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2023年吉林省吉林市中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年吉林省吉林市中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省吉林市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列数中最小的是( )
A. −2022 B. 2023 C. −2023 D. 2024
2. 如图是某些品牌的LOGO，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 不等式2x+1<3的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4. 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1等.将一元一次方程x+12−1=x3去分母，得( )
A. 3(x+1)−6=2x B. 3(x+1)−1=2x
C. 3x+1−1=2x D. 2(x+1)−6=3x
5. 如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1=65°，∠2=45°，则∠DBC的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 45°
6. 如图，将半径为4的圆形纸片折叠使弧AB经过圆心O，过点O作直径CD⊥AB于点E，点P是半径OD上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
7. 计算：13°14′+5°20′= ______ ．
8. 化简： 18= ______ ．
9. 若x−y=2,xy= 5，则x2y−xy2= ______ ．
10. 小明准备从恒阳大饭店去吉林财富广场，导航提供两条路线，最终小明选择A路线其中蕴含的数学道理是______ ．
11. 如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DB，DC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G；分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN与射线DG交于点P.若∠A=56°，则∠DPN= ______ °.
12. 观察下列单项式：−a，3a2，−5a3，7a4，−9a5，…，按此规律，第6个单项式是______ ．
13. 如图，在扇形ABC中，∠BAC=60°，AB=2，连接BC.若以AB中点O为圆心，OA长为半径画弧交AC，BC于点M，N.则图中阴影部分的面积和是______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共87.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题3.0分)
如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长30m，即OA=30m.水平地面上的点M在旋转中心O的正下方70m，即OM=70m.当风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒EF与影长FG的比为1：2，则此刻风力发电机的影长为______ m.
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2xx−3+xx+3)÷xx2−9，其中x=13．
16. (本小题5.0分)
自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐.如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在D座位，校长和学生乙在A，B，C三个座位中随机选择两个座位.请用画树状图或列表的方法求校长和学生乙坐在正对面的概率．
17. (本小题5.0分)
如图，AB=AD，∠DAC=∠BAE，∠B=∠D，求证BC=DE．
18. (本小题5.0分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某图书馆新购进《九章算术》和《周髀算经》两种书，已知购买1本《九章算术》和2本《周髀算经》需63元；购买2本《九章算术》和购买3本《周髀算经》的价格相同.求这两种书的单价．
19. (本小题7.0分)
图1、图2、图3均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C均在格点上，用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中，作射线BD平分∠ABC，且点D在格点上；
(2)在图2中，作线段BE平分AC，且点E在格点上；
(3)在图3中，作直线BF垂直AC，且点F在格点上．
20. (本小题7.0分)
如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°.另一边开挖点E在直线AC上，求BE的长(结果保留整数). (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)
21. (本小题7.0分)
为继承和弘扬中国优秀传统文化，学校开展了传统文化知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(单位：分)，将数据进行整理和分析(竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及9分以上为优秀)，下面给出部分信息：
七年级学生的竞赛成绩
5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10．
八年级学生的竞赛成绩统计图
七、八年级学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
a
7.9
中位数
7.5
b
众数
9
c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)该校七年级有400名学生参加知识竞赛，八年级有390名学生参加知识竞赛，请估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数．
(3)结合以上数据，评价该校哪个年级知识竞赛的成绩更优异，并给出理由．
22. (本小题7.0分)
如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C(m,4)，与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)求m的值及反比例函数的解析式；
(2)将线段AB沿x轴向右平移得到A′B′，当点B′在反比例函数y=kx(x>0)图象上时，直接写出四边形ABB′A′的面积．
23. (本小题8.0分)
为了解某新能源汽车的充电速度，某数学兴趣小组经研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量y1(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象是折线ABC；用普通充电器时，汽车电池电量y2(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象是线段AD.根据以上信息，回答下列问题：(1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为______ %；(2)求y1与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)若将该汽车电池电量从20%充至90%，快速充电器比普通充电器少用______ h.
24. (本小题8.0分)
【问题背景】
在一次数学实践活动中，张老师将班级学生分成“扶摇”、“惊鸿”、“骐骥”三个小组，运用直角三角尺测量三个不同直尺的宽度.(直尺的每两个长刻度之间的长度是1cm)
【实践探究】
(1)扶摇组同学用含45°的三角尺，提出按照图1的方案，直尺与直角三角尺ABC的边AC重合，另一边分别交AB，BC于点E，F.点A，C，E，F的读数分别为13，20，4.2，0，则该直尺的宽度FC的长为______ cm；
(2)惊鸿组同学用含45°的三角尺，提出按照图2的方案，直尺与直角三角尺ABC的斜边AB重合，另一边分别交AC，BC于点M，N.点A，B，M，N的读数分别为20，10，3，7，求该直尺的宽度；
(3)骐骥组同学用含30°的三角尺，提出按照图3的方案，直尺与直角三角尺ABC斜AB平行，直分别交AC，BC于点S，P，T，Q.点S，T，P，Q的读数分别为20，10，1.8，4.6，∠B=30°，直接写出该直尺的宽度.(结果精确到0.1cm). (参考数据： 3≈1.73)
25. (本小题10.0分)
如图，在正方形ABCD中，AB=4，连接BD.P，Q两点同时分别从点A，D出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿折线A→B→C向终点C运动，点Q以每秒a个单位长度的速度沿线段DB向终点B运动，P，Q两点同时到达终点，连接AP，AQ，PQ.设点P的运动时间为x秒(x>0)，△APQ的面积为y．
(1)a= ______ ；
(2)当A，P，Q三点共线时，x= ______ ；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
26. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点.点P为抛物线上任意一点，其横坐标为m(m≠0)，过点P作PQ⊥y轴，点Q的横坐标为−2m．
(1)求a，b的值；
(2)当点Q在抛物线上时，求m的值；
(3)当线段PQ与抛物线有两个公共点时，直接写出m的取值范围；
(4)过点P作PM⊥x轴，点M的纵坐标为m+1，且点M与点P不重合.连接MQ，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−2023<−2022<2023<2024，
∴所给的数中最小的是−2023．
故选：C．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：2x+1<3，
解得x<1，
在数轴上表示为：
故选：D．
根据不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】A
【解析】解：将一元一次方程x+12−1=x3去分母，得3(x+1)−6=2x．
故选：A．
根据等式的性质，把一元一次方程x+12−1=x3的两边同时乘6，去掉分母即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用．
5.【答案】A
【解析】解：∵MN//EF，
∴∠1+∠CBN=180°，
∵∠1=65°，
∴∠CBN=115°，
∵∠DBC+∠CBN+∠2=180°，∠2=45°，
∴∠DBC=20°，
故选：A．
由平行线的性质求出∠CBN的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质求出∠CBN的度数．
6.【答案】D
【解析】解：如图，当点P与O重合时，
∴AP=AO=4，
当点P与D重合时，
∴AP=AD，
连接AD，
∵将半径为4的圆形纸片折叠使弧AB经过圆心O，
∴OE=12OC=2，OC⊥AB，
∴AE= OA2−OE2=2 3，DE=6，
∴AD= AE2−DE2= (2 3)2+62=4 3，
∴AP的长度的取值范围为4≤AP≤4 3，
∴AP的长度不可能是7，
故选：D．
如图，当点P与O重合时，求得AP=AO=4，当点P与D重合时，得到AP=AD，连接AD，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了相交两圆的性质，勾股定理，折叠的性质，正确地求出AP的长度的取值范围是解题的关键．
7.【答案】18°34′
【解析】解：13°14′+5°20′
=(13°+5°)+(14′+20′)
=18°+34′
=18°34′．
故答案为：18°34′．
根据度分秒的计算方法将度与分分别相加，然后再写成度分秒的形式即可．
此题主要是考查了度分秒的计算与换算，做此类题一定要注意1度等于60分，1分等于60秒，满60要进1．
8.【答案】3 2
【解析】解： 18=3 2．
故答案为：3 2．
根据最简二次根式的定义化简即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．
9.【答案】2 5
【解析】解：∵x−y=2，xy= 5，
∴x2y−xy2=xy(x−y)= 5×2=2 5．
故答案为：2 5．
先因式分解得到原式xy(x−y)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
10.【答案】两点之间线段最短
【解析】解：在同一个平面内，两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
利用两点之间线段最短即可判断出选A的理由．
本题考查线段的性质，两点之间线段最短．知识和实际生活的联系是本题的亮点．
11.【答案】59
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C=56°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD=12(180°−56°)=62°，
∵DP平分∠CDB，
∴∠PDC=12×62°=31°，
∵MN⊥BC，
∴∠DPN=90°−∠PDC=90°−31°=59°．
故答案为：59．
利用菱形的性质求出∠CDB=62°，再根据角平分线的定义求出∠PDC=31°，可得结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的定义，菱形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】−11a6
【解析】解：∵已知单项式系数依次为−1，3，−5，7，−9，字母a的指数为1，2，3，4，5，
∴第六个单项式为(2×6−1)⋅(−a)6，
即第六个单项式为11a6．
故答案为：−11a6．
根据已知算式得出单项式系数依次为−1，3，−5，7，−9，字母a的指数为1，2，3，4，5，再求出答案即可．
本题考查了单项式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
13.【答案】2π3− 3
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∴S阴影部分=S弓形BC=S扇形ABC−S△ABC
=60π×22360−12×2×( 32×2)
=2π3− 3，
故答案为：2π3− 3．
根据AB=AC，∠BAC=60°可判断△ABC是正三角形，再根据扇形面积、弓形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积、弓形面积的计算方法是正确解答的前提．
14.【答案】200
【解析】解：当OA在MO的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，最大高度=OA+OM=30+70=100(米)，
设此刻风力发电机的影长为x米，
由题意得：EFFG=OA+OMx，
即：12=30+70x，
解得：x=200，
经检验：x=200是原方程的根，
∴此刻风力发电机的影长为200米，
故答案为：200．
当OA在MO的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，最大高度=OA+OM=100米，然后设此刻风力发电机的影长为x米，根据题意可：EFFG=OA+OMx，最后进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】解：原式=[2x(x+3)(x+3)(x−3)+x(x−3)(x+3)(x−3)]⋅(x+3)(x−3)x
=2x2+6x+x2−3x(x+3)(x−3)⋅(x+3)(x−3)x
=3x+3，
当x=13时，原式=3×13+3=4．
【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，即AC、CA，
∴校长和学生乙坐在正对面的概率为26=13．
【解析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】证明：∵∠DAC=∠BAE，
∴∠DAC+∠BAD=∠BAE+∠BAD，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC=DE．
【解析】由∠DAC=∠BAE，推导出∠BAC=∠DAE，而∠B=∠D，AB=AD，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABC≌△ADE，得BC=DE．
此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
18.【答案】解：设《九章算术》的单价为x元，《周髀算经》的单价为y元，
由题意可得，x+2y=632x=3y，
解得，x=27y=18，
答：《九章算术》的单价为27元，《周髀算经》的单价为18元．
【解析】根据“购买1本《九章算术》和2本《周髀算经》需63元，购买2本《九章算术》与购买3本《周髀算经》的价格相同”，可得到两个等量关系，列出方程组求解即可．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
19.【答案】解：如图：
(1)如图1：射线BD即为所求；
(2)如图2：线段BE即为所求；
(3)如图3：直线BF即为所求．
【解析】(1)根据网格线的特点作图；
(2)根据网格线的特点及矩形的性质作图；
(3)根据网格线的特点作图；
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及矩形的性质是截图的关键．
20.【答案】解：∵∠ABD是△BED的一个外角，
∴∠ABD=∠E+∠D，
∵∠ABD=140°，∠D=50°，
∴∠E=∠ABD−∠D=90°，
在Rt△BED中，BD=520米，
∴BE=BD⋅sin50°≈520×0.77≈400(米)，
∴BE的长约为400米．
【解析】先利用三角形的外角性质可得∠E=90°，然后在Rt△BED中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】7.5 8.5 9
【解析】解：(1)由题意得，a=120×(5×3+6×3+7×4+8×3+9×5+10×2)=7.5，
八年级学生的竞赛成绩从小到大排列第10、11个数为8，9，
∴b=8+92=8.5；
∵八年级学生的竞赛成绩中，E组的人数最多，
∴c=9．
故答案为：7.5，8.5，9；
(2)400×720+300×(40%+10%)
=140+150
=290(名)，
答：请估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数大约有290名；
(3)八年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异，理由如下：
根据表中可得，八年级的平均数和中位数高于七年级，因此八年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异．
(1)根据加权平均数的计算公式、中位数定义、众数的定义即可找到a、b、c的值；
(2)计算出成绩达到9分及以上的人数的比例即可求解；
(3)比较两个年级的平均数、众数和中位数进行评价即可．
本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C(m,4)，
∴4=m+2，
∴m=2，
∴C(2,4)，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
(2)令x=0，则y=x+2=2，
把y=2代入y=8x，解得x=4，
∴BB′=4，
由题意可知，四边形ABB′A′是平行四边形，
∴四边形ABB′A′的面积S=4×2=8．
【解析】(1)由一次函数的解析式求得C点的坐标，代入y=kx(x>0)，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)求得B(0,2)，把y=2代入反比例函数的解析式即可求得B′(4,2)，然后利用平行四边形的面积公式即可求得四边形ABB′A′的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的面积，求得平移的距离是解题的关键．
23.【答案】20 2.5
【解析】解：(1)由题意可知：
普通充电器对该汽车每小时的充电量为：(100%−20%)÷4=20%，
故答案为：20；
(2)当0≤x≤0.5时
设线段AB的解析式为y1=kx+b(k≠0)，
代入(0,20)，(0.5,80)，得：
b=200.5k+b=80，
解得：k=120b=20，
∴y1=120x+20；
设线段BC的解析式为y1=k′x+b′(k′≠0)，
代入(0.5,80)，(1.5,100)，得：
0.5k′+b′=801.5k′+b′=100，
解得k′=20b′=70，
∴y1=20x+70，
∴y1与x的函数解析式为y1=120x+20(0≤x≤0.5)20x+70(0.5
解得：x=1，
普通充电器所用时间为：
(90−20)÷20=3.5(小时)，
∴快速充电器比普通充电器少用时间为：3.5−1=2.5(h)．
故答案为：2.5．
(1)根据普通充电器4h充电从20%达到100%，即可求出答案；
(2)分别考虑当0≤x≤0.5和0.5
本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
24.【答案】2.8
【解析】解：(1)由题意可知，EF=4.2cm，AC=20−13=7(cm)，
∵∠ACB=90°，∠B=45°，
∴BF=EF=4.2cm，
∵EF//AC，
∴△BFE∽△BCA，
∴BFBC=EFAC，
即4.2BC=4.27，
∴FC=BC−BF=7−4.2=2.8(cm)，
故答案为：2.8；
(2)过C作CD⊥AB于D，交MN于E，
由题意可知，MN=7−3=4(cm)，AB=20−10=10(cm)，
∵MN//AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴CECD=MNAB，
∵∠MCN=90°，CM=CN，CE⊥MN，
∴CE=12MN=2(cm)，
∴2CD=410，
∴CD=5，
∴DE=5−2=3(cm)；
(3)过C作CD⊥AB于D，交PQ于E，交ST于F，
由题意可知，ST=20−1.8=18.2(cm)，PQ=4.6−1.8=2.8(cm)，
∵PQ//ST，
∴△CPQ∽△CST，
∴CECF=PQST，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，
∴CP=12PQ=1.4(cm)，PE=12CP=0.7，CE= 3PE=0.7 3≈1.211，
∴0.7 3CF=2.818.2，
∴CF=9.1 32≈7.8715，
∴FE=7.8715−1.211=6.6605≈6.7(cm)．
(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；
(2)过C作CD⊥AB于D，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；
(3)过C作CD⊥AB于D，利用含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
此题是几何综合题，考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质得出边的关系解答．
25.【答案】 2 2 2
【解析】解：(1)∵P，Q两点同时到达终点，则82=4 2a，
解得a= 2；
故答案为： 2．
(2)∵A、P、Q三点共线，如图所示，
∵正方形ABCD，
∴BC//AD
∴△BPQ∽△DQA，
∴BPDA=BQDQ，
∴2x−44=4 2− 2x 2x，
∴x2=8，
∴x=2 2，或x=−2 2(舍去)，
∴x=2 2，
故答案为：2 2．
(3)如图①，当0
过点Q作QE⊥AB于点E，
∵BQ=4 2− 2x，∠EBQ=45°，
∴QE=BE=4−x．
∴y=12AP⋅QE=12×2x×(4−x)=−x2+4x．
如图②，当2
∴y=S△ABQ+S△PBQ−S△ABP
=12AB⋅EQ+12BP⋅BE−12AB⋅BP
=12×4×(4−x)+12×(4−x)×(2x−4)−12×4×(2x−4)=−x2+8；
图③，当2 2
∴y=S△ABP−S△ABQ−S△PBQ
=12AB⋅BP−12AB⋅EQ−12BE⋅BP
=12×4×(2x−4)−12×(4−x)×4−12×(4−x)(2x−4)=x2−8．
综上所述，y与x的函数解析式为：①y=−x2+4x(0
(2)利用A、P、Q三点共线时，得△BPQ∽△DQA，得到BPDA=BQDQ，可求出x，
(3)根据点P的位置，分三种情况求出y与x的函数解析式．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积的计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx−3，得：
a−b−3=09a+3b−3=0，
解得：a=1b=−2，
∴抛物线的解析式y=x2−2x−3；
(2)抛物线y=x2−2x−3的对称轴是：
x=−−22×1=1，
∵PQ⊥y轴，且点Q在抛物上，
∴点P和点Q关于抛物线对称轴对称，
∴m+(−2m)2=1，
解得：m=−2；
∴m的值为−2；
(3)∵点P的横坐标为m，
∴点P关于对称轴的对称点P′的横坐标为2−m；
①当m<1时，
2−m≤−2m，
解得：m≤−2，
∴m≤−2；
②当m=1时，只有一个交点，显然不符合题意；
③当m>1时，
−2m<2−m，
解得：m>−2，
∴m>1；
∴m≤−2或m>1；
(4)当m<−1时，点M在x轴下方，
由(2)可知：当m≤−2时，线段PQ与抛物线有两个交点，
∴抛物线在△PQM内有两部分，对称轴右侧的部分不符合题意；
当m=−1时，P与M重合，不符合题意；
∴当−2≤m<−1时，抛物线在△PQM内只有对称轴左侧的部分，符合题意，
∴−2≤m<−1；
当m>−1时，点M在x轴上方，同理可求0
(2)根据点P与点Q的位置，由题意可知它们关于对称轴对称，从而求出m的值；
(3)先求出P点关于对称轴的对称点的坐标，线段PQ与图象有两个交点，再结合图象，确定m的取值即可；
(4)分两种情况：m<−1和m>−1，结合图象求出m的取值范围．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
2023年吉林省吉林市中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列数中最小的是( )
A. −2022 B. 2023 C. −2023 D. 2024
2. 如图是某些品牌的LOGO，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 不等式2x+1<3的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4. 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1等.将一元一次方程x+12−1=x3去分母，得( )
A. 3(x+1)−6=2x B. 3(x+1)−1=2x
C. 3x+1−1=2x D. 2(x+1)−6=3x
5. 如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，折射光线BC射到水底C处，点D在AB的延长线上，若∠1=65°，∠2=45°，则∠DBC的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 45°
6. 如图，将半径为4的圆形纸片折叠使弧AB经过圆心O，过点O作直径CD⊥AB于点E，点P是半径OD上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
7. 计算：13°14′+5°20′= ______ ．
8. 化简： 18= ______ ．
9. 若x−y=2,xy= 5，则x2y−xy2= ______ ．
10. 小明准备从恒阳大饭店去吉林财富广场，导航提供两条路线，最终小明选择A路线其中蕴含的数学道理是______ ．
11. 如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DB，DC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点G；分别以点C，D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，直线MN与射线DG交于点P.若∠A=56°，则∠DPN= ______ °.
12. 观察下列单项式：−a，3a2，−5a3，7a4，−9a5，…，按此规律，第6个单项式是______ ．
13. 如图，在扇形ABC中，∠BAC=60°，AB=2，连接BC.若以AB中点O为圆心，OA长为半径画弧交AC，BC于点M，N.则图中阴影部分的面积和是______ ．
三、解答题（本大题共13小题，共87.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14. (本小题3.0分)
如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长30m，即OA=30m.水平地面上的点M在旋转中心O的正下方70m，即OM=70m.当风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒EF与影长FG的比为1：2，则此刻风力发电机的影长为______ m.
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：(2xx−3+xx+3)÷xx2−9，其中x=13．
16. (本小题5.0分)
自《学校食品安全与营养健康管理规定》发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐.如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在D座位，校长和学生乙在A，B，C三个座位中随机选择两个座位.请用画树状图或列表的方法求校长和学生乙坐在正对面的概率．
17. (本小题5.0分)
如图，AB=AD，∠DAC=∠BAE，∠B=∠D，求证BC=DE．
18. (本小题5.0分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某图书馆新购进《九章算术》和《周髀算经》两种书，已知购买1本《九章算术》和2本《周髀算经》需63元；购买2本《九章算术》和购买3本《周髀算经》的价格相同.求这两种书的单价．
19. (本小题7.0分)
图1、图2、图3均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点A，B，C均在格点上，用无刻度的直尺作图．
(1)在图1中，作射线BD平分∠ABC，且点D在格点上；
(2)在图2中，作线段BE平分AC，且点E在格点上；
(3)在图3中，作直线BF垂直AC，且点F在格点上．
20. (本小题7.0分)
如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°.另一边开挖点E在直线AC上，求BE的长(结果保留整数). (参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)
21. (本小题7.0分)
为继承和弘扬中国优秀传统文化，学校开展了传统文化知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩(单位：分)，将数据进行整理和分析(竞赛成绩均为整数，满分为10分，9分及9分以上为优秀)，下面给出部分信息：
七年级学生的竞赛成绩
5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10．
八年级学生的竞赛成绩统计图
七、八年级学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
a
7.9
中位数
7.5
b
众数
9
c
根据以上信息，解答下列问题：
(1)a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)该校七年级有400名学生参加知识竞赛，八年级有390名学生参加知识竞赛，请估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数．
(3)结合以上数据，评价该校哪个年级知识竞赛的成绩更优异，并给出理由．
22. (本小题7.0分)
如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C(m,4)，与x轴，y轴分别交于点A，B．
(1)求m的值及反比例函数的解析式；
(2)将线段AB沿x轴向右平移得到A′B′，当点B′在反比例函数y=kx(x>0)图象上时，直接写出四边形ABB′A′的面积．
23. (本小题8.0分)
为了解某新能源汽车的充电速度，某数学兴趣小组经研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量y1(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象是折线ABC；用普通充电器时，汽车电池电量y2(单位：%)与充电时间x(单位：h)的函数图象是线段AD.根据以上信息，回答下列问题：(1)普通充电器对该汽车每小时的充电量为______ %；(2)求y1与x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)若将该汽车电池电量从20%充至90%，快速充电器比普通充电器少用______ h.
24. (本小题8.0分)
【问题背景】
在一次数学实践活动中，张老师将班级学生分成“扶摇”、“惊鸿”、“骐骥”三个小组，运用直角三角尺测量三个不同直尺的宽度.(直尺的每两个长刻度之间的长度是1cm)
【实践探究】
(1)扶摇组同学用含45°的三角尺，提出按照图1的方案，直尺与直角三角尺ABC的边AC重合，另一边分别交AB，BC于点E，F.点A，C，E，F的读数分别为13，20，4.2，0，则该直尺的宽度FC的长为______ cm；
(2)惊鸿组同学用含45°的三角尺，提出按照图2的方案，直尺与直角三角尺ABC的斜边AB重合，另一边分别交AC，BC于点M，N.点A，B，M，N的读数分别为20，10，3，7，求该直尺的宽度；
(3)骐骥组同学用含30°的三角尺，提出按照图3的方案，直尺与直角三角尺ABC斜AB平行，直分别交AC，BC于点S，P，T，Q.点S，T，P，Q的读数分别为20，10，1.8，4.6，∠B=30°，直接写出该直尺的宽度.(结果精确到0.1cm). (参考数据： 3≈1.73)
25. (本小题10.0分)
如图，在正方形ABCD中，AB=4，连接BD.P，Q两点同时分别从点A，D出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿折线A→B→C向终点C运动，点Q以每秒a个单位长度的速度沿线段DB向终点B运动，P，Q两点同时到达终点，连接AP，AQ，PQ.设点P的运动时间为x秒(x>0)，△APQ的面积为y．
(1)a= ______ ；
(2)当A，P，Q三点共线时，x= ______ ；
(3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
26. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点.点P为抛物线上任意一点，其横坐标为m(m≠0)，过点P作PQ⊥y轴，点Q的横坐标为−2m．
(1)求a，b的值；
(2)当点Q在抛物线上时，求m的值；
(3)当线段PQ与抛物线有两个公共点时，直接写出m的取值范围；
(4)过点P作PM⊥x轴，点M的纵坐标为m+1，且点M与点P不重合.连接MQ，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵−2023<−2022<2023<2024，
∴所给的数中最小的是−2023．
故选：C．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】D
【解析】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3.【答案】D
【解析】解：2x+1<3，
解得x<1，
在数轴上表示为：
故选：D．
根据不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
4.【答案】A
【解析】解：将一元一次方程x+12−1=x3去分母，得3(x+1)−6=2x．
故选：A．
根据等式的性质，把一元一次方程x+12−1=x3的两边同时乘6，去掉分母即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，注意等式的性质的应用．
5.【答案】A
【解析】解：∵MN//EF，
∴∠1+∠CBN=180°，
∵∠1=65°，
∴∠CBN=115°，
∵∠DBC+∠CBN+∠2=180°，∠2=45°，
∴∠DBC=20°，
故选：A．
由平行线的性质求出∠CBN的度数，由平角定义即可求出∠DBC的度数．
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质求出∠CBN的度数．
6.【答案】D
【解析】解：如图，当点P与O重合时，
∴AP=AO=4，
当点P与D重合时，
∴AP=AD，
连接AD，
∵将半径为4的圆形纸片折叠使弧AB经过圆心O，
∴OE=12OC=2，OC⊥AB，
∴AE= OA2−OE2=2 3，DE=6，
∴AD= AE2−DE2= (2 3)2+62=4 3，
∴AP的长度的取值范围为4≤AP≤4 3，
∴AP的长度不可能是7，
故选：D．
如图，当点P与O重合时，求得AP=AO=4，当点P与D重合时，得到AP=AD，连接AD，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了相交两圆的性质，勾股定理，折叠的性质，正确地求出AP的长度的取值范围是解题的关键．
7.【答案】18°34′
【解析】解：13°14′+5°20′
=(13°+5°)+(14′+20′)
=18°+34′
=18°34′．
故答案为：18°34′．
根据度分秒的计算方法将度与分分别相加，然后再写成度分秒的形式即可．
此题主要是考查了度分秒的计算与换算，做此类题一定要注意1度等于60分，1分等于60秒，满60要进1．
8.【答案】3 2
【解析】解： 18=3 2．
故答案为：3 2．
根据最简二次根式的定义化简即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键．
9.【答案】2 5
【解析】解：∵x−y=2，xy= 5，
∴x2y−xy2=xy(x−y)= 5×2=2 5．
故答案为：2 5．
先因式分解得到原式xy(x−y)，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
10.【答案】两点之间线段最短
【解析】解：在同一个平面内，两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
利用两点之间线段最短即可判断出选A的理由．
本题考查线段的性质，两点之间线段最短．知识和实际生活的联系是本题的亮点．
11.【答案】59
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C=56°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠CBD=12(180°−56°)=62°，
∵DP平分∠CDB，
∴∠PDC=12×62°=31°，
∵MN⊥BC，
∴∠DPN=90°−∠PDC=90°−31°=59°．
故答案为：59．
利用菱形的性质求出∠CDB=62°，再根据角平分线的定义求出∠PDC=31°，可得结论．
本题考查作图−基本作图，角平分线的定义，菱形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12.【答案】−11a6
【解析】解：∵已知单项式系数依次为−1，3，−5，7，−9，字母a的指数为1，2，3，4，5，
∴第六个单项式为(2×6−1)⋅(−a)6，
即第六个单项式为11a6．
故答案为：−11a6．
根据已知算式得出单项式系数依次为−1，3，−5，7，−9，字母a的指数为1，2，3，4，5，再求出答案即可．
本题考查了单项式，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
13.【答案】2π3− 3
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC=2，
∴S阴影部分=S弓形BC=S扇形ABC−S△ABC
=60π×22360−12×2×( 32×2)
=2π3− 3，
故答案为：2π3− 3．
根据AB=AC，∠BAC=60°可判断△ABC是正三角形，再根据扇形面积、弓形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积、弓形面积的计算方法是正确解答的前提．
14.【答案】200
【解析】解：当OA在MO的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，最大高度=OA+OM=30+70=100(米)，
设此刻风力发电机的影长为x米，
由题意得：EFFG=OA+OMx，
即：12=30+70x，
解得：x=200，
经检验：x=200是原方程的根，
∴此刻风力发电机的影长为200米，
故答案为：200．
当OA在MO的延长线时，风力发电机叶片外端点A离地面的高度最大，最大高度=OA+OM=100米，然后设此刻风力发电机的影长为x米，根据题意可：EFFG=OA+OMx，最后进行计算即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15.【答案】解：原式=[2x(x+3)(x+3)(x−3)+x(x−3)(x+3)(x−3)]⋅(x+3)(x−3)x
=2x2+6x+x2−3x(x+3)(x−3)⋅(x+3)(x−3)x
=3x+3，
当x=13时，原式=3×13+3=4．
【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
16.【答案】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，即AC、CA，
∴校长和学生乙坐在正对面的概率为26=13．
【解析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中校长和学生乙坐在正对面的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】证明：∵∠DAC=∠BAE，
∴∠DAC+∠BAD=∠BAE+∠BAD，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠DAB=AD∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA)，
∴BC=DE．
【解析】由∠DAC=∠BAE，推导出∠BAC=∠DAE，而∠B=∠D，AB=AD，即可根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABC≌△ADE，得BC=DE．
此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
18.【答案】解：设《九章算术》的单价为x元，《周髀算经》的单价为y元，
由题意可得，x+2y=632x=3y，
解得，x=27y=18，
答：《九章算术》的单价为27元，《周髀算经》的单价为18元．
【解析】根据“购买1本《九章算术》和2本《周髀算经》需63元，购买2本《九章算术》与购买3本《周髀算经》的价格相同”，可得到两个等量关系，列出方程组求解即可．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
19.【答案】解：如图：
(1)如图1：射线BD即为所求；
(2)如图2：线段BE即为所求；
(3)如图3：直线BF即为所求．
【解析】(1)根据网格线的特点作图；
(2)根据网格线的特点及矩形的性质作图；
(3)根据网格线的特点作图；
本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及矩形的性质是截图的关键．
20.【答案】解：∵∠ABD是△BED的一个外角，
∴∠ABD=∠E+∠D，
∵∠ABD=140°，∠D=50°，
∴∠E=∠ABD−∠D=90°，
在Rt△BED中，BD=520米，
∴BE=BD⋅sin50°≈520×0.77≈400(米)，
∴BE的长约为400米．
【解析】先利用三角形的外角性质可得∠E=90°，然后在Rt△BED中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】7.5 8.5 9
【解析】解：(1)由题意得，a=120×(5×3+6×3+7×4+8×3+9×5+10×2)=7.5，
八年级学生的竞赛成绩从小到大排列第10、11个数为8，9，
∴b=8+92=8.5；
∵八年级学生的竞赛成绩中，E组的人数最多，
∴c=9．
故答案为：7.5，8.5，9；
(2)400×720+300×(40%+10%)
=140+150
=290(名)，
答：请估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数大约有290名；
(3)八年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异，理由如下：
根据表中可得，八年级的平均数和中位数高于七年级，因此八年级参加知识竞赛的学生的竞赛成绩更优异．
(1)根据加权平均数的计算公式、中位数定义、众数的定义即可找到a、b、c的值；
(2)计算出成绩达到9分及以上的人数的比例即可求解；
(3)比较两个年级的平均数、众数和中位数进行评价即可．
本题考查中位数、众数定义、用样本去估算总体．关键在于从图中获取信息，结合中位数、众数进行作答．
22.【答案】解：(1)∵一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C(m,4)，
∴4=m+2，
∴m=2，
∴C(2,4)，
∴k=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
(2)令x=0，则y=x+2=2，
把y=2代入y=8x，解得x=4，
∴BB′=4，
由题意可知，四边形ABB′A′是平行四边形，
∴四边形ABB′A′的面积S=4×2=8．
【解析】(1)由一次函数的解析式求得C点的坐标，代入y=kx(x>0)，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)求得B(0,2)，把y=2代入反比例函数的解析式即可求得B′(4,2)，然后利用平行四边形的面积公式即可求得四边形ABB′A′的面积．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，平行四边形的面积，求得平移的距离是解题的关键．
23.【答案】20 2.5
【解析】解：(1)由题意可知：
普通充电器对该汽车每小时的充电量为：(100%−20%)÷4=20%，
故答案为：20；
(2)当0≤x≤0.5时
设线段AB的解析式为y1=kx+b(k≠0)，
代入(0,20)，(0.5,80)，得：
b=200.5k+b=80，
解得：k=120b=20，
∴y1=120x+20；
设线段BC的解析式为y1=k′x+b′(k′≠0)，
代入(0.5,80)，(1.5,100)，得：
0.5k′+b′=801.5k′+b′=100，
解得k′=20b′=70，
∴y1=20x+70，
∴y1与x的函数解析式为y1=120x+20(0≤x≤0.5)20x+70(0.5
解得：x=1，
普通充电器所用时间为：
(90−20)÷20=3.5(小时)，
∴快速充电器比普通充电器少用时间为：3.5−1=2.5(h)．
故答案为：2.5．
(1)根据普通充电器4h充电从20%达到100%，即可求出答案；
(2)分别考虑当0≤x≤0.5和0.5
本题考查一次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
24.【答案】2.8
【解析】解：(1)由题意可知，EF=4.2cm，AC=20−13=7(cm)，
∵∠ACB=90°，∠B=45°，
∴BF=EF=4.2cm，
∵EF//AC，
∴△BFE∽△BCA，
∴BFBC=EFAC，
即4.2BC=4.27，
∴FC=BC−BF=7−4.2=2.8(cm)，
故答案为：2.8；
(2)过C作CD⊥AB于D，交MN于E，
由题意可知，MN=7−3=4(cm)，AB=20−10=10(cm)，
∵MN//AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴CECD=MNAB，
∵∠MCN=90°，CM=CN，CE⊥MN，
∴CE=12MN=2(cm)，
∴2CD=410，
∴CD=5，
∴DE=5−2=3(cm)；
(3)过C作CD⊥AB于D，交PQ于E，交ST于F，
由题意可知，ST=20−1.8=18.2(cm)，PQ=4.6−1.8=2.8(cm)，
∵PQ//ST，
∴△CPQ∽△CST，
∴CECF=PQST，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，
∴CP=12PQ=1.4(cm)，PE=12CP=0.7，CE= 3PE=0.7 3≈1.211，
∴0.7 3CF=2.818.2，
∴CF=9.1 32≈7.8715，
∴FE=7.8715−1.211=6.6605≈6.7(cm)．
(1)根据相似三角形的判定和性质解答即可；
(2)过C作CD⊥AB于D，利用等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可；
(3)过C作CD⊥AB于D，利用含30°角的直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
此题是几何综合题，考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，关键是根据等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质得出边的关系解答．
25.【答案】 2 2 2
【解析】解：(1)∵P，Q两点同时到达终点，则82=4 2a，
解得a= 2；
故答案为： 2．
(2)∵A、P、Q三点共线，如图所示，
∵正方形ABCD，
∴BC//AD
∴△BPQ∽△DQA，
∴BPDA=BQDQ，
∴2x−44=4 2− 2x 2x，
∴x2=8，
∴x=2 2，或x=−2 2(舍去)，
∴x=2 2，
故答案为：2 2．
(3)如图①，当0
过点Q作QE⊥AB于点E，
∵BQ=4 2− 2x，∠EBQ=45°，
∴QE=BE=4−x．
∴y=12AP⋅QE=12×2x×(4−x)=−x2+4x．
如图②，当2
∴y=S△ABQ+S△PBQ−S△ABP
=12AB⋅EQ+12BP⋅BE−12AB⋅BP
=12×4×(4−x)+12×(4−x)×(2x−4)−12×4×(2x−4)=−x2+8；
图③，当2 2
∴y=S△ABP−S△ABQ−S△PBQ
=12AB⋅BP−12AB⋅EQ−12BE⋅BP
=12×4×(2x−4)−12×(4−x)×4−12×(4−x)(2x−4)=x2−8．
综上所述，y与x的函数解析式为：①y=−x2+4x(0
(2)利用A、P、Q三点共线时，得△BPQ∽△DQA，得到BPDA=BQDQ，可求出x，
(3)根据点P的位置，分三种情况求出y与x的函数解析式．
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形的面积的计算，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
26.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx−3，得：
a−b−3=09a+3b−3=0，
解得：a=1b=−2，
∴抛物线的解析式y=x2−2x−3；
(2)抛物线y=x2−2x−3的对称轴是：
x=−−22×1=1，
∵PQ⊥y轴，且点Q在抛物上，
∴点P和点Q关于抛物线对称轴对称，
∴m+(−2m)2=1，
解得：m=−2；
∴m的值为−2；
(3)∵点P的横坐标为m，
∴点P关于对称轴的对称点P′的横坐标为2−m；
①当m<1时，
2−m≤−2m，
解得：m≤−2，
∴m≤−2；
②当m=1时，只有一个交点，显然不符合题意；
③当m>1时，
−2m<2−m，
解得：m>−2，
∴m>1；
∴m≤−2或m>1；
(4)当m<−1时，点M在x轴下方，
由(2)可知：当m≤−2时，线段PQ与抛物线有两个交点，
∴抛物线在△PQM内有两部分，对称轴右侧的部分不符合题意；
当m=−1时，P与M重合，不符合题意；
∴当−2≤m<−1时，抛物线在△PQM内只有对称轴左侧的部分，符合题意，
∴−2≤m<−1；
当m>−1时，点M在x轴上方，同理可求0
(2)根据点P与点Q的位置，由题意可知它们关于对称轴对称，从而求出m的值；
(3)先求出P点关于对称轴的对称点的坐标，线段PQ与图象有两个交点，再结合图象，确定m的取值即可；
(4)分两种情况：m<−1和m>−1，结合图象求出m的取值范围．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
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