设，

.

所以

.

当时，，所以，

所以的面积的取值范围是.

23．已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若不等式恒成立，求的最大值.

【答案】（1）；（2）最大值为.

【分析】（1）利用绝对值的性质将函数写成分段表达式，然后分段求解不等式，再求并集得到不等式的解集.

（2）分离参数后，利用绝对值三角形不等式的性质求得相应最小值，即得λ的最大值.

【详解】（1）当时，

当时，，原不等式恒成立；

当时，由得，所以；

当时，由得.

综上所述，不等式的解集为.

（2）由得，

所以.

由得，

当或时等号成立.

因此，的最大值为.