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2023年中考第一次模拟考试卷数学（广东卷）（全解全析）
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这是一份2023年中考第一次模拟考试卷数学（广东卷）（全解全析），共19页。试卷主要包含了选择题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学第一次模拟考试卷
数 学
第Ⅰ卷
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
B
D
B
B
D
A
D
D
B
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．12 C．−12 D．-2
【答案】A
【解析】【解答】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，
故答案为：A．
【分析】根据有理数的绝对值的定义，即可求解.
2．（3分）下列各对数中，是互为相反数的是（ ）
A．－3与－3 B．(−3)2 与 −32
C．－3与－|-3| D．(−3)3 与 −33
【答案】B
【解析】【解答】解：A、－3与－3不是互为相反数，故A错误；
B、 (−3)2=9 ， −32=−9 ，则 (−3)2 与 −32 互为相反数，故B正确；
C、 −|−3|=−3 ，则－3与－|-3|不是互为相反数，故C错误；
D、 (−3)3=−27 ， −33=−27 ，则 (−3)3 与 −33 不是互为相反数，故D错误；
故选择B.
【分析】利用有理数的乘方，绝对值的性质先将各数化简，然后利用相反数的定义进行判断即可.
3．（3分）同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：当a＞0时，二次函数y=（x-a）2的顶点坐标在x轴的正半轴；y=a+ax的图像经过第一，二，三象限，
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当a＞0和a＜0，二次函数的顶点坐标所在的位置及一次函数图象经过的象限，即可得出答案。
4．（3分）如图，点 D 在 BA 的延长线上， AE∕∕BC .若 ∠DAC=100° ， ∠B=65° ，则 ∠EAC 的度数为（ ）
A．65° B．35° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE=65°，
又∵∠DAC=100°，
∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=100°-65°=35°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠B=∠DAE=65°，然后根据∠EAC=∠DAC-∠DAE进行计算.
5．（3分）如图，在 △ABC 中， ∠C=90° ， AB=13 ， AC=5 ，D、E分别是 AC 、 AB 的中点，则 DE 的长是（ ）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．1192
【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理得： BC=AB2−AC2=12 ，
∵D、E分别是 AC 、 AB 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
则 DE=12BC=6 ，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得BC的长度，由三角形中位线定理可得DE=12BC，据此即可得出答案.
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 A,C 在 x 轴上，点 C 的坐标为 (−1,0),AC=2 .将 RtΔABC 先绕点 C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点 A 的对应点坐标是( )
A．(−1,2) B．(−4,2) C．(3,2) D．(2,2)
【答案】D
【解析】【解答】将 RtΔABC 先绕点 C 顺时针旋转90°，得到点坐标为 A′ (-1,2),再向右平移3个单位长度，则 A′ 点的纵坐标不变，横坐标加上3个单位长度，故变换后点 A 的对应点坐标是 A′′ (2,2).
【分析】先求出A点绕点 C 顺时针旋转90°后所得到的的坐标 A′ ，再求出 A′ 向右平移3个单位长度后得到的坐标 A′′ ， A′′ 即为变换后点 A 的对应点坐标.
7．（3分）在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中红球2个，白球3个．搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是红球的概率为（ ）
A．25 B．35 C．45 D．310
【答案】A
【解析】【解答】解：∵共有5个球，其中红球有2个，
∴P（摸到红球）=25，
故答案为：A．
【分析】利用概率公式求解即可。
8．（3分）如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的周长为13cm及AC=4cm得出AD+DC=13-4=9cm，根据平行四边形的对边相等得出AB=CD，AD=BC，从而得出答案。
9．（3分）已知（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=−4x的图象上的三个点，并且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是
( )
A．y1＜y2＜y3， B．y2＜y3＜y1，
C．y3＜y2＜y1， D．y3＜y1＜y2，
【答案】D
【解析】∵k=-4＜0，∴图象的分支在二、四象限，
∵在第四象限的函数值总小于在第二象限的函数值，∴y3最小，
∵在同一象限内，y随x的增大而增大，x1＜x2＜0，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2，．
选D
10．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为（ ）
A．−162n B．82n−1 C．−12n−4 D．不确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1= 12AC，
∴△BA1B1∽△BAC，
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 14 ，
又∵四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16，
∴SA1B1C1D1= 12 ×16，
∴四边形AnBnCnDn的面积=16× 12n = 82n−1 ．
【分析】根据三角形中位线定理得A1B1=12AC，△BA1B1∽△BAC，进而利用相似三角形的性质得△BA1B1和△BAC的面积比等于14.再求得四边形ABCD的面积是16，可得四边形A1B1C1D1=14 ×16，
……，故四边形AnBnCnDn的面积=16×12n=162n=82n−1.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：tan30° cos30°（用“＞”或“＜”填空）
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵tan30°＝ 33 ，cos30°= 32 ， 33 ＜ 32 ，
∴tan30°＜cos30°，
故答案为：＜.
【分析】求出tan30°和cos30°的值，再比较即可.
12．（3分）要使代数式 x2−2kxy−3y2+12xy−100 中，不含xy的项，则k的值是 .
【答案】14
【解析】【解答】原式= x2−3y2+(12−2k)xy−100
∵不含xy的项
∴12−2k=0
解得 k=14
故答案为： 14 .
【分析】先对原式进行合并同类项，然后根据“不含xy的项”说明xy这一项的系数为0即可求出k的值.
13．（3分）若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3：1，则菱形的高是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：如图，作菱形ABCD的高AE．
∵菱形ABCD的周长为8，
∴菱形的边长为8÷4=2，
∵相邻两内角之比是3：1，
∴∠B=180°×13+1=45°，
∴AE=AB•sin∠B=2×22=2．
故答案为2．
【分析】作菱形ABCD的高AE．根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长，再根据邻角互补求出较小的内角∠B为45°，然后利用正弦函数的定义求出AE=AB•sin∠B=2×22=2．
14．（3分）写出一个一元二次方程，使其有一个根为1，并且二次项系数也为1，方程为 ．
【答案】答案不唯一，如x2＝1
【解析】【解答】解：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（k≠0），一个二次项系数为1，即a=1，并且一个根也为1，可令b=0，c=－1，这样的一元二次方程是x2＝1．
故答案为：答案不唯一，如x2＝1．
【分析】开放性的命题，答案不唯一：根据一元二次方程根的定义及一元二次方程的相关概念即可写出答案.
15．（3分）太极推盘是一种常见的健身器材（如图1），转动两个圆盘便能锻炼身体.取推盘上半径均为0.4米的圆A与圆B（如图2）且AB=1米，圆A绕圆心A以2°每秒的速度逆时针旋转，圆B绕圆心B以2°每秒的速度顺时针旋转.开始转动时圆A上的点C恰好落在线段AB上，圆B上的点D在AB下方且满足∠DBA=60°，则在两圆同时开始转动的30秒内，CD的最小值是 米.
【答案】0.5
【解析】【解答】解：连接CD，以AC、CD为邻边构造平行四边形ACDE，过D作AB的平行线MN，
设∠CAB=2t°，由题意得∠ABD=60°-2t°，
∴∠MDE=∠CAB=2t°，∠BDM=180°- ∠ABD=120°+2t°，
∴∠BDE=120°+2t°+2t°=120°+4t°，
又DE=AC=DB，
∴∠EBD=∠BED=180°−∠BDE2=30°-2t°，
∴∠EBA=30°，
∴当AE⊥EB时，CDmin=AEmin=AB÷2=0.5(米).
故答案为：0.5.
【分析】连接CD，以AC、CD为邻边构造平行四边形ACDE，过D作AB的平行线MN，设∠CAB=2t°，由题意得∠ABD=60°-2t°，则∠MDE=∠CAB=2t°，∠BDM=120°+2t°，∠BDE=120°+4t°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EBD=∠BED=30°-2t°， 则∠EBA=30°，据此解答.
三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）（8分）
16.（1）计算：−22+(13)−1−2cos60°+|−3|；
（2）解不等式组：2x+5<4(x+2)x−1<23x．
【答案】（1）解：原式=−4+3−2×12+3=1
（2）解：2x+5<4(x+2)①x−1<23x②
解不等式①，得x>−32；
解不等式②，得x<3．
∴原不等式组的解集是−32
（2）首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
17．（8分）先化简，再求值：(1−n+1m+1)÷m2−2mn+n22m−2n，其中m=2−1.
【答案】解：(1−n+1m+1)÷m2−2mn+n22m−2n
=m+1−n−1m+1×2(m−n)(m−n)2
=m−nm+1×2(m−n)(m−n)2
=2m+1.
当m=2−1时，原式=22+1−1=22=2.
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将m的值代入进行计算.
18．（8分）已知：如图，在 ABCD中，E为边CD的中点，联结AE并延长，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）如果∠B+∠AFB=90°，求证：四边形ACFD是菱形．
【答案】（1）证明：在□ABCD中，AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中， ∠AED=∠FEC∠ADE=∠FCEDE=CE ，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD=FC．
又∵AD∥FC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（2）解： 在△ABF中，
∵∠B+∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CEF=∠BAF=90°，
∵四边形ACDF是平行四边形，
∴四边形ACDF是菱形
【解析】【分析】（1）运用平行四边形性质求得∠ADC=∠FCD，根据中点得出DE=EC，所以可以求证△ADE和△FDE全等，根据平行四边形判定定理得出答案。
（2）根据题目条件可得∠BAF=90°，由平行四边形的性质，求得∠CEF=90°，根据菱形的判定定理证得四边形ACDF为菱形。
四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，满分27分）
19．（9分）无人机在实际生活中应用广泛.如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A，B，C，D、P在同一平面内）.
（1）填空：∠APD= 度，∠ADC= 度；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面BC的高度.
【答案】（1）75；60
（2）解：由题意得：AE=BC=100米，EC=AB=10.
在Rt△AED中，∠DAE=30°，
∴DE=AE⋅tan30°=100×33=10033，
∴CD=DE+EC=10033+10
∴楼CD的高度为(10033+10)米.
（3）解：作PG⊥BC于点G，交AE于点F，
则∠PFA=∠AED=90°，FG=AB=10
∵MN∥AE，
∴∠PAF=∠MPA=60°.
∵∠ADE=60°，
∴∠PAF=∠ADE.
∵∠DAE=30°，
∴∠PAD=30°.
∵∠APD=75°，
∴∠ADP=75°.
∴∠ADP=∠APD.
∴AP=AD.
∴△APF≌△DAE（AAS）.
∴PF=AE=100.
∴PG=PF+FG=100+10=110
∴无人机距离地面BC的高度为110米.
【解析】【解答】(1)过点A作AE⊥DC于点E，（
由题意得：∠MPA=60°，∠NPD=45°，∠DAE=30°，
∴∠APD=180°−∠MPA−∠NPD=75°
∠ADC=90°−∠DAE=60°
20．（9分）为了巩固脱贫攻坚成效，助推乡村振兴，最近市委市政府又出台了系列“惠农”政策，农民收入大幅增加，万秀村某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本为5元/克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克，设当天销售单价统一为 x 元/千克（ x≥6 ，且 x 是0.5的整数倍），在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5千克，当天的销售利润为 y 元. （1）（3分）求 y 与 x 之间的函数关系式，不要求写出自变量 x 的取值范围；
（2）（3分）若物价部门核定该产品的利润率不得超过80%，该产品的售价定为多少元时，才能使当天获得最大利润？最大利润是多少？
（3）（3分）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围.
【答案】（1）解：根据题意可直接列出 y=(x−5)(100−x−60.5×5) ，
整理得： y=−10x2+210x−800 .
（2）解：根据题意可知 (x−5)5×100%≤80% ，
解得： x≤9 .
即 6≤x≤9 ，且x为0.5的整数倍.
将 y=−10x2+210x−800 改为顶点式为 y=−10(x−10.5)2+302.5 .
∴当 6≤x≤9 时，y随x的增大而增大.
∴当 x=9 时，y取最大值，此时最大值为 y=−10×(9−10.5)2+302.5=280 .
故售价为9元/千克时，当天最大利润为280元.
（3）解：当 y=240 时， −10x2+210x−800=240 ，
解得： x1=8，x2=13 .
∵二次函数 y=−10x2+210x−800 中 a=−10<0 ，对称轴为 x=10.5 ，
又∵x1=8<10.5
故当天销售单价所在的范围是8元/千克～13元/千克（且销售单价为0.5元/千克的整数倍）.
【解析】【分析】（1）根据题意即可直接得出y与x的函数关系式.（2）根据题意可列出关于x的不等式，解出x的解集，再结合题意即得出x的取值范围.最后结合二次函数的图象和性质即得出结果.（3）先求出 y=240 时，x的值，再结合二次函数的图象和性质，即可求出结果.
21．（9分）现在购物时常用的支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．某数学兴趣小组随机调查了某社区部分居民的常用支付方式，得到两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的居民总人数是 人，扇形统计图中“方式A”所对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）若该社区有2600名居民，请估计使用A和B两种支付方式的居民共有多少名？
【答案】（1）200；108 补全条形统计图如下：
（2）解：2600× 60+56200 ＝1508（人），
答：该社区有2600名居民中使用A和B两种支付方式的大约有1508名．
【解析】【解答】解：（1）调查总人数：56÷28%＝200（人），
使用“方式D”的人数：200×20%＝40（人），
使用“方式A”的人数：200﹣40﹣56﹣44＝60（人），
使用“方式A”所对应的圆心角为：360°× 60200 ＝108°，
故答案为：200，108，补全条形统计图如下：
【分析】（1）从两个统计图中可知使用方式B支付的有56人，占调查人数的28%，可求出调查人数，进而求出使用方式D和方式A的人数，从而计算出方式A所对应的圆心角度数，补全条形统计图即可；
（2）求出使用A和B两种支付方式的居民占调查人数的百分比即可。
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣ 12x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A（4，0），C（0，2）代入y＝﹣ 12 x2+bx+c得：
−8+4b+c=0c=2 ，
解得： b=32c=2 ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ 12 x2+ 32 x+2．
（2）解：如图1，过点E作EF∥y轴交AC于点F，
设直线AC的解析式为y＝kx+2，
∴4k+2＝0，
∴k＝﹣ 12 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣ 12 x+2，
设点E（x，﹣ 12 x2+ 32 x+2），则F（x，﹣ 12 x+2），
则EF＝﹣ 12 x2+ 32 x+2﹣（﹣ 12 x+2）＝﹣ 12 x2+2x，
∴S△ACE＝S△CEF+S△AEF＝ 12 EF•OA＝ 12 （﹣ 12 x2+2x）×4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，S△ACE取得最大值4．
（3）解：如图2中，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到AC′，则C′（2，﹣4），取CC′的中点H（1，﹣1），作直线AH交抛物线于P，此时∠PAC＝45°，
∵A（4，0），H（1，﹣1），
∴直线AH的解析式为y＝ 13 x﹣ 43 ，
由 y=13x−43y=−12x2+32x+2 ，解得 x=4y=0 或 x=−53y=−179 ，
∴P（ −53 ， −179 ）．
作直线AP′⊥PA，则直线AP′的解析式为y＝﹣3x+12，
由 y=13x−43y=−12x2+32x+2 ，解得 x=4y=0 或 x=5y=−3 （不合题意舍弃），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣ 53 ，﹣ 179 ）
【解析】【分析】（1）将点A、C代入表达式求解即可；（2）设点E的坐标，再用割补法表示出三角形的面积，转化为二次函数的问题求解；（3）根据题意，先求出直线AH的解析式，再将一次函数与二次函数结合求解即可。
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求FHAF的值.
【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠COE=OCOE=1.5x2.5x=35；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴.EC=OE2−OC2=(2.5x)2−(1.5x)2=2x，，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHAF=CEAE=2x4x=12.
【解析】【分析】 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠CAO＝∠ACO，根据角平分线的概念可得∠DAC＝∠OAC，则∠DAC＝∠ACO，推出AD∥OC，结合CD⊥AD可得OC⊥CD，据此证明；
（2）设BE＝x，则AB＝3x，OC＝OB＝1.5x，根据平行线的性质可得∠COE＝∠DAB，然后根据三角函数的概念进行计算；
（3）由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，利用勾股定理得EC，根据同角的余角相等得∠E=∠AFH，证明△AHF∽△ACE，然后根据相似三角形的性质进行解答.
2023年中考数学第一次模拟考试卷
数 学
第Ⅰ卷
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A
B
D
B
B
D
A
D
D
B
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．12 C．−12 D．-2
【答案】A
【解析】【解答】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，
故答案为：A．
【分析】根据有理数的绝对值的定义，即可求解.
2．（3分）下列各对数中，是互为相反数的是（ ）
A．－3与－3 B．(−3)2 与 −32
C．－3与－|-3| D．(−3)3 与 −33
【答案】B
【解析】【解答】解：A、－3与－3不是互为相反数，故A错误；
B、 (−3)2=9 ， −32=−9 ，则 (−3)2 与 −32 互为相反数，故B正确；
C、 −|−3|=−3 ，则－3与－|-3|不是互为相反数，故C错误；
D、 (−3)3=−27 ， −33=−27 ，则 (−3)3 与 −33 不是互为相反数，故D错误；
故选择B.
【分析】利用有理数的乘方，绝对值的性质先将各数化简，然后利用相反数的定义进行判断即可.
3．（3分）同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：当a＞0时，二次函数y=（x-a）2的顶点坐标在x轴的正半轴；y=a+ax的图像经过第一，二，三象限，
故答案为：D.
【分析】分情况讨论：当a＞0和a＜0，二次函数的顶点坐标所在的位置及一次函数图象经过的象限，即可得出答案。
4．（3分）如图，点 D 在 BA 的延长线上， AE∕∕BC .若 ∠DAC=100° ， ∠B=65° ，则 ∠EAC 的度数为（ ）
A．65° B．35° C．30° D．40°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE=65°，
又∵∠DAC=100°，
∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=100°-65°=35°.
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠B=∠DAE=65°，然后根据∠EAC=∠DAC-∠DAE进行计算.
5．（3分）如图，在 △ABC 中， ∠C=90° ， AB=13 ， AC=5 ，D、E分别是 AC 、 AB 的中点，则 DE 的长是（ ）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．1192
【答案】B
【解析】【解答】解：由勾股定理得： BC=AB2−AC2=12 ，
∵D、E分别是 AC 、 AB 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线，
则 DE=12BC=6 ，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理可得BC的长度，由三角形中位线定理可得DE=12BC，据此即可得出答案.
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点 A,C 在 x 轴上，点 C 的坐标为 (−1,0),AC=2 .将 RtΔABC 先绕点 C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点 A 的对应点坐标是( )
A．(−1,2) B．(−4,2) C．(3,2) D．(2,2)
【答案】D
【解析】【解答】将 RtΔABC 先绕点 C 顺时针旋转90°，得到点坐标为 A′ (-1,2),再向右平移3个单位长度，则 A′ 点的纵坐标不变，横坐标加上3个单位长度，故变换后点 A 的对应点坐标是 A′′ (2,2).
【分析】先求出A点绕点 C 顺时针旋转90°后所得到的的坐标 A′ ，再求出 A′ 向右平移3个单位长度后得到的坐标 A′′ ， A′′ 即为变换后点 A 的对应点坐标.
7．（3分）在不透明口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球，其中红球2个，白球3个．搅拌均匀后，随机抽取一个小球，是红球的概率为（ ）
A．25 B．35 C．45 D．310
【答案】A
【解析】【解答】解：∵共有5个球，其中红球有2个，
∴P（摸到红球）=25，
故答案为：A．
【分析】利用概率公式求解即可。
8．（3分）如图在▱ABCD中，已知AC=4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（ ）
A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm
【答案】D
【解析】【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC的周长为13cm，
∴AD+DC=13﹣4=9（cm）．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的周长为13cm及AC=4cm得出AD+DC=13-4=9cm，根据平行四边形的对边相等得出AB=CD，AD=BC，从而得出答案。
9．（3分）已知（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=−4x的图象上的三个点，并且x1＜x2＜0，x3＞0，则y1，y2，y3的大小关系是
( )
A．y1＜y2＜y3， B．y2＜y3＜y1，
C．y3＜y2＜y1， D．y3＜y1＜y2，
【答案】D
【解析】∵k=-4＜0，∴图象的分支在二、四象限，
∵在第四象限的函数值总小于在第二象限的函数值，∴y3最小，
∵在同一象限内，y随x的增大而增大，x1＜x2＜0，
∴y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2，．
选D
10．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为（ ）
A．−162n B．82n−1 C．−12n−4 D．不确定
【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1= 12AC，
∴△BA1B1∽△BAC，
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 14 ，
又∵四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16，
∴SA1B1C1D1= 12 ×16，
∴四边形AnBnCnDn的面积=16× 12n = 82n−1 ．
【分析】根据三角形中位线定理得A1B1=12AC，△BA1B1∽△BAC，进而利用相似三角形的性质得△BA1B1和△BAC的面积比等于14.再求得四边形ABCD的面积是16，可得四边形A1B1C1D1=14 ×16，
……，故四边形AnBnCnDn的面积=16×12n=162n=82n−1.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：tan30° cos30°（用“＞”或“＜”填空）
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵tan30°＝ 33 ，cos30°= 32 ， 33 ＜ 32 ，
∴tan30°＜cos30°，
故答案为：＜.
【分析】求出tan30°和cos30°的值，再比较即可.
12．（3分）要使代数式 x2−2kxy−3y2+12xy−100 中，不含xy的项，则k的值是 .
【答案】14
【解析】【解答】原式= x2−3y2+(12−2k)xy−100
∵不含xy的项
∴12−2k=0
解得 k=14
故答案为： 14 .
【分析】先对原式进行合并同类项，然后根据“不含xy的项”说明xy这一项的系数为0即可求出k的值.
13．（3分）若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3：1，则菱形的高是 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：如图，作菱形ABCD的高AE．
∵菱形ABCD的周长为8，
∴菱形的边长为8÷4=2，
∵相邻两内角之比是3：1，
∴∠B=180°×13+1=45°，
∴AE=AB•sin∠B=2×22=2．
故答案为2．
【分析】作菱形ABCD的高AE．根据菱形的四条边都相等求出菱形的边长，再根据邻角互补求出较小的内角∠B为45°，然后利用正弦函数的定义求出AE=AB•sin∠B=2×22=2．
14．（3分）写出一个一元二次方程，使其有一个根为1，并且二次项系数也为1，方程为 ．
【答案】答案不唯一，如x2＝1
【解析】【解答】解：一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（k≠0），一个二次项系数为1，即a=1，并且一个根也为1，可令b=0，c=－1，这样的一元二次方程是x2＝1．
故答案为：答案不唯一，如x2＝1．
【分析】开放性的命题，答案不唯一：根据一元二次方程根的定义及一元二次方程的相关概念即可写出答案.
15．（3分）太极推盘是一种常见的健身器材（如图1），转动两个圆盘便能锻炼身体.取推盘上半径均为0.4米的圆A与圆B（如图2）且AB=1米，圆A绕圆心A以2°每秒的速度逆时针旋转，圆B绕圆心B以2°每秒的速度顺时针旋转.开始转动时圆A上的点C恰好落在线段AB上，圆B上的点D在AB下方且满足∠DBA=60°，则在两圆同时开始转动的30秒内，CD的最小值是 米.
【答案】0.5
【解析】【解答】解：连接CD，以AC、CD为邻边构造平行四边形ACDE，过D作AB的平行线MN，
设∠CAB=2t°，由题意得∠ABD=60°-2t°，
∴∠MDE=∠CAB=2t°，∠BDM=180°- ∠ABD=120°+2t°，
∴∠BDE=120°+2t°+2t°=120°+4t°，
又DE=AC=DB，
∴∠EBD=∠BED=180°−∠BDE2=30°-2t°，
∴∠EBA=30°，
∴当AE⊥EB时，CDmin=AEmin=AB÷2=0.5(米).
故答案为：0.5.
【分析】连接CD，以AC、CD为邻边构造平行四边形ACDE，过D作AB的平行线MN，设∠CAB=2t°，由题意得∠ABD=60°-2t°，则∠MDE=∠CAB=2t°，∠BDM=120°+2t°，∠BDE=120°+4t°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠EBD=∠BED=30°-2t°， 则∠EBA=30°，据此解答.
三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，满分24分）（8分）
16.（1）计算：−22+(13)−1−2cos60°+|−3|；
（2）解不等式组：2x+5<4(x+2)x−1<23x．
【答案】（1）解：原式=−4+3−2×12+3=1
（2）解：2x+5<4(x+2)①x−1<23x②
解不等式①，得x>−32；
解不等式②，得x<3．
∴原不等式组的解集是−32
（2）首先分别求出两个不等式的解集，然后取其公共部分即为不等式组的解集.
17．（8分）先化简，再求值：(1−n+1m+1)÷m2−2mn+n22m−2n，其中m=2−1.
【答案】解：(1−n+1m+1)÷m2−2mn+n22m−2n
=m+1−n−1m+1×2(m−n)(m−n)2
=m−nm+1×2(m−n)(m−n)2
=2m+1.
当m=2−1时，原式=22+1−1=22=2.
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分子、分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将m的值代入进行计算.
18．（8分）已知：如图，在 ABCD中，E为边CD的中点，联结AE并延长，交边BC的延长线于点F．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）如果∠B+∠AFB=90°，求证：四边形ACFD是菱形．
【答案】（1）证明：在□ABCD中，AD∥BF．
∴∠ADC=∠FCD．
∵E为CD的中点，
∴DE=CE．
在△ADE和△FCE中， ∠AED=∠FEC∠ADE=∠FCEDE=CE ，
∴△ADE≌△FCE（ASA）
∴AD=FC．
又∵AD∥FC，
∴四边形ACFD是平行四边形．
（2）解： 在△ABF中，
∵∠B+∠AFB=90°，
∴∠BAF=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠CEF=∠BAF=90°，
∵四边形ACDF是平行四边形，
∴四边形ACDF是菱形
【解析】【分析】（1）运用平行四边形性质求得∠ADC=∠FCD，根据中点得出DE=EC，所以可以求证△ADE和△FDE全等，根据平行四边形判定定理得出答案。
（2）根据题目条件可得∠BAF=90°，由平行四边形的性质，求得∠CEF=90°，根据菱形的判定定理证得四边形ACDF为菱形。
四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，满分27分）
19．（9分）无人机在实际生活中应用广泛.如图8所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°.已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A，B，C，D、P在同一平面内）.
（1）填空：∠APD= 度，∠ADC= 度；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面BC的高度.
【答案】（1）75；60
（2）解：由题意得：AE=BC=100米，EC=AB=10.
在Rt△AED中，∠DAE=30°，
∴DE=AE⋅tan30°=100×33=10033，
∴CD=DE+EC=10033+10
∴楼CD的高度为(10033+10)米.
（3）解：作PG⊥BC于点G，交AE于点F，
则∠PFA=∠AED=90°，FG=AB=10
∵MN∥AE，
∴∠PAF=∠MPA=60°.
∵∠ADE=60°，
∴∠PAF=∠ADE.
∵∠DAE=30°，
∴∠PAD=30°.
∵∠APD=75°，
∴∠ADP=75°.
∴∠ADP=∠APD.
∴AP=AD.
∴△APF≌△DAE（AAS）.
∴PF=AE=100.
∴PG=PF+FG=100+10=110
∴无人机距离地面BC的高度为110米.
【解析】【解答】(1)过点A作AE⊥DC于点E，（
由题意得：∠MPA=60°，∠NPD=45°，∠DAE=30°，
∴∠APD=180°−∠MPA−∠NPD=75°
∠ADC=90°−∠DAE=60°
20．（9分）为了巩固脱贫攻坚成效，助推乡村振兴，最近市委市政府又出台了系列“惠农”政策，农民收入大幅增加，万秀村某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本为5元/克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克，设当天销售单价统一为 x 元/千克（ x≥6 ，且 x 是0.5的整数倍），在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5千克，当天的销售利润为 y 元. （1）（3分）求 y 与 x 之间的函数关系式，不要求写出自变量 x 的取值范围；
（2）（3分）若物价部门核定该产品的利润率不得超过80%，该产品的售价定为多少元时，才能使当天获得最大利润？最大利润是多少？
（3）（3分）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围.
【答案】（1）解：根据题意可直接列出 y=(x−5)(100−x−60.5×5) ，
整理得： y=−10x2+210x−800 .
（2）解：根据题意可知 (x−5)5×100%≤80% ，
解得： x≤9 .
即 6≤x≤9 ，且x为0.5的整数倍.
将 y=−10x2+210x−800 改为顶点式为 y=−10(x−10.5)2+302.5 .
∴当 6≤x≤9 时，y随x的增大而增大.
∴当 x=9 时，y取最大值，此时最大值为 y=−10×(9−10.5)2+302.5=280 .
故售价为9元/千克时，当天最大利润为280元.
（3）解：当 y=240 时， −10x2+210x−800=240 ，
解得： x1=8，x2=13 .
∵二次函数 y=−10x2+210x−800 中 a=−10<0 ，对称轴为 x=10.5 ，
又∵x1=8<10.5
故当天销售单价所在的范围是8元/千克～13元/千克（且销售单价为0.5元/千克的整数倍）.
【解析】【分析】（1）根据题意即可直接得出y与x的函数关系式.（2）根据题意可列出关于x的不等式，解出x的解集，再结合题意即得出x的取值范围.最后结合二次函数的图象和性质即得出结果.（3）先求出 y=240 时，x的值，再结合二次函数的图象和性质，即可求出结果.
21．（9分）现在购物时常用的支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．某数学兴趣小组随机调查了某社区部分居民的常用支付方式，得到两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的居民总人数是 人，扇形统计图中“方式A”所对应的圆心角是 度，并补全条形统计图；
（2）若该社区有2600名居民，请估计使用A和B两种支付方式的居民共有多少名？
【答案】（1）200；108 补全条形统计图如下：
（2）解：2600× 60+56200 ＝1508（人），
答：该社区有2600名居民中使用A和B两种支付方式的大约有1508名．
【解析】【解答】解：（1）调查总人数：56÷28%＝200（人），
使用“方式D”的人数：200×20%＝40（人），
使用“方式A”的人数：200﹣40﹣56﹣44＝60（人），
使用“方式A”所对应的圆心角为：360°× 60200 ＝108°，
故答案为：200，108，补全条形统计图如下：
【分析】（1）从两个统计图中可知使用方式B支付的有56人，占调查人数的28%，可求出调查人数，进而求出使用方式D和方式A的人数，从而计算出方式A所对应的圆心角度数，补全条形统计图即可；
（2）求出使用A和B两种支付方式的居民占调查人数的百分比即可。
五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣ 12x2+bx+c的图象经过点A（4，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点E是第一象限的抛物线上的一个动点．当△ACE面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）如图2，在抛物线上是否存在一点P，使∠CAP＝45°？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A（4，0），C（0，2）代入y＝﹣ 12 x2+bx+c得：
−8+4b+c=0c=2 ，
解得： b=32c=2 ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ 12 x2+ 32 x+2．
（2）解：如图1，过点E作EF∥y轴交AC于点F，
设直线AC的解析式为y＝kx+2，
∴4k+2＝0，
∴k＝﹣ 12 ，
∴直线AC的解析式为y＝﹣ 12 x+2，
设点E（x，﹣ 12 x2+ 32 x+2），则F（x，﹣ 12 x+2），
则EF＝﹣ 12 x2+ 32 x+2﹣（﹣ 12 x+2）＝﹣ 12 x2+2x，
∴S△ACE＝S△CEF+S△AEF＝ 12 EF•OA＝ 12 （﹣ 12 x2+2x）×4＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∵﹣1＜0，
∴当x＝2时，S△ACE取得最大值4．
（3）解：如图2中，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得到AC′，则C′（2，﹣4），取CC′的中点H（1，﹣1），作直线AH交抛物线于P，此时∠PAC＝45°，
∵A（4，0），H（1，﹣1），
∴直线AH的解析式为y＝ 13 x﹣ 43 ，
由 y=13x−43y=−12x2+32x+2 ，解得 x=4y=0 或 x=−53y=−179 ，
∴P（ −53 ， −179 ）．
作直线AP′⊥PA，则直线AP′的解析式为y＝﹣3x+12，
由 y=13x−43y=−12x2+32x+2 ，解得 x=4y=0 或 x=5y=−3 （不合题意舍弃），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣ 53 ，﹣ 179 ）
【解析】【分析】（1）将点A、C代入表达式求解即可；（2）设点E的坐标，再用割补法表示出三角形的面积，转化为二次函数的问题求解；（3）根据题意，先求出直线AH的解析式，再将一次函数与二次函数结合求解即可。
23．（12分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上的一点，CD⊥AD于点D，AD交⊙O于点F，连接AC，若AC平分∠DAB，过点F作FG⊥AB于点G交AC于点H.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）延长AB和DC交于点E，若AE＝4BE，求cos∠DAB的值；
（3）在（2）的条件下，求FHAF的值.
【答案】（1）证明：如图1，连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵AE＝4BE，OA＝OB，
设BE＝x，则AB＝3x，
∴OC＝OB＝1.5x，
∵AD∥OC，
∴∠COE＝∠DAB，
∴cos∠DAB=cos∠COE=OCOE=1.5x2.5x=35；
（3）解：由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，
∴.EC=OE2−OC2=(2.5x)2−(1.5x)2=2x，，
∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG+∠FAG＝90°，
∵∠COE+∠E＝90°，∠COE＝∠DAB，
∴∠E＝∠AFH，
∵∠FAH＝∠CAE，
∴△AHF∽△ACE，
∴FHAF=CEAE=2x4x=12.
【解析】【分析】 （1）连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠CAO＝∠ACO，根据角平分线的概念可得∠DAC＝∠OAC，则∠DAC＝∠ACO，推出AD∥OC，结合CD⊥AD可得OC⊥CD，据此证明；
（2）设BE＝x，则AB＝3x，OC＝OB＝1.5x，根据平行线的性质可得∠COE＝∠DAB，然后根据三角函数的概念进行计算；
（3）由（2）知：OE＝2.5x，OC＝1.5x，利用勾股定理得EC，根据同角的余角相等得∠E=∠AFH，证明△AHF∽△ACE，然后根据相似三角形的性质进行解答.
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