2023年吉林省长春市朝阳区吉林大学附中中考二模数学试题

这是一份2023年吉林省长春市朝阳区吉林大学附中中考二模数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图是由6个相同的正方体堆成的物体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
2．火星具有与地球十分相近的环境，与地球最近时的则离约为55000000千米，将55000000用科学记数的表示为（ ）
A．B．C．D．
3．不等式组的解集表示正确的是（ ）
A．B．C．D．或
4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，数学兴趣小组用测角仪和皮尺测量一座信号塔的高度，信号塔对面有一座高15米的瞭望塔，从瞭望塔项部A测得信号塔顶C的仰角为，测得瞭望塔底B与信号塔底D之间的距离为25米，设信号塔的高度为x米，则下列关系式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是⊙O的切线，点A为切点，BO交⊙O于点C，BO的延长线交⊙O于点D，点E在优弧CDA上，连接AD、AE、CE，若∠BAD＝122°，则∠CEA的度数为（ ）
A．26°B．32°C．64°D．128°
7．在△中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系，等腰直角的顶点A、B均在函数的图象上，点C在y轴正半轴上，，若点A的横坐标为，点B的纵坐标为1，则k的值为（ ）
A．1B．2C．4D．6
二、填空题
9．因式分解：__________．
10．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么a的值可以是________．（写出一个a值即可）
11．有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货___________吨．
12．如图，线段．以为直径作半圆，再分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C．则图中阴影部分的周长为 ___________．
13．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若，则CG的长是_____．
14．在平面直角坐标系xOy中，点，，，在抛物线上．若，则的取值范围是______．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母A，B，C，除所标字母不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下字母后放回并搅匀，再随机摸出一个小球，用画树状图（或列表）的方法，求该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率．
17．为坚决打好打赢长春疫情防控保卫战，长春市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成检测任务，求原计划每小时检测多少人？
18．图①、那②，图③积是的间格，每个小正方形的顶点称为格点，顶点A、B、C均在格点上，在图①，图②，图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)网格中的度数是 ___________；
(2)在图①中画出中边上的中线；
(3)在图②中确定一点E，使得点E在边上，且满足；
(4)在图③中画出，使得与是位似图形，且点为位似中心，点、分别在、边上，位似比为．
19．如图，在四边形ABCD中，ABCD，BC＝DC，CE平分∠BCD交边AB于点E，连接DE．
(1)求证：四边形BCDE是菱形．
(2)连接BD，若BD＝AD＝4，，则CE的长为______．
20．某校为了提高学生的科普知识，推出了特色科普项目直播课程科普云课堂，吸引了全校学生踊跃参与线上科普学习，广受好评．为了解全校800名学生观看科普直播课程的情况，该校采用抽样调查的方式来进行统计分析．
[方案选择]以下三种抽样调查方案：
方案一：从七年级、八年级、九年级中指定50名学生观看课程节数作为样本；
方案二：从七年级、八年级中随机抽取30名男生观看课程节数以及在九年级中随机抽取20名女生观看课程节数作为样本；
方案三：从全校800名学生中按照学号随机抽取50名学生的观看课程节数作为样本．
其中抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是 ___________（填写方案一”、“方案二”或“方案三”）；
[分析数据]学校用合理的方式抽取了50名学生，对他们观看课程的节数进行收集，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
I．观看课程节数的节数分布表如表：
II．课程节数在这一组的数据是：
20，20，21，22，23，23，23，23，25，26，26，26，27，28，28，29．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1） ； ；
（2）随机抽取的50名学生观看课程节数的中位数是 ___________；
[做出预估]根据抽查结果，请估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数．
21．甲、乙两地相距，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题：
(1)线段表示轿车在途中停留了__________h；
(2)求线段对应的函数解析式；
(3)甲乙两地之间有一加油站，轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，求甲地与加油站之间的距离．
22．【感知】如图①，中，，，易知（不需要证明）．
【探究】如图②，四边形是一张边长为2的正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点A'处，折痕交于点，求的度数和的长．
【拓展】若矩形纸片按如图③所示的方式折叠，、两点恰好重合于一点（如图④），若，直接写出的长．
23．如图，在中，，，．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作交折线、于点，连接，将绕点逆时针旋转得到．设点P的运动时间为t （秒）．
(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)当点E落在边上时，求的长；
(3)当点F在内部时，求t的取值范围．
(4)当线段将的面积分成的两部分时，直接写出t的值为 ___________．
24．在平面直角坐标系中，函数函数（m为常数）的图象记为G．
(1)设，当经过点时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
(2)判断图象G与x轴公共点的个数．并说明理由．
(3)当时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
(4)线段的端点坐标分别为、，当图象与轴有两个公共点时，设其分别为点、点（点在点左侧），直接写出四边形周长的最小值及此时m的值．
节数x
频数
频率
8
10
16
n
m
4
总数
50
1
参考答案：
1．A
【分析】画出该组合体的三视图即可．
【详解】解：这个组合体的三视图如下：
故选：A．
【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是得出正确答案的根据．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．C
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
故原不等式组的解集为的解集为．
故选：C．
【点睛】本题考查的是解不等式组应遵循的原则，即“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．
4．B
【分析】观察数轴得：，再逐项判断即可求解．
【详解】解：观察数轴得：，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意；
∴，故C错误，不符合题意；
∴，故D错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5．C
【分析】过点A作AE⊥CD于E，则四边形ABDE是矩形，所以有∠AEC=90°，AE=BD=25米，DE=AB=15米，从而得CE=CD-DE=(x-15)米，在Rt△AEC中，分别求出sin53°、cs53°、tan53°即可得出答案．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥CD于E，
易得四边形ABDE是矩形，
∴∠AEC=90°，AE=BD=25米，DE=AB=15米，
∴CE=CD-DE=(x-15)米，
在Rt△AEC中，∠AEC=90°，
∴sin53°= sin∠CAE=，故A选项不符合题意；
cs53°= cs∠CAE=，故B选项不符合题意；
tan53°=tan∠CAE=，故C选项符合题意，D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．
6．B
【分析】连接OA，求出，利用，证明，再利用，即可求出．
【详解】解：连接OA，
∵是⊙O的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B
【点睛】本题考查切线的性质，在同一个圆中，等弧所对的圆周角相等，等边对等角，解题的关键是求出．
7．C
【分析】如果△BAD∽△CBD，可得∠ADB=∠BDC=90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【详解】当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
8．D
【分析】过点A、B作分别垂直于轴交于点，证明，根据全等三角形对应边相等得到，设，根据解题即可．
【详解】过点A、B作分别垂直于轴交于点，
设
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的图像与性质，涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．
【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．
10．1（答案不唯一）．
【分析】根据根的判别式确定字母的取值范围，即可写出答案．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
由题意可知：Δ＝12﹣4 a×（﹣2）＝8a+1＞0，
∴a＞-，
∵a≠0，
∴a＞-且a≠0，
故答案为：1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，确定字母的取值范围．
11．23.5
【分析】设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，根据“3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，再整体求得（4x+3y）即可得出结论．
【详解】解：设每辆大货车一次可以运货x吨，每辆小货车一次可以运货y吨，
依题意，得：，
两式相加得8x+6y=47，
∴4x+3y=23.5(吨) ，
故答案为：23.5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．
【分析】阴影部分的周长为弧，弧和半圆的和，据此计算．
【详解】解：∵分别以点、为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点C，
∴是等边三角形，
∴，
∴阴影部分的周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式：，也考查了等边三角形的判定与性质，难度适中．
13．/2.4
【分析】先证明△CDF≌△BCE，得到∠BGC＝90°，利用面积法即可求出．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，BC＝4，
∴∠CDF＝∠BCE＝90°，AD＝DC＝BC＝4，
又∵DE＝AF＝1，
∴CE＝DF＝3，
∴在△CDF和△BCE中，
，
∴△CDF≌△BCE（SAS），
∴∠DCF＝∠CBE，
∵∠DCF+∠BCF＝90°，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BGC＝90°，
∵在Rt△BCE中，BC＝4，CE＝3，
∴,
∴BE•CG＝BC•CE，
∴，
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，证明△CDF≌△BCE是解题关键．
14．
【分析】先利用点的坐标满足函数表达式得到，，，由得到，将代入得，由得到，进一步即可得到的取值范围．
【详解】解：将代入得，将代入得，将代入得，
∵，
∴，
∴，
将代入得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．
15．
【分析】利用单项式乘多项式和平方差公式对式子化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
，
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了多项式的化简以及代数式求值的知识，掌握单项式乘多项式和平方差公式是解答本题的基础．
16．.
【分析】依据题意画树状图(或列表)法分析所有可能的出现结果即可解答．
【详解】解：列表得：
由列表可知可能出现的结果共9种，其中两次摸出的小球所标字母相同的情况数有3种，
所以该同学两次摸出的小球所标字母相同的概率==．
故答案为.
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．250人
【分析】设原计划每小时检测x人，则实际上每小时检测1.2x人，列方程求解即可．
【详解】解：设原计划每小时检测x人，则实际上每小时检测1.2x人，
依题意得：，
解得：x＝250，
经检验，x＝250是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每小时检测250人．
【点睛】本题考查了分式方程应用题，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
18．(1)45
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】（1）直接根据网格的性质求解即可；
（2）找到的中点D，连接即可；
（3）根据网格的性质画出的垂线，与交于点E即可；
（4）在上找到点M，使得，再过点M画的平行线，与交于点N，即可得解．
【详解】（1）解：由图可知：
的度数是
（2）在图①中，中线即为所求；
（3）在图②中，点即为所求；
（4）在图③中，即为所求．
【点睛】本题考查了作图位似变换，解决本题的关键是掌握位似变换．
19．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）先证明BE=CD，得四边形BCDE为平行四边形，再利用BC=CD得证；
（2）先证明∠A=∠DBE，再利用∠DBE的正切值并结合菱形性质，求出CE长度即可．
【详解】（1）证明：∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE，
∵ CD∥AB，
∴ CD∥BE，∠DCE＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE，
∵BC＝DC，
∴BE＝DC，
∵CD∥BE，
∴四边形BCDE为平行四边形，
∵BC=CD，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：设BD交CE于点F，
∵四边形BCDE为菱形，
∴BD⊥CE，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBE，
∴=，
即，
∵BD=4，
∴DF=BF=2，
∴EF=CF=1，
∴CE=2EF=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角函数的应用等知识点．灵活使用菱形的判定定理是解题关键．
20．[方案选择]方案三；[分析数据]（1）12，；（2）23；[做出预估]256人
【分析】[方案选择]根据抽样调查的样本要具有广泛性和代表性可得抽样调查方案；
[分析数据]（1）根据频数分布表即可求出、；
（2）根据中位数的定义解答即可；
[做出预估]利用样本估计总体的方法即可估计该校学生中观看网络直播课节数不低于30次的人数．
【详解】解：[方案选择]抽取的样本最具有代表性和广泛性的一种抽样调查方案是方案三，
故答案为：方案三；
[分析数据]（1），
；
故答案为：12，0.32；
（2）节数在这一组的数据是：
20 20 21 22 23 23 23 23 25 26 26 26 27 28 28 29
随机抽取的50名学生观看直播课节数的中位数是，
故答案为：23；
[做出预估]（人），
答：估计该校800名学生观看课程节数不少于30次的人数大约有256人．
【点睛】本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频数分布表、中位数，解决本题的关键是综合掌握以上知识．
21．(1)0.5
(2)
(3)
【分析】(1)根据图象即可求得；
(2)根据图象可得点D、E的坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(3)首先可求得线段OA所直线的解析式，再联立方程组，解方程组，即可求得点F的坐标，据此即可解答．
【详解】（1）解：由图象可知：线段表示轿车在途中停留了2.5-2=0.5(h)，
故答案为：0.5；
（2）解：由图象可知：点D的坐标为(2.5,80)，点E的坐标为(4.5,300)，
设线段所在直线的函数解析式为，
把点D、E的坐标分别代入解析式，得

解得
故线段对应的函数解析式为；
（3）解：由图象可知：点A的坐标为(5,300)，
设线段OA所在直线的解析式为，
把点A的坐标代入，
得，解得，
故线段OA所在直线的解析式为，

解得，
故点F的坐标为(3.9,234)，
故货车行驶了3.9h时，两车相遇，此时两车距离甲地234km，
轿车到达加油站后又行驶0.4小时追上货车，
轿车到达加油站时，x=3.9-0.4=3.5(h)，
当x=3.5h时，，
所以，甲地与加油站之间的距离为．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，利用待定系数法求一次函数的解析式，从图象中得到相关信息是解决本题的关键．
22．【探究】15°；【拓展】4
【探究】由折叠的性质可知，，，由，可得，可知，进而得出，，利用折叠性质就可求的度数；在中，根据勾股定理可求出，，通过角的计算，可得出，可得出；
【拓展】利用折叠的性质可知四边形是菱形，折叠后构成的六个小的直角三角形全等，可得出，是等边三角形，，由，可得．
【详解】探究：解：∵正方形边长为2，、为、的中点，
∴边长，
沿过点的折痕将纸片翻折，使点落在上的点处，
∴，
∴，
∴，
可得，
沿折叠落在处，
∴，，
∴，
，，
∴，
∴，
，
∴，
∴，
则；
拓展：解：∵四边形是矩形，
∴，
∴∠DFA=∠FAE，∠FCE=∠CEB，
由折叠得∠DFA=∠AFO，∠OEC=∠CEB，
∴∠EAF=∠AFO，∠FEC=∠FCE，
∴EA=EF，EF=FC，
∴EA=FC，
∴DF=EB，
由折叠得DF=OF，BE=OE，
∴OF=OE，
由折叠的性质可知：
，，
∵，，，
∴，
∴
∴A、O、C三点共线，E、O、F三点共线，且AC与EF互相平分，
又∵∠AOF=90°，
∴，
∴四边形是菱形，
结合折叠的性质和菱形的性质，可知：
，，
∴，
∴∠FAE=∠BEC=60°，
∵，
∴是等边三角形，
在中，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质、折叠的性质、菱形的判定及性质、等边三角形的判定及性质等知识，把握正方形、矩形折叠的性质是解决本题的关键．
23．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）解直角三角形求出，，分两种情形：如图中，当点在线段上时，如图中，当点在线段上时，分别求解即可；
（2）如图2中，当点落在上时，，根据，构建方程求解即可；
（3）求出点落在上时的值，即可判断；
（4）分两种情形：如图中，当的面积的面积时，如图3中，当的面积的面积时，分别构建方程求解．
【详解】（1）解：如图中，当点在线段上时，，
在中，，，
，设，，
∴，
解得：，即，，
，
，
．
如图中，当点在线段上时，．
，
，
综上所述，；
（2）如图2中，当点落在上时，，
，
，
解得，，
时，点落在上，此时；
（3）如图2中，当点落在边上时，，
，
解得，．
观察图象可知当时，点落在内部；
（4）如图中，当的面积的面积时，
则有，，
（负根已经舍去）．
当四边形的面积的面积时，的面积的面积，
则有，
（舍去不合题意）（负根舍去），
如图3中，当的面积的面积时，
则有，，
或（舍去），
综上所述，满足条件的的值为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24．(1)；顶点坐标为
(2)两个，理由见解析
(3)
(4)最小值为，的值为3
【分析】（1）利用待定系数法和配方法解答即可；
（2）令，则，利用一元二次方程的判别式大于0解答即可；
（3）利用分类讨论的思想方法分三种情形，利用函数的图象的性质分别求得二次函数的最大与最小值，依据题意列出等式解答即可；
（4）利用勾股定理求得线段的长，利用，的坐标得到的长，则当取得最小值时，四边形的周长最小，将点向左平移四个单位得到，作点关于轴的对称点，连接，利用将军饮马模型即可求得的最小值；利用勾股定理计算得到，则四边形周长的最小值可求，利用待定系数法求得的解析式，令即可求得点坐标，则值可求．
【详解】（1）解：经过点
，
解得：或4．
，
．
此函数的表达式为．
，
此函数图象的顶点坐标为；
（2）图象与轴公共点的个数为两个，理由：
令，则，
，
方程由两个不相等的实数根，
即抛物线图象与轴有两个公共点；
（3），
抛物线的顶点为．
①当时，由于，则，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为，
由题意得：，
解得：，均不符合题意，舍去；
②当时，则，且，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，
由题意得：，符合题意，
当时符合题意；
③时，，
当时，函数取最小值，当时，函数取最大值为5，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
综上，的取值范围为：；
（4）令，则，
解得：或，
点在点左侧，
，．
．
如图，，
当四边形的周长最小时，即最小．
将点向左平移四个单位得到，
则，，
，
四边形为平行四边形，
，
．
作点关于轴的对称点，连接，则，
由将军饮马模型可知：此时，取得最小值为．
，
四边形的周长的最小值为：；
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
此时，
，
．
四边形周长的最小值为，此时的值为3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法确定函数的解析式，配方法求抛物线的顶点坐标，一元二次方程的判别式，抛物线与轴的交点，轴对称的性质，函数的最值，勾股定理，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）