2023届上海市闵行区高三二模数学试题含解析

2023届上海市闵行区高三二模数学试题

一、填空题

1．设全集，集合，则________．

【答案】

【分析】根据补集的含义即可得到答案.

【详解】由补集的含义得，

故答案为：.

2．若实数、满足、，则______________．

【答案】

【分析】根据指数式与对数式的关系，将转化为指数式，再根据指数运算公式求值.

【详解】由，得，

所以，

故答案为：.

3．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为_____________．

【答案】##

【分析】利用复数除法运算可求得，由虚部定义可得结果.

【详解】由得：，的虚部为.

故答案为：.

4．已知圆柱的底面积为9π，侧面积为12π，则该圆柱的体积为_____________．

【答案】18π

【分析】由圆柱的侧面积公式与圆面积公式求得底面半径和高，再由体积公式计算．

【详解】设圆柱底面半径为，高为，

由题意，解得，

所以体积为．

故答案为：．

5．已知常数，的二项展开式中项的系数是，则的值为_____________．

【答案】

【分析】根据二项展开式的通项公式确定特定项系数，进而确定的值.

【详解】由已知，则其展开式的通项为，

又其二项展开式中项的系数是，

则令，即，，

又，

所以，

故答案为：.

6．已知事件A与事件B互斥，如果，，那么_____________．

【答案】0.2##

【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式计算．

【详解】由题意．

故答案为：0.2.

7．今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．

【答案】12

【分析】先利用组合知识选出一个小组，剩下的一组就确定了，然后利用分步乘法原理即可求解.

【详解】从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有＝12种方法，

剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有1种方法，

根据分步计数原理得不同的分配方法共有×1＝12种.

故答案为：12.

8．_____________．

【答案】##

【分析】利用导数的定义及求导公式可得答案.

【详解】设函数，则；

.

故答案为：.

9．若关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】依题意在数范围内有解，令，，则问题转化为与有交点，求出的值域，即可求出参数的取值范围.

【详解】因为关于的方程在实数范围内有解，

即在实数范围内有解，令，，

则问题转化为与有交点，

因为与在定义域上单调递增，所以在上单调递增，

又，所以，

则.

故答案为：

二、解答题

10．已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则_____________．

【答案】

【分析】根据题意利用导数及韦达定理可得，的关系，后利用等比数列的性质可得答案.

【详解】由题意可得：，

则、是函数的零点，则，

且为等比数列，设公比为，

可得，解得，

注意到，可得.

故答案为：.

三、填空题

11．已知抛物线：，圆：，点M的坐标为，P、Q分别为、上的动点，且满足，则点P的横坐标的取值范围是_____________．

【答案】

【分析】求出圆的圆心、半径，设出点P的坐标，利用圆的性质得出，结合已知建立不等式，求解作答.

【详解】圆：的圆心，半径，设点，有，

依题意，，当且仅当三点共线时取等号，而，

即有，于是，

即，整理得，解得，

所以点P的横坐标的取值范围是.

故答案为：

12．平面上有一组互不相等的单位向量，，…，，若存在单位向量满足，则称是向量组，，…，的平衡向量．已知，向量是向量组，，的平衡向量，当取得最大值时，值为_____________．

【答案】

【分析】设，结合题意可得，为使最大，则两向量的方向相同，即两向量的方向相同，也即，设直线与直线交于点，再分如图所示两种情况讨论即可得解.

【详解】设，

由，得，即，

由题意可得，

即，即，

为使最大，则两向量的方向相同，即两向量的方向相同，

也即，所以，

设直线与直线交于点，

，

则，

因为，所以，

如图所示，

，

所以，

即，

如图所示，

，

所以，

即，

综上所述，.

故答案为：.

.

【点睛】关键点睛：设，结合题意可得，根据最大，说明两向量的方向相同，即，是解决本题的关键所在.

四、单选题

13．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用奇偶性的定义判断.

【详解】A. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；

B. 则为奇函数，故错误；

C. 定义域为R，且，则为偶函数，故错误；

D. 定义域为R，且，则既不是奇函数，也不是偶函数，故正确；

故选：D

五、多选题

14．在某区高三年级举行的一次质量检测中，某学科共有3000人参加考试．为了解本次考试学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为n．按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图所示）．已知成绩落在内的人数为16，则下列结论正确的是（    ）

A．样本容量

B．图中

C．估计全体学生该学科成绩的平均分为70.6分

D．若将该学科成绩由高到低排序，前15%的学生该学科成绩为A等，则成绩为78分的学生该学科成绩肯定不是A等

【答案】C

【分析】由频率分布直方图区间的概率确定样本总容量，由频率和为1求x，根据频率分布直方图估计均值，确定78分前所占比例从而判断各选项．

【详解】由频率分布直方图可得：，，，，的频率依次为.

对于A：∵成绩落在内的人数为16，则，

解得，故A错误；

对B：由频率可得，解得，故B错误；

对C：由选项B可得：成绩落在的频率为，

估计全体学生该学科成绩的平均分分，故C正确；

对D：设该学科成绩为A等的最低分数为，

∵，，的频率依次为，即，

可知，则，解得，

虽然，但是估计值，有可能出现没有学生考到分的情况（学生成绩均为正整数），

这种情况下成绩为78分的学生该学科成绩可以是A等，D错误；

故选：C.

六、单选题

15．已知，若存在正整数n，使函数在区间内有2023个零点，则实数a所有可能的值为（    ）

A．1 B．－1 C．0 D．1或－1

【答案】B

【分析】根据题意令分析可得关于t的方程有两个不相等的实根，结合韦达定理可得，分类讨论的分布，结合正弦函数分析判断.

【详解】令，

令，则，即，

∵，

则关于t的方程有两个不相等的实根，设为，令，

可得，则有：

1.若， 即和，

结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，无实数根，

故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；

2.若， 即和，

结合正弦函数图象可知：无实数根，在内有两个不相等的实数根，

故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；

3.若， 即和，

结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有两个不相等的实数根，

故对任意正整数n，在内有偶数个零点，不合题意；

4.若， 即和，

结合正弦函数图象可知：在内有两个不相等的实数根，在内有且仅有一个实数根，

①对任意正奇数n，在内有个零点，

由题意可得，解得，不合题意；

②对任意正偶数n，在内有个零点，

由题意可得，解得，不合题意；

5.若， 即和，

结合正弦函数图象可知：在内有且仅有一个实数根，在内有两个不相等的实数根，

①对任意正奇数n，在内有个零点，

由题意可得，解得，符合题意；

②对任意正偶数n，在内有个零点，

由题意可得，解得，不合题意；

综上所述：当，时，符合题意.

此时，解得.

故选：B.

16．若数列、均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得，则称数列为数列的“M数列”．已知数列的前n项和为，则下列选项中为假命题的是（    ）

A．存在等差数列，使得是的“M数列”

B．存在等比数列，使得是的“M数列”

C．存在等差数列，使得是的“M数列”

D．存在等比数列，使得是的“M数列”

【答案】C

【分析】对于A：取，分析判断；对于B、D：取，分析判断；对于C：根据题意结合等差数列的性质分析判断.

【详解】对于A：例如，则为等差数列，且、均为严格增数列，

可得，则，

取，则，即成立，

所以是的“M数列”，故A为真命题；

对B：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，

可得，则，

取，则，即成立，

所以是的“M数列”，故B为真命题；

对于C：若存在等差数列，使得是的“M数列”，

设等差数列的公差为，

∵、均为严格增数列，则，故，

取满足，可知必存在，使得成立，

当时，对任意正整数，则有；

对任意正整数，则有；

故不存在正整数，使得，故C为假命题；

对D：例如，则为等比数列，且、均为严格增数列，

可得，则，

取，则，即成立，

所以是的“M数列”，故D为真命题；

故选：C.

【点睛】关键点睛：在说明选项C时，只需说明，故取即可.

七、解答题

17．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．

(1)求的值；

(2)求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解.

（2）根据余弦定理可得，由可得，进而可得面积.

【详解】（1）在中，由正弦定理，

又，

所以，即，

解得；

（2）由（1）得，则，

又由余弦定理，，

解得，

所以.

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且．

(1)求证：CE⊥平面PBD；

(2)求二面角P－CE－A的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合三角函数的定义证明，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角．

【详解】（1）设BD与CE相交于点H，

因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，

所以，

由，，得，

因此，，

可得，

因为，

所以，即，

又因为，，平面,

所以CE⊥平面PBD；

（2）如图，建立空间直角坐标系D-xyz，

则，，，

所以，，

设平面PCE的一个法向量，

则，即，

令，则，，于是，

平面ACE的一个法向量为，

则，

由图形可知二面角P－CE－A为锐角，

所以二面角P－CE－A的余弦值是．

19．在临床检测试验中，某地用某种抗原来诊断试验者是否患有某种疾病．设事件表示试验者的检测结果为阳性，事件表示试验者患有此疾病，据临床统计显示，，．已知该地人群中患有此种疾病的概率为．（下列两小题计算结果中的概率值精确到）

(1)对该地某人进行抗原检测，求事件与同时发生的概率；

(2)对该地个患有此疾病的患者进行抗原检测，用随机变量表示检测结果为阳性的人数，求的分布和期望．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，数学期望为.

【分析】（1）根据直接求解即可；

（2）根据，由二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布；根据二项分布期望公式直接求解即可得到期望值.

【详解】（1）由题意知：，，

，

即事件与同时发生的概率为.

（2），，

所有可能的取值为，

；；；；

的分布为，数学期望.

20．已知O为坐标原点，曲线：和曲线：有公共点，直线：与曲线的左支相交于A、B两点，线段AB的中点为M．

(1)若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；

(2)若直线OM经过曲线上的点，且为正整数，求a的值；

(3)若直线：与曲线相交于C、D两点，且直线OM经过线段CD中点N，求证：．

【答案】(1)，

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据曲线和有且仅有两个公共点，可得曲线和的两公共点为左右顶点，从而可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解；

（2）设，联立方程，利用韦达定理求得，从而可得点的坐标，即可得出的方程，再将代入可得的关系，再根据直线与曲线的左支相交，从而可得，结合曲线和有公共点即可得出答案；

（3）由（2）可得，同理可得，再根据，即可得出结论.

【详解】（1）因为曲线和有且仅有两个公共点，

所以曲线和的两公共点为左右顶点，

则，曲线的半焦距，

所以曲线的离心率，

渐近线方程为；

（2）联立，得，

设，则，

所以，，

故直线OM的方程为，依题意直线OM经过点，

代入得，则，所以，

因为直线与曲线的左支相交于两点，故，

得，则，所以，

又曲线和有公共点，所以，所以，

又为正整数，所以，

所以；

（3）由（2）可得，

同理，联立直线：与曲线：，

可得，

因为，所以，

又因为，

所以，

即．

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

21．如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点处的切线为．

(1)当时，求实数的值；

(2)当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；

(3)当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)存在，理由见解析

(3)，

【分析】（1）求导，根据导数值直接可得参数值；

（2）假设存在，根据导数的几何意义可得，再利用垂直可得，再根据是否有解确定假设是否成立；

（3）根据二阶导判断导数的单调性，分别讨论导数的正负情况，进而可得，再根据导数的正负情况分别解不等式即可.

【详解】（1）由题设，函数定义域为，且，

由，则；

（2）当时，，则，

即的斜率，假设存在，则的斜率，

则有解，即在上有解，

该方程化简为，解得或，符合要求，

因此该函数存在另外一条与垂直的切线；

（3），

令，则，

当时，单调递减；

当时，单调递增；

设曲线的另一条切线的斜率为，

①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；

②当时，，且，

趋近于或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，

所以在、上各有一个零点、，

故当或时，都有

当时，故必存在，

即曲线存在相互垂直的两条切线，所以

因为，

由②知，曲线存在相互垂直的两条切线，

不妨设，，

满足，即，

又，，

所以，

故，当且仅当时等号成立，

所以，解得，

又，即 ，解得，

因为，，

所以．

综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是．

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．