2023届上海市青浦区高三二模数学试题含解析

这是一份2023届上海市青浦区高三二模数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届上海市青浦区高三二模数学试题 一、填空题1．直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 __．【答案】平行或相交【分析】利用平面的基本性质求解即可.【详解】因为直线a，b确定一个平面，所以a，b的位置关系为平行或相交，故答案为：平行或相交2．已知复数满足（为虚数单位），则_______________.【答案】/【分析】根据复数的除法运算法则即可求得结果．【详解】，，故答案为：．3．已知向量，，则在方向上的投影是_______________.【答案】【分析】根据向量投影的知识求得正确答案.【详解】在方向上的投影是.故答案为：4．过点与直线垂直的直线方程为_______________.【答案】【分析】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得出所求直线的方程.【详解】设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，故所求直线方程为.故答案为：.5．已知集合，若，则实数的取值范围为___________.【答案】【分析】求函数的定义域求得集合，根据求得的取值范围.【详解】由解得，所以，由于，所以，所以的取值范围是.故答案为：6．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为______．【答案】【分析】设球的半径为,根据圆柱的体积可求得，利用球的表面积公式即可求得答案.【详解】设球的半径为,则圆柱的底面直径和高皆为，故圆柱的体积为，故球的表面积为 ，故答案为：7．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是_______________.【答案】【分析】根据图像判断出的关系，进而求得不等式的解集.【详解】根据函数的图像可知：，即，不等式可化为，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：8．已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则________.【答案】【分析】推导出函数为周期函数，且周期为，求出、、、，结合周期性可求得的值.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，因为，即，所以，函数为周期函数，且周期为，则，在等式中，令，可得，所以，，因为，则，因为，所以，.故答案为：.9．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及，则等于_________米.【答案】【分析】先求得，再利用余弦定理求得.【详解】，，在三角形中，由余弦定理得米.故答案为：10．已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是____.【答案】【分析】利用等差数列前项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】由题意数列的通项公式为，,满足，且对任意的恒成立，当时，显然不合题意，根据二次函数性质可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.11．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________．【答案】【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解【详解】设椭圆的半焦距为，如图，延长，与椭圆交于点L，连接，由，所以根据对称性可知，，设，则，，从而，故，在中，，所以，在中，，即，所以，所以，所以离心率，故答案为：12．已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为________.【答案】【分析】题中函数为圆的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一个只有唯一确定的与之对应，即图形与只有一个交点时旋转的角度符合题意.【详解】画出函数的图象，如图1所示：圆弧所在的圆方程为，，，在图象绕原点旋转的过程中，当从图1的位置旋转到点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：此时绕着原点旋转弧度为；若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点在轴上方，点在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：此时转过的角度为，不满足题意；若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：此时转过的角度为；故答案为：. 二、单选题13．设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（   ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据基底的知识确定正确答案.【详解】依题意，不共线，A选项，不存在使，所以和可以组成基底.B选项，不存在使，所以和可以组成基底.C选项，，所以和不能构成基底.D选项，不存在使，所以和可以组成基底.故选：C14．已知为正整数，则“是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的（   ）条件.A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据二项式展开式的通项公式以及充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】展开式的通项公式为，令，解得，所以，若的二项展开式中存在常数项，则是的倍数.所以“是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的充要条件.故选：C15．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元【答案】B【详解】试题分析：，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5【解析】线性回归方程 16．已知数列满足，存在正偶数使得，且对任意正奇数有，则实数的取值范围是（   ）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用累加法求出，对分为奇数、偶数两种情况讨论的单调性，结合能成立与恒成立的处理方法求出答案.【详解】当时，，所以，易得，当为奇数时，单调递减；当为偶数时，单调递增，又当为正偶数时，存在，即，所以，此时有，所以，又对于任意的正奇数，，即，所以或恒成立，所以或，综上，实数的取值范围是，故选：D． 三、解答题17．已知函数.(1)求函数的最小正周期及对称轴方程(2)求在上的值域.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）先利用倍角公式及辅助角公式变形化简，然后利用周期公式及正弦函数的性质求解即可；（2）通过的范围求出的范围，进而可求出的范围，则在上的值域可求.【详解】（1）由已知则函数的最小正周期为，令，得，即函数的对称轴方程为；（2）由（1），，，，，即在上的值域为.18．如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角，，为侧棱的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标徐，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】（1）解：因为是等腰直角三角形，且，则，因为在直三棱柱中，平面，因为平面，所以，，因为，、平面，故平面.（2）解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，易知平面的一个法向量为，，则，因此，二面角的正弦值为.19．在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.(1)求频率分布直方图中实数的值；(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.【答案】(1)，(2)(3)分布列详见解析，数学期望为 【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得.（2）根据古典概型的知识求得所求概率.（3）根据超几何分布的的知识求得分布列并求得数学期望.【详解】（1）.，解得.（2）已知抽取的学生有男生，则抽取的2人恰好为一男一女的概率为.（3）每天学习时间在和的学生比例为，所以在的学生中抽取人，在的学生中抽取人.再从这8人中选3人进行电话访谈，抽取的3人中每天学习时间在的人数的取值为，，，，所以的分布列如下：数学期望.20．如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．(1)若点的横坐标为，用表示线段的长；(2)若，求点的坐标；(3)证明：直线与抛物线相切．【答案】(1)(2)(3)证明见详解 【分析】（1）求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义将的长度转化成点到准线的距离即可；（2）设与直线，根据直线直线分别与抛物线相切，可将直线与抛物线方程联立得到判别式为0，进而得出的两根，结合韦达定理与可得即可求解；（3）根据题设，直线分别与抛物线相切，可将直线分别与抛物线联立得到等量关系，要证明直线与抛物线相切，最后再将直线与抛物线联立证明判别式为0即可．【详解】（1）设，且在抛物线上，故满足为抛物线的焦点，，抛物线的准线为 ，线段的长等于点到准线的距离，即．（2）设，显然直线的斜率存在且不为0，设直线，联立，化简得：，直线与抛物线相切，，即 ①，又直线均与抛物线相切，为方程①的两根，且有，，，解得，将代入得：，故的坐标为．（3）设，，，，直线，联立，化简可得：，又直线与抛物线相切，，即 ②，同理，直线与抛物线相切，可得③，由方程②③可得，为方程的两根，，，又，，故直线，联立，化简得：，，直线与抛物线相切，故得证．21．设是定义域为的函数，当时，.(1)已知在区间上严格增，且对任意，有，证明：函数在区间上是严格增函数；(2)已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数的值；(3)已知，且对任意，当时，有，证明：.【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可；（3）利用题目条件，代入，分情况进行讨论即可证明.【详解】（1）不妨设，在区间上严格增，对任意，有，又，函数在区间上是严格增函数；（2）由（1）可知：在区间上严格增时，在区间上是严格增，当在区间上严格减时，在区间上是严格减，又当时，函数取得极值，当时，函数也取得极值，可得，当时，，在左右附近两侧异号，满足条件，所以.（3）当时，由条件知，当时，对任意，有，即，又的值域是，，当时，对任意，有，，又的值域是，，综上可知，任意，.