2023年河南大学附中中考数学二模试卷（含解析）

2023年河南大学附中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  一个正方体的表面展开如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“预祝中考成功”，把它折成正方体后，与“考”相对的字是(    )

A. 预 B. 祝 C. 成 D. 功

3.  如图，直线，的顶点在直线上，与直线交于点，延长线交直线于点，已知，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，是半圆的直径，点是弧的中点，，则等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  “中国共产党第二十次全国代表大会”于年月日上午时在北京人民大会堂开幕报告显示，我国提出并贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从万亿元增长到万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达，提高，稳居世界第二位把数据“万亿”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结如图，由细到粗右细左粗，满七进一，那么孩子已经出生了(    )

A. 天 B. 天 C. 天 D. 天

8.  如图，在平面直角坐标系中，将折线向右平移得到折线，则折线在平移过程中扫过的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，已知菱形的顶点，，菱形的两对角线相交于点；若将菱形绕点逆时针旋转，每秒旋转，从如图所示位置起，经过秒时，菱形的对角线的交点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  小明同学利用计算机软件绘制函数、为常数的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断常数、的值满足(    )
 

A. ， B. ， C. ， D. ，

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知关于的方程有两个不相等的实数根，请写出一个符合条件的值______．

12.  不等式组的解集是______．

13.  已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是______．

14.  如图，扇形的圆心角，将扇形沿射线平移得到扇形，与交于点，若，，则阴影部分的面积为______．

15.  如图，在矩形中，已知，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段向终点运动，运动时间为秒，连接，把沿着翻折得到作射线与边交于点，当时， ______

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
化简：．

17.  本小题分
年以来，江北区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，市民以行动换积分，以积分转习惯区政府为了解月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取人，记录下他们的积分单位：分，并进行整理和分析积分用表示，共分为四组：：，：，：，：，下面给出了部分信息：
甲社区人的积分：，，，，，，，，
乙社区人的积分在组中的分数为：，，，
两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示

根据以上信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ， ______ ；
根据以上数据，你认为______ 社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好请说明理由一条理由即可；
若月份甲社区有人参与活动，乙社区有人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在组的一共有多少人？

18.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，点在第三象限，且，．
利用尺规作出点不写作法，保留作图痕迹；
若，求反比例函数与一次函数的解析式．

19.  本小题分
如图是郑州市北龙湖“鼎桥”，是国内首座“鼎”形斜拉桥，以司母戊鼎为背景，桥长米，通过横梁及塔柱间拉杆连接成“鼎”字结构“鼎”形结构寓意鼎盛中原，展现了郑州厚重的地域文化．
某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度如图所示，他们在地面上架设测角仪，先在点处测得“鼎桥”最高点的仰角，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角点，，在一条直线上，测角仪的高度为请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点距离地面的高度结果精确到参考数据：，，，
 

20.  本小题分
年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品某商家以每套元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件若该产品每套的售价是元时，每天可售出套；若每套售价提高元，则每天少卖套．
设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为元时，求该商品销售量与之间的函数关系式；
求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是多少元？
如果每天的利润要达到元，并且尽可能的让利于顾客，则每套的售价应该定为多少元？

21.  本小题分
中国级旅游景区开封市清明上河园中水车园的水车由立式水轮、竹筒、支撑架、水槽等部件组成，如图是水车园中半径为的水车灌田的简化示意图，立式水轮在水流的作用下利用竹筒将水运送到点处，水沿水槽流到田地，与水面交于点，，且点，，在同一直线上，且，若点到点的距离为，立式水轮的最低点到水面的距离为连接，．
求证：是的切线；
请求出水槽的长度．

22.  本小题分
如图，抛物线经过点，，，点的坐标为．
求抛物线的解析式和顶点坐标；
当时，求的最大值与最小值的差；
若点的坐标为，连接，并将线段向上平移个单位得到线段，若线段与抛物线只有一个交点，请直接写出的取值范围．

23.  本小题分
小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形，一条线段，再以点为圆心，的长为半径，画分别交于点交于点过点，分别作，的垂线交于点，易得四边形也是正方形，连接．

【探究发现】如图，与的大小和位置关系：______ ．
【尝试证明】如图，将正方形绕圆心转动，在旋转过程中，上述的关系还存在吗？请说明理由．
【思维拓展】如图，若，则：
在旋转过程中，点，，三点共线时，的值为______ ；
在旋转过程中，的最大值是______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是：．
故选：．
直接利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数得出答案．
此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．利用正方体及其表面展开图的特点解题．
本题考查了正方体展开图，了解正方体展开图的各种形式是本题解题的关键．
【解答】

解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“成”与面“祝”相对，面“预”与面“考”相对，“中”与面“功”相对．
故选A．

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据三角形的外角性质得出，进而利用平行线的性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：、原式，错误；
B、原式，错误；
C、原式，错误；
D、原式，正确，
故选：．
A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
B、原式合并同类项得到结果，即可做出判断；
C、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理以及三角形的内角和定理，根据圆周角定理结合的度数找出的度数是解题的关键．
连接，由点是弧的中点结合的度数即可得出的度数，根据是半圆的直径即可得出，再利用三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】
解：连接，如图所示．

点是弧的中点，
．
，是半圆的直径，
，，
．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：万亿，
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中的绝对值，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，解题的关键是要正确确定和的值．
 

7.【答案】 

【解析】解：孩子自出生后的天数是：


，
答：那么孩子已经出生了天．
故选：．
由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为，，和，然后把它们相加即可．
本题考查了用数字表示事件．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
 

8.【答案】 

【解析】解：平移折线，得到折线，
四边形和四边形都为平行四边形，
折线在平移过程中扫过的面积．
故选：．
利用平移的性质可判断四边形和四边形都为平行四边形，然后由平移过程中扫过的面积，根据平行四边形的面积公式进行计算即可．
本题考查了坐标与图形平移，掌握平移的性质：把一个图形整体沿某一直线移动，得到新图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：菱形的顶点，，得
点坐标为，即，
每秒旋转，则第秒时，得，
周，
所以旋转了周半，则菱形的此时的对角线交点与原来的点关于点成中心对称，所以坐标为，
故选：．
根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点的坐标．
本题主要考查菱形的性质及旋转的性质，熟练掌握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的图象，根据当时，及函数值不存在即可解答．
由图象可知，当时，，可知；根据函数值不存在，得出函数值不存在，结合图象可知．
【解答】
解：由图象可知，当时，，
又，

；
时函数值不存在，
结合图象可知函数值不存在时，，
．
故．
故选：．  

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：根据题意得，
解得，
所以可以取．
故答案为：答案不唯一．
根据根的判别式的意义得到，再解不等式得到的取值范围，然后在此范围内选取一个值即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
所以不等式组的解集是．
故答案为：．
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

13.【答案】 

【解析】【试题解析】

解：设反比例函数关系式为：，
把代入得：，
反比例函数关系式为：，
当时，则，
，
故答案为：．
根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过列不等式，求出结论，并结合图象．
本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作，

设，
在中，，则，，
根据平移的性质得：，
在中，，
，
，
，


．
故答案为：．
连接，过点作，设，则，，在中根据勾股定理可列方程，即可求出，进而得到长，利用计算即可．
本题主要考查扇形面积的计算，解题关键是将不规则图形转化成规则图形．
 

15.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
当点在矩形内部时，过作于，过作于，如图，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，，
，
，
，
，
，
解得；
当点在矩形的外部时，如图：

，
，
，，
，即，
，
此时与重合，
综上，存在这样的值，使得，的值为或．
故答案为：或．
分两种情况：点在矩形的内部和外部，根据等量关系列方程可解答．
本题考查翻折变换，矩形的性质、几何动点问题，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题．
 

16.【答案】解：原式
．
原式



． 

【解析】根据二次根式的性质、绝对值的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
根据分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的性质、负整数指数幂的意义、绝对值的性质、分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

17.【答案】      乙 

【解析】解：乙社区组有人，组有人，组有人，组有人，
所以，，，
故答案为：，，；
乙社区表现好些，
理由：乙社区的中位数比甲社区的中位数大些；
人，
答：该月甲、乙两个社区积分在组的大约一共有人．
根据中位数和众数的意义求解；
根据中位数进行比较；
理由样本的百分比估计总体的百分比．
本题考查了统计的应用，掌握统计的有关概念是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，点为所作；
；
作轴于，轴于，

，，
，，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数为，
一次函数的图象过点，，
，
解得，
一次函数的解析式为． 

【解析】以为圆心，任意长为半径画弧交于两点、，分别以、为圆心以大于长为半径画弧，交于点，过点、作直线，在上截取，使在第三象限；
作轴于，轴于，通过证得≌，求得，然后利用待定系数法即可求得反比例函数和一次函数的解析式．
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、三角形全等的判断和性质，求得点的坐标是解题的关键．
 

19.【答案】解：延长交于点，

由题意得，，，
设，
在中，，
，
，
在中，，
解得，
．
“鼎桥”最高点距离地面的高度约为． 

【解析】延长交于点，设，在中，，可得，则，在中，，求出的值，结合可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：根据题意，得
，
与之间的函数关系式：；
根据题意，得：
，，
，
抛物线开口向下，有最大值，
当时，；
，
或，
因为要尽可能让利于顾客，所以每套的售价应该定为元． 

【解析】根据题意，得，化简即可；
根据题意，得，化成顶点式，
根据题意，确定每套的售价即可．
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值．
 

21.【答案】证明：连接，并延长交于，连接，则，

，
，，
，
，
是半径，
与相切，
解：如图，于点，且米，

米，
米，
连接，
米，
米，
米，
米，
，，
∽，
，
，
米． 

【解析】连接，并延长交于，连接，则，由切线的性质及圆周角定理可得出结论；
由勾股定理求出米，证明∽，得出，可求出答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：将点代入，
，
解得，
，
，
顶点为；
当时，，
当时，的最大值为，最小值为，
的最大值与最小值的差为；
线段向上平移个单位得到线段，
，，
当在抛物线上时，，
解得，
时，线段与抛物线只有一个交点；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
当时，，
，解得，
当时，线段与抛物线只有一个交点；
综上所述：或时，线段与抛物线只有一个交点． 

【解析】将点代入，可求函数的解析式及顶点坐标；
当时，的最大值为，最小值为，即可求解；
由题意可求，，当在抛物线上时，线段与抛物线有两个交点，则时，线段与抛物线只有一个交点；求出平移后直线的解析式，当直线与抛物线有一个交点时，求出的值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，图形平移的性质，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】，     

【解析】解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
，，
，
故答案为：，；
中的关系存在．
如图，延长交于点，交于点．

，
，
．
在和中，

≌，
，．
在和中，
，，
，
．
即且；
延长，交于点，

，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，，
．
故答案为：；
在正方形和正方形中，，，
，，
的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，
当，，三点共线时，，有最大值，
此时．
故答案为：．
由正方形的性质得出，，，则可得出结论；
延长交于点，交于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论；
延长，交于点，证明四边形是矩形，得出，，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，由勾股定理可求出答案；
求出和的长，证出的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当，，三点共线时，，有最大值，则可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质等，熟练掌握正方形的性质是解题关键．