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2023年吉林大学附中中考数学二模试卷
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这是一份2023年吉林大学附中中考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林大学附中中考数学二模试卷
一、单项选择题（每题3分）
1．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的距离约为55000000千米．将55000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．5.5×105 D．55×106
3．（3分）不等式组的解集表示正确的是（ ）
A．x＜3 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x＜3 D．x≤﹣1或x＞3
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．a＜b C．b﹣1＜0 D．ab＞0
5．（3分）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为53°，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，设信号塔CD的高度为x米，则下列关系式中正确的是（ ）
A．sin53°＝ B．cos53°＝
C．tan53°＝ D．tan53°＝
6．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，BO交⊙O于点C，BO的延长线交⊙O于点D，
点E在优弧CDA上，连接AD、AE、CE，若∠BAD＝122°，则∠CEA的度数为（ ）
A．26° B．32° C．64° D．128°
7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y＝（k＞0）的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，若点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题（每题3分）
9．（3分）因式分解：2x2﹣2＝ ．
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0有两个不相等的实数根，那么a的值可以是 ．（写出一个a值即可）
11．（3分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
12．（3分）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．若y1＜y2＜y3，则y3的取值范围是 ．
三、解答题
15．（6分）先化简，再求值：x（3﹣x）+（x+1）（x﹣1），其中．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
17．（6分）为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成检测任务．求原计划每小时检测多少人？
18．（7分）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）网格中∠B的度数是 °；
（2）在图①中画出△ABC中BC边上的中数AD；
（3）在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
（4）在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分制在BC，AB边上，位似比为 ．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝DC，CE平分∠BCD交边
AB于点E，连结DE．
（1）求证：四边形BCDE是菱形．
（2）连结BD，若BD＝AD＝4，tan∠A＝，则CE的长为 ．
20．（7分）某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程科普云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评．为了解全校800名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析．
[方案选择]以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定50名学生观看课程节数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取30名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取20名女生观看课程节数作为样本；
方案三：从全校800名学生中按照学号随机抽取50名学生的观看课程节数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 （填写方案一”、“方案二”或“方案三”）；
[分析数据]学校用合理的方式抽取了50名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
I．观看课程节数的节数分布表如表：
节数x
频数
频率
0≤x＜10
8
0.16
10≤x＜20
10
0.20
20≤x＜30
16
n
30≤x＜40
m
0.24
X≥40
4
0.08
总数
50
1
II．课程节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20，20；21.22，23，23，23，23，25，26，26.26，27，28，28，29．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ；n＝ ；
（2）随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是 ；
[做出预估]根据抽查结果，请估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数．
21．（8分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BC→CD→DE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离．
22．（9分）【感知】如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，易知∠B＝30°（不需要证明）．
【探究】如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A'处，折痕交AE于点G，求∠ADG的度数和AG的长．
【拓展】若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），若AB＝6，直接写出EF的长．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，sinA＝．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作PD⊥AB交折线AC、CB于点D，连结BD．将△DBP绕点D逆时针旋转90°得到△DEF．设点P的运动时间为t （秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PD的长；
（2）当点E落在AB边上时，求AD的长；
（3）当点F在△ABC内部时，求t的取值范围．
（4）当线段DP将△ABC的面积分成1：2的两部分时，直接写出t的值为 ．
24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）的图象记为G．
（1）设m＞0，当G经过点（2，0）时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
（2）判断图象G与x轴公共点的个数，并说明理由．
（3）当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
（4）线段AB的端点坐标分别为A（0，2）、B（7，4），当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D（点C在点D左侧），直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m的值．
2023年吉林大学附中中考数学二模试卷
（参考答案与详解）
一、单项选择题（每题3分）
1．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：这个组合体的三视图如下：
故选：B．
2．（3分）火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的距离约为55000000千米．将55000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．5.5×105 D．55×106
【解答】解：55000000＝5.5×107．
故选：B．
3．（3分）不等式组的解集表示正确的是（ ）
A．x＜3 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x＜3 D．x≤﹣1或x＞3
【解答】解：，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
故选：C．
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．a＜b C．b﹣1＜0 D．ab＞0
【解答】解：根据图形可以得到：
﹣2＜a＜0＜1＜b＜3；
所以：A，C，D都是错误的；
故选：B．
5．（3分）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为53°，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，设信号塔CD的高度为x米，则下列关系式中正确的是（ ）
A．sin53°＝ B．cos53°＝
C．tan53°＝ D．tan53°＝
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
则AB＝DE＝15米，AE＝BD＝25米，
∵CD＝x米，
∴CE＝CD﹣DE＝（x﹣15）米，
在Rt△ACE中，∠CAE＝53°，
∴tan53°＝＝，
故选：C．
6．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，BO交⊙O于点C，BO的延长线交⊙O于点D，
点E在优弧CDA上，连接AD、AE、CE，若∠BAD＝122°，则∠CEA的度数为（ ）
A．26° B．32° C．64° D．128°
【解答】解：连接OA，
∵AB为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠BAD＝122°，
∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝122°﹣90°＝32°，
∵OA＝OD，
∴∠D＝∠OAD＝32°，
∴∠CEA＝∠D＝32°，
故选：B．
7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y＝（k＞0）的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，若点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【解答】解：作AM⊥y轴，BN⊥y轴于点M，N，
把x＝﹣2代入y＝得y＝﹣，
∴点A坐标为（﹣2，﹣），
把y＝1代入代入y＝得x＝k，
∴点B坐标为（k，1），
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵∠ACM+∠BCN＝90°，∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠MAC＝∠BCN，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN＝k，AM＝CN＝2，
∴NM＝CM﹣CN＝yB﹣yA，
即k﹣2＝1﹣（﹣），
解得k＝6，
故选：D．
二、填空题（每题3分）
9．（3分）因式分解：2x2﹣2＝ 2（x+1）（x﹣1） ．
【解答】解：原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0有两个不相等的实数根，那么a的值可以是 1 ．（写出一个a值即可）
【解答】解：根据题意，得Δ＝1﹣4a×（﹣2）＞0，
解得a＞﹣，
∵a≠0，
∴a的值可以为1，
故答案为：1．
11．（3分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 23.5 吨．
【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
得：4x+3y＝23.5；
故答案为：23.5．
12．（3分）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
【解答】解：×2+2π×1＝+π＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝4，∠D＝∠BCE＝90°．
∵DE＝AF＝1，
∴AD﹣AF＝CD﹣DE＝3．
即DF＝CE＝3．
在△BEC与△CFD中，
．
∴△BEC≌△CFD（SAS）．
∴∠BEC＝∠CFD．
∵∠DCF+∠CFD＝90°．
∴∠DCF+∠BEC＝90°．
∴∠CGE＝90°．
∴CG⊥BE．
在Rt△BCE中，
BE＝＝5．
∵S△BCE＝BC•CE＝BE•CG，
∴CG＝．
故答案为：．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．若y1＜y2＜y3，则y3的取值范围是 y3＞0 ．
【解答】解：将（﹣2，0）代入y＝x2+bx+c得4﹣2b+c＝0，
将（1，y2）代入y＝x2+bx+c得y2＝1+b+c，
将（﹣1，y1）代入y＝x2+bx+c得y1＝1﹣b+c，
∵y1＜y2，
∴1+b+c＞1﹣b+c，
∴b＞0，
将（2，y3）代入y＝x2+bx+c得y3＝4+2b+c，
∵y1＜y3，
∴1﹣b+c＜4+2b+c，
∴b＞﹣1，
∵4﹣2b+c＝0，
∴y3＝4+2b+c＝4b＞0，
故答案为：y3＞0．
三、解答题
15．（6分）先化简，再求值：x（3﹣x）+（x+1）（x﹣1），其中．
【解答】解：原式＝3x﹣x2+x2﹣1
＝3x﹣1，
当x＝﹣时，
原式＝3×（﹣）﹣1
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
【解答】解：列表得：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种，
所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率＝＝．
17．（6分）为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成检测任务．求原计划每小时检测多少人？
【解答】解：设原计划每小时检测x人，则实际上每小时检测1.2x人，
依题意得：﹣＝2，
解得：x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每小时检测250人．
18．（7分）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）网格中∠B的度数是 45 °；
（2）在图①中画出△ABC中BC边上的中数AD；
（3）在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
（4）在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分制在BC，AB边上，位似比为 ．
【解答】解：（1）如图：
∵AD＝4，BD＝4，∠ADB＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
故答案为：45；
（2）在图①中，中线AD即为所求；
（3）在图②中，点E即为所求；
（4）在图③中，△BMN即为所求．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝DC，CE平分∠BCD交边
AB于点E，连结DE．
（1）求证：四边形BCDE是菱形．
（2）连结BD，若BD＝AD＝4，tan∠A＝，则CE的长为 2 ．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠BEC．
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE，
∵BC＝DC，
∴BE＝DC，
∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
又∵BC＝DC，
∴平行四边形BCDE是菱形．
（2）解：如图，连接BD交CE于O，
∵BD＝AD＝4，
∴∠DBE＝∠A，
由（1）可知，四边形BCDE是菱形，
∴OB＝OD＝BD＝2，OC＝OE，BD⊥CE，
在Rt△BOE中，tan∠DBE＝＝tanA＝，
∴OE＝OB＝1，
∴CE＝2OE＝2，
故答案为：2．
20．（7分）某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程科普云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评．为了解全校800名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析．
[方案选择]以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定50名学生观看课程节数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取30名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取20名女生观看课程节数作为样本；
方案三：从全校800名学生中按照学号随机抽取50名学生的观看课程节数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 方案三 （填写方案一”、“方案二”或“方案三”）；
[分析数据]学校用合理的方式抽取了50名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
I．观看课程节数的节数分布表如表：
节数x
频数
频率
0≤x＜10
8
0.16
10≤x＜20
10
0.20
20≤x＜30
16
n
30≤x＜40
m
0.24
X≥40
4
0.08
总数
50
1
II．课程节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20，20；21.22，23，23，23，23，25，26，26.26，27，28，28，29．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ 12 ；n＝ 0.32 ；
（2）随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是 23 ；
[做出预估]根据抽查结果，请估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数．
【解答】解：【方案选择】抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是方案三，
故答案为：方案三；
【分析数据】（1）m＝50﹣8﹣10﹣16﹣4＝12，
n＝1﹣0.16﹣0.20﹣0.24﹣0.08＝0.32；
故答案为：12，0.32；
（2）∵节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
∴随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+23）÷2＝23，
故答案为：23；
【做出预估】800×（0.24+0.18）＝256（人），
答：估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数大约有256人．
21．（8分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BC→CD→DE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 0.5 h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离．
【解答】解：（1）线段CD表示轿车在途中停留了2.5﹣2＝0.5（h），
故答案为：0.5；
（2）设线段DE对应的函数解析式是y＝kx+b，
将（2.5，80），（4.5，300）代入得：
，
解得，
答：线段DE对应的函数解析式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）货车匀速行驶，速度为300÷5＝60（km/h），
∴线段OA函数表达式是y＝60x，
由60x＝110x﹣195得：x＝3.9，即x＝3.9时，轿车追上货车，
∴轿车到达加油站时，x＝3.5，
在y＝110x﹣195中，令x＝3.5，得y＝190，
∴甲地与加油站之间的距离是190km．
22．（9分）【感知】如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，易知∠B＝30°（不需要证明）．
【探究】如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A'处，折痕交AE于点G，求∠ADG的度数和AG的长．
【拓展】若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），若AB＝6，直接写出EF的长．
4
【解答】解：【探究】∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EF垂直平分CD，
∴FD＝1，
∵沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A'处，
∴AD＝A'D＝2，∠ADG＝∠A'DG，AG＝A'G，
∴∠FA'D＝30°，
∴∠A'DF＝60°，
∴∠ADA'＝30°，
∴∠ADG＝∠ADA'＝15°，
由勾股定理得，A'F＝，
∴A'E＝2﹣，
∵∠FA'D+∠EA'G＝90°，
∴∠EA'G＝60°，
∴∠A'GE＝30°，
∴A'G＝2A'E＝4﹣2；
【拓展】∵B、D两点恰好重合于一点O，
∴AO＝AD，CO＝BC，
∴AC＝2BC，
∴∠BAC＝30°，
设BC＝x，则AC＝2x，
由勾股定理得，AB＝x＝6，
∴x＝2，
∴BC＝2，AO＝CO＝2，
∵∠FAE＝2∠BAC＝60°，∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴EO＝2，
∴AE＝2EO＝4，
∴EF＝4，
故答案为：4．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，sinA＝．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作PD⊥AB交折线AC、CB于点D，连结BD．将△DBP绕点D逆时针旋转90°得到△DEF．设点P的运动时间为t （秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PD的长；
（2）当点E落在AB边上时，求AD的长；
（3）当点F在△ABC内部时，求t的取值范围．
（4）当线段DP将△ABC的面积分成1：2的两部分时，直接写出t的值为 或 ．
【解答】解：（1）如图1﹣1中，当点D在线段AC上时，0＜t≤，
在△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，
∴sinA＝＝，
∴BC＝AB，
∴AC＝＝＝4，
解得：AB＝5，BC＝3；
∵AP＝4t，
∴tanA＝＝，
∴PD＝3t．
如图1﹣2中，当点D在线段BC上时，＜t≤．
∵tanB＝＝，
∴PD＝（5﹣4t），
综上所述，PD＝；
（2）如图2中，当点E落在AB上时，PD＝PB＝3t，
∵AP+PB＝5，
∴4t+3t＝5，
解得，t＝，
∴t＝时，点E落在AB上，此时AD＝；
故AD的长为．
（3）如图2中，当点F落在AC边上时，CD+BD＝3，
∴×（5﹣4t）+（5﹣4t）＝3，
解得，t＝．
观察图象可知当＜t＜时，点F落在△ABC内部；
（4）如图1﹣1中，当△APD的面积＝时，
则有，×4t×3t＝××3×4，
∴t＝（负根已经舍去）．
当 四边形PDBC的面积＝时，△APD的面积＝S△ABC，
则有6t2＝4，
∴t＝（舍去不合题意）（负根已经舍去），
如图3中，当△PBD的面积＝时，
则有，×（5﹣4t）×（5﹣4t）＝××3×4，
∴t＝或（舍去），
故答案为：或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）的图象记为G．
（1）设m＞0，当G经过点（2，0）时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
（2）判断图象G与x轴公共点的个数，并说明理由．
（3）当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
（4）线段AB的端点坐标分别为A（0，2）、B（7，4），当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D（点C在点D左侧），直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m的值．
【解答】解：（1）∵G经过点（2，0）
∴4﹣4m+m2﹣4＝0，
解得：m＝0或4．
∵m＞0，
∴m＝4．
∴此函数的表达式为y＝x2﹣8x+12．
∵y＝x2﹣8x+12＝（x﹣4）2﹣4，
∴此函数图象的顶点坐标为（4，﹣4）；
（2）图象G与x轴公共点的个数为两个，理由：
令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4）
＝4m2﹣4m2+16
＝16＞0，
∴方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0由两个不相等的实数根，
即抛物线图象G与x轴有两个公共点；
（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（m，﹣4）．
①当m＜﹣3时，由于2m＜m＜m+3，则m﹣2m＞m+3﹣m，
∴当x＝m时，函数y取最小值﹣4，当x＝2m时，函数y取最大值为m2﹣4，
由题意得：m2﹣4﹣（﹣4）＝9，
解得：m＝±3，均不符合题意，舍去；
②当﹣3≤m≤0时，则2m≤m≤m+3，且m﹣2m≤m+3﹣m，
∴当x＝m时，函数y取最小值﹣4，当x＝m+3时，函数y取最大值为5，
由题意得：5﹣（﹣4）＝9，符合题意，
∴当﹣3≤m≤0时符合题意；
③0＜m＜3时，m＜2m＜m+3，
∴当x＝2m时，函数y取最小值m2﹣4，当x＝m+3时，函数y取最大值为5，
由题意得：5﹣（m2﹣4）＝9，
解得：m＝0，不合题意，舍去，
综上，m的取值范围为：﹣3≤m≤0；
（4）令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
解得：x＝m+2或m﹣2，
∵点C在点D左侧，
∴C（m﹣2，0），D（m+2，0）．
∴CD＝（m+2）﹣（m﹣2）＝4．
如图，AB＝＝，
当四边形ACDB的周长最小时，即AC+BD最小．
将点B向左平移四个单位得到B′（3，4），
则BB′＝4，BB′∥CD，
∴CD＝BB′＝4，
∴四边形B′CDB为平行四边形，
∴B′C＝BD，
∴BD+AC＝AC+B′C．
作点B′关于x轴的对称点B″（3，﹣4），连接B″C，则B″C＝B′C，
由将军饮马模型可知：此时BD+AC＝AC+B′C＝AC+B″C＝AB″，AC+BD取得最小值为AB″．
∴AB″＝＝3，
∴四边形ACDB的周长的最小值为：AB+CB+AB″＝4+3；
设直线AB″的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线AB″的解析式为y＝﹣2x+2，
令y＝0，则﹣2x+2＝0，
∴x＝1，
此时C（1，0），
∴m﹣2＝1，
∴m＝3．
∴四边形ACDB周长的最小值为4+3+，此时m的值为3．
2023年吉林大学附中中考数学二模试卷
一、单项选择题（每题3分）
1．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的距离约为55000000千米．将55000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．5.5×105 D．55×106
3．（3分）不等式组的解集表示正确的是（ ）
A．x＜3 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x＜3 D．x≤﹣1或x＞3
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．a＜b C．b﹣1＜0 D．ab＞0
5．（3分）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为53°，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，设信号塔CD的高度为x米，则下列关系式中正确的是（ ）
A．sin53°＝ B．cos53°＝
C．tan53°＝ D．tan53°＝
6．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，BO交⊙O于点C，BO的延长线交⊙O于点D，
点E在优弧CDA上，连接AD、AE、CE，若∠BAD＝122°，则∠CEA的度数为（ ）
A．26° B．32° C．64° D．128°
7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y＝（k＞0）的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，若点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
二、填空题（每题3分）
9．（3分）因式分解：2x2﹣2＝ ．
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0有两个不相等的实数根，那么a的值可以是 ．（写出一个a值即可）
11．（3分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
12．（3分）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．若y1＜y2＜y3，则y3的取值范围是 ．
三、解答题
15．（6分）先化简，再求值：x（3﹣x）+（x+1）（x﹣1），其中．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
17．（6分）为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成检测任务．求原计划每小时检测多少人？
18．（7分）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）网格中∠B的度数是 °；
（2）在图①中画出△ABC中BC边上的中数AD；
（3）在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
（4）在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分制在BC，AB边上，位似比为 ．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝DC，CE平分∠BCD交边
AB于点E，连结DE．
（1）求证：四边形BCDE是菱形．
（2）连结BD，若BD＝AD＝4，tan∠A＝，则CE的长为 ．
20．（7分）某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程科普云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评．为了解全校800名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析．
[方案选择]以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定50名学生观看课程节数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取30名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取20名女生观看课程节数作为样本；
方案三：从全校800名学生中按照学号随机抽取50名学生的观看课程节数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 （填写方案一”、“方案二”或“方案三”）；
[分析数据]学校用合理的方式抽取了50名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
I．观看课程节数的节数分布表如表：
节数x
频数
频率
0≤x＜10
8
0.16
10≤x＜20
10
0.20
20≤x＜30
16
n
30≤x＜40
m
0.24
X≥40
4
0.08
总数
50
1
II．课程节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20，20；21.22，23，23，23，23，25，26，26.26，27，28，28，29．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ ；n＝ ；
（2）随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是 ；
[做出预估]根据抽查结果，请估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数．
21．（8分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BC→CD→DE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离．
22．（9分）【感知】如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，易知∠B＝30°（不需要证明）．
【探究】如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A'处，折痕交AE于点G，求∠ADG的度数和AG的长．
【拓展】若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），若AB＝6，直接写出EF的长．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，sinA＝．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作PD⊥AB交折线AC、CB于点D，连结BD．将△DBP绕点D逆时针旋转90°得到△DEF．设点P的运动时间为t （秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PD的长；
（2）当点E落在AB边上时，求AD的长；
（3）当点F在△ABC内部时，求t的取值范围．
（4）当线段DP将△ABC的面积分成1：2的两部分时，直接写出t的值为 ．
24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）的图象记为G．
（1）设m＞0，当G经过点（2，0）时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
（2）判断图象G与x轴公共点的个数，并说明理由．
（3）当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
（4）线段AB的端点坐标分别为A（0，2）、B（7，4），当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D（点C在点D左侧），直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m的值．
2023年吉林大学附中中考数学二模试卷
（参考答案与详解）
一、单项选择题（每题3分）
1．（3分）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：这个组合体的三视图如下：
故选：B．
2．（3分）火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的距离约为55000000千米．将55000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.55×108 B．5.5×107 C．5.5×105 D．55×106
【解答】解：55000000＝5.5×107．
故选：B．
3．（3分）不等式组的解集表示正确的是（ ）
A．x＜3 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x＜3 D．x≤﹣1或x＞3
【解答】解：，
解不等式①得：x＜3，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
故选：C．
4．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞0 B．a＜b C．b﹣1＜0 D．ab＞0
【解答】解：根据图形可以得到：
﹣2＜a＜0＜1＜b＜3；
所以：A，C，D都是错误的；
故选：B．
5．（3分）如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔CD的高度，信号塔CD对面有一座高15米的瞭望塔AB，从瞭望塔顶部A测得信号塔顶C的仰角为53°，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，设信号塔CD的高度为x米，则下列关系式中正确的是（ ）
A．sin53°＝ B．cos53°＝
C．tan53°＝ D．tan53°＝
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
则AB＝DE＝15米，AE＝BD＝25米，
∵CD＝x米，
∴CE＝CD﹣DE＝（x﹣15）米，
在Rt△ACE中，∠CAE＝53°，
∴tan53°＝＝，
故选：C．
6．（3分）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，BO交⊙O于点C，BO的延长线交⊙O于点D，
点E在优弧CDA上，连接AD、AE、CE，若∠BAD＝122°，则∠CEA的度数为（ ）
A．26° B．32° C．64° D．128°
【解答】解：连接OA，
∵AB为⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵∠BAD＝122°，
∴∠OAD＝∠BAD﹣∠OAB＝122°﹣90°＝32°，
∵OA＝OD，
∴∠D＝∠OAD＝32°，
∴∠CEA＝∠D＝32°，
故选：B．
7．（3分）在△ACB中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边上的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，AB＝AD，BD不与AC垂直，不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系，等腰直角△ABC的顶点A、B均在函数y＝（k＞0）的图象上，点C在y轴正半轴上，∠ACB＝90°，若点A的横坐标为﹣2，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【解答】解：作AM⊥y轴，BN⊥y轴于点M，N，
把x＝﹣2代入y＝得y＝﹣，
∴点A坐标为（﹣2，﹣），
把y＝1代入代入y＝得x＝k，
∴点B坐标为（k，1），
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
∵∠ACM+∠BCN＝90°，∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠MAC＝∠BCN，
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CM＝BN＝k，AM＝CN＝2，
∴NM＝CM﹣CN＝yB﹣yA，
即k﹣2＝1﹣（﹣），
解得k＝6，
故选：D．
二、填空题（每题3分）
9．（3分）因式分解：2x2﹣2＝ 2（x+1）（x﹣1） ．
【解答】解：原式＝2（x2﹣1）＝2（x+1）（x﹣1）．
故答案为：2（x+1）（x﹣1）．
10．（3分）如果关于x的一元二次方程ax2+x﹣2＝0有两个不相等的实数根，那么a的值可以是 1 ．（写出一个a值即可）
【解答】解：根据题意，得Δ＝1﹣4a×（﹣2）＞0，
解得a＞﹣，
∵a≠0，
∴a的值可以为1，
故答案为：1．
11．（3分）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 23.5 吨．
【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
根据题意得：，
得：4x+3y＝23.5；
故答案为：23.5．
12．（3分）如图，线段AB＝2．以AB为直径作半圆，再分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ．
【解答】解：×2+2π×1＝+π＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则CG的长是 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝4，∠D＝∠BCE＝90°．
∵DE＝AF＝1，
∴AD﹣AF＝CD﹣DE＝3．
即DF＝CE＝3．
在△BEC与△CFD中，
．
∴△BEC≌△CFD（SAS）．
∴∠BEC＝∠CFD．
∵∠DCF+∠CFD＝90°．
∴∠DCF+∠BEC＝90°．
∴∠CGE＝90°．
∴CG⊥BE．
在Rt△BCE中，
BE＝＝5．
∵S△BCE＝BC•CE＝BE•CG，
∴CG＝．
故答案为：．
14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．若y1＜y2＜y3，则y3的取值范围是 y3＞0 ．
【解答】解：将（﹣2，0）代入y＝x2+bx+c得4﹣2b+c＝0，
将（1，y2）代入y＝x2+bx+c得y2＝1+b+c，
将（﹣1，y1）代入y＝x2+bx+c得y1＝1﹣b+c，
∵y1＜y2，
∴1+b+c＞1﹣b+c，
∴b＞0，
将（2，y3）代入y＝x2+bx+c得y3＝4+2b+c，
∵y1＜y3，
∴1﹣b+c＜4+2b+c，
∴b＞﹣1，
∵4﹣2b+c＝0，
∴y3＝4+2b+c＝4b＞0，
故答案为：y3＞0．
三、解答题
15．（6分）先化简，再求值：x（3﹣x）+（x+1）（x﹣1），其中．
【解答】解：原式＝3x﹣x2+x2﹣1
＝3x﹣1，
当x＝﹣时，
原式＝3×（﹣）﹣1
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
【解答】解：列表得：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种，
所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率＝＝．
17．（6分）为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成检测任务．求原计划每小时检测多少人？
【解答】解：设原计划每小时检测x人，则实际上每小时检测1.2x人，
依题意得：﹣＝2，
解得：x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每小时检测250人．
18．（7分）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）网格中∠B的度数是 45 °；
（2）在图①中画出△ABC中BC边上的中数AD；
（3）在图②中确定一点E，使得点E在AC边上，且满足BE⊥AC；
（4）在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分制在BC，AB边上，位似比为 ．
【解答】解：（1）如图：
∵AD＝4，BD＝4，∠ADB＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
故答案为：45；
（2）在图①中，中线AD即为所求；
（3）在图②中，点E即为所求；
（4）在图③中，△BMN即为所求．
19．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝DC，CE平分∠BCD交边
AB于点E，连结DE．
（1）求证：四边形BCDE是菱形．
（2）连结BD，若BD＝AD＝4，tan∠A＝，则CE的长为 2 ．
【解答】（1）证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∵CD∥AB，
∴∠DCE＝∠BEC．
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE，
∵BC＝DC，
∴BE＝DC，
∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
又∵BC＝DC，
∴平行四边形BCDE是菱形．
（2）解：如图，连接BD交CE于O，
∵BD＝AD＝4，
∴∠DBE＝∠A，
由（1）可知，四边形BCDE是菱形，
∴OB＝OD＝BD＝2，OC＝OE，BD⊥CE，
在Rt△BOE中，tan∠DBE＝＝tanA＝，
∴OE＝OB＝1，
∴CE＝2OE＝2，
故答案为：2．
20．（7分）某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程科普云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评．为了解全校800名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析．
[方案选择]以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定50名学生观看课程节数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取30名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取20名女生观看课程节数作为样本；
方案三：从全校800名学生中按照学号随机抽取50名学生的观看课程节数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 方案三 （填写方案一”、“方案二”或“方案三”）；
[分析数据]学校用合理的方式抽取了50名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
I．观看课程节数的节数分布表如表：
节数x
频数
频率
0≤x＜10
8
0.16
10≤x＜20
10
0.20
20≤x＜30
16
n
30≤x＜40
m
0.24
X≥40
4
0.08
总数
50
1
II．课程节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20，20；21.22，23，23，23，23，25，26，26.26，27，28，28，29．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）m＝ 12 ；n＝ 0.32 ；
（2）随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是 23 ；
[做出预估]根据抽查结果，请估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数．
【解答】解：【方案选择】抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是方案三，
故答案为：方案三；
【分析数据】（1）m＝50﹣8﹣10﹣16﹣4＝12，
n＝1﹣0.16﹣0.20﹣0.24﹣0.08＝0.32；
故答案为：12，0.32；
（2）∵节数在20≤x＜30这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
∴随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是（23+23）÷2＝23，
故答案为：23；
【做出预估】800×（0.24+0.18）＝256（人），
答：估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数大约有256人．
21．（8分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BC→CD→DE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
（1）线段CD表示轿车在途中停留了 0.5 h；
（2）求线段DE对应的函数解析式；
（3）甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离．
【解答】解：（1）线段CD表示轿车在途中停留了2.5﹣2＝0.5（h），
故答案为：0.5；
（2）设线段DE对应的函数解析式是y＝kx+b，
将（2.5，80），（4.5，300）代入得：
，
解得，
答：线段DE对应的函数解析式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）货车匀速行驶，速度为300÷5＝60（km/h），
∴线段OA函数表达式是y＝60x，
由60x＝110x﹣195得：x＝3.9，即x＝3.9时，轿车追上货车，
∴轿车到达加油站时，x＝3.5，
在y＝110x﹣195中，令x＝3.5，得y＝190，
∴甲地与加油站之间的距离是190km．
22．（9分）【感知】如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝AB，易知∠B＝30°（不需要证明）．
【探究】如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A'处，折痕交AE于点G，求∠ADG的度数和AG的长．
【拓展】若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），若AB＝6，直接写出EF的长．
4
【解答】解：【探究】∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EF垂直平分CD，
∴FD＝1，
∵沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A'处，
∴AD＝A'D＝2，∠ADG＝∠A'DG，AG＝A'G，
∴∠FA'D＝30°，
∴∠A'DF＝60°，
∴∠ADA'＝30°，
∴∠ADG＝∠ADA'＝15°，
由勾股定理得，A'F＝，
∴A'E＝2﹣，
∵∠FA'D+∠EA'G＝90°，
∴∠EA'G＝60°，
∴∠A'GE＝30°，
∴A'G＝2A'E＝4﹣2；
【拓展】∵B、D两点恰好重合于一点O，
∴AO＝AD，CO＝BC，
∴AC＝2BC，
∴∠BAC＝30°，
设BC＝x，则AC＝2x，
由勾股定理得，AB＝x＝6，
∴x＝2，
∴BC＝2，AO＝CO＝2，
∵∠FAE＝2∠BAC＝60°，∠AEF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴EO＝2，
∴AE＝2EO＝4，
∴EF＝4，
故答案为：4．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，sinA＝．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作PD⊥AB交折线AC、CB于点D，连结BD．将△DBP绕点D逆时针旋转90°得到△DEF．设点P的运动时间为t （秒）．
（1）用含t的代数式表示线段PD的长；
（2）当点E落在AB边上时，求AD的长；
（3）当点F在△ABC内部时，求t的取值范围．
（4）当线段DP将△ABC的面积分成1：2的两部分时，直接写出t的值为 或 ．
【解答】解：（1）如图1﹣1中，当点D在线段AC上时，0＜t≤，
在△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，
∴sinA＝＝，
∴BC＝AB，
∴AC＝＝＝4，
解得：AB＝5，BC＝3；
∵AP＝4t，
∴tanA＝＝，
∴PD＝3t．
如图1﹣2中，当点D在线段BC上时，＜t≤．
∵tanB＝＝，
∴PD＝（5﹣4t），
综上所述，PD＝；
（2）如图2中，当点E落在AB上时，PD＝PB＝3t，
∵AP+PB＝5，
∴4t+3t＝5，
解得，t＝，
∴t＝时，点E落在AB上，此时AD＝；
故AD的长为．
（3）如图2中，当点F落在AC边上时，CD+BD＝3，
∴×（5﹣4t）+（5﹣4t）＝3，
解得，t＝．
观察图象可知当＜t＜时，点F落在△ABC内部；
（4）如图1﹣1中，当△APD的面积＝时，
则有，×4t×3t＝××3×4，
∴t＝（负根已经舍去）．
当 四边形PDBC的面积＝时，△APD的面积＝S△ABC，
则有6t2＝4，
∴t＝（舍去不合题意）（负根已经舍去），
如图3中，当△PBD的面积＝时，
则有，×（5﹣4t）×（5﹣4t）＝××3×4，
∴t＝或（舍去），
故答案为：或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2mx+m2﹣4（m为常数）的图象记为G．
（1）设m＞0，当G经过点（2，0）时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
（2）判断图象G与x轴公共点的个数，并说明理由．
（3）当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
（4）线段AB的端点坐标分别为A（0，2）、B（7，4），当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D（点C在点D左侧），直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m的值．
【解答】解：（1）∵G经过点（2，0）
∴4﹣4m+m2﹣4＝0，
解得：m＝0或4．
∵m＞0，
∴m＝4．
∴此函数的表达式为y＝x2﹣8x+12．
∵y＝x2﹣8x+12＝（x﹣4）2﹣4，
∴此函数图象的顶点坐标为（4，﹣4）；
（2）图象G与x轴公共点的个数为两个，理由：
令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4）
＝4m2﹣4m2+16
＝16＞0，
∴方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0由两个不相等的实数根，
即抛物线图象G与x轴有两个公共点；
（3）∵y＝x2﹣2mx+m2﹣4＝（x﹣m）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（m，﹣4）．
①当m＜﹣3时，由于2m＜m＜m+3，则m﹣2m＞m+3﹣m，
∴当x＝m时，函数y取最小值﹣4，当x＝2m时，函数y取最大值为m2﹣4，
由题意得：m2﹣4﹣（﹣4）＝9，
解得：m＝±3，均不符合题意，舍去；
②当﹣3≤m≤0时，则2m≤m≤m+3，且m﹣2m≤m+3﹣m，
∴当x＝m时，函数y取最小值﹣4，当x＝m+3时，函数y取最大值为5，
由题意得：5﹣（﹣4）＝9，符合题意，
∴当﹣3≤m≤0时符合题意；
③0＜m＜3时，m＜2m＜m+3，
∴当x＝2m时，函数y取最小值m2﹣4，当x＝m+3时，函数y取最大值为5，
由题意得：5﹣（m2﹣4）＝9，
解得：m＝0，不合题意，舍去，
综上，m的取值范围为：﹣3≤m≤0；
（4）令y＝0，则x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
解得：x＝m+2或m﹣2，
∵点C在点D左侧，
∴C（m﹣2，0），D（m+2，0）．
∴CD＝（m+2）﹣（m﹣2）＝4．
如图，AB＝＝，
当四边形ACDB的周长最小时，即AC+BD最小．
将点B向左平移四个单位得到B′（3，4），
则BB′＝4，BB′∥CD，
∴CD＝BB′＝4，
∴四边形B′CDB为平行四边形，
∴B′C＝BD，
∴BD+AC＝AC+B′C．
作点B′关于x轴的对称点B″（3，﹣4），连接B″C，则B″C＝B′C，
由将军饮马模型可知：此时BD+AC＝AC+B′C＝AC+B″C＝AB″，AC+BD取得最小值为AB″．
∴AB″＝＝3，
∴四边形ACDB的周长的最小值为：AB+CB+AB″＝4+3；
设直线AB″的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线AB″的解析式为y＝﹣2x+2，
令y＝0，则﹣2x+2＝0，
∴x＝1，
此时C（1，0），
∴m﹣2＝1，
∴m＝3．
∴四边形ACDB周长的最小值为4+3+，此时m的值为3．
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