第十章 复数（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷（人教B版2019必修第四册）

第十章 复数（B卷·能力提升练）

班级          姓名        学号          分数______            

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z满足（为虚数单位），则复平面内的共轭复数对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【详解】,

,

，其在复平面内对应的点为，在第三象限.

故选：C.

2．已知，则（    ）

A． B．9 C．7 D．

【答案】B

【详解】由，根据复数的运算法则，可得 ，

所以，所以.

故选：B.

3．若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由得，

所以z在复平面内对应的点为.

故选：D.

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】∵，则，

∴.

故选：A.

5．已知、，且，若，则的最大值是（    ）．

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【详解】设，，故，，则，

，

，当时，有最大值为4.

故选：C

6．复平面上复数满足，则复数对应的点的轨迹是（    ）．

A．抛物线 B．直线 C．线段 D．圆

【答案】C

【详解】设，

因为，所以，

该式表示动点到定点的距离之和为（与两定点间的距离相等），

所以复数对应的点的轨迹为以为端点的线段.

故选：C.

7．复数满足，则的范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】设，则.

则.

则.

故选：C

8．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，且，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【详解】因为方程有两个虚根和，

所以，则，

又由求根公式知两虚根为，，

所以，则，解得，满足要求，

所以.

故选：C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知复数，满足，，则，（    ）

A． B．在复平面内对应的点位于第三象限

C．为纯虚数 D．的共轭复数为

【答案】ABD

【详解】因为，，则，，

解得，A正确；

复数在复平面内对应的点位于第三象限，B正确；

，则为实数，C错误；

，所以的共轭复数为，D正确.

故选：ABD

10．已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（    ）

A．若为纯虚数，则 B．若，则

C．若，则的最大值为2 D．

【答案】BCD

【详解】对于A，为纯虚数，所以，即，所以A错误；

对于B，，

因为，所以，从而，所以正确；

对于C， 由复数模的三角不等式可得，所以C正确；

对于D，，所以D正确.

故选：BCD．

11．设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ）

A．

B．若，则

C．若，则

D．若，则的最大值为

【答案】AD

【详解】因为，所以，A正确；

由题意可知，若，若，则，B错误；

若，则，即，

故，

即仅当时，，时，，C错误；

，故，即，

则表示圆上的点到原点的距离，

故的最大值为，D正确，

故选: .

12．已知（，是虚数单位），，定义：，则下列结论正确的是（    ）

A．对任意，都有

B．若是z的共轭复数，则恒成立

C．若，则

D．对任意，则恒成立

【答案】BD

【详解】对于A，当时，，故A错误；

对于B，，则，则，故B正确；

对于C，若，则错误，如，满足

,但，故C错误；

对于D，设，则

，，，由，，得恒成立，故D正确．

故选：BD．

三．填空题 本题共4小题，每小题5分，共20分

13．复数与在复平面上对应的向量分别为与，已知，，且，则复数______.

【答案】或

【详解】依题意，，设，

由得：，由得：，

联立解得或，即或，

所以或.

故答案为：或

14．已知，关于z的方程有四个复数根．若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数m的值为________．

【答案】

【详解】设根为的根为，

由题意，即且．

①当时，均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾；

②当时，为实数且为虚数，且，

所以；

此时，故或，

且或，

这四个点为以为中心，且对角线的方程分别为，，对角线的长度为的正方形的顶点.

③当时，均为虚数，

因为为实数，故为共轭复数且，故的实部为，

同理的实部为，，即四个对应点均在直线，这与题设矛盾．

综上：．

故答案为：.

15．已知，且，为虚数单位，则的最大值是__．

【答案】8

【详解】解：因为且，

所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆，

所以，表示圆上的点和点的距离，

因为圆心到点的距离为，

，

故答案为：

16．设且，满足，则的取值范围为________________．

【答案】

【详解】设，

，则，

所以，

，所以，

即对应点在以为圆心，半径为的圆上.

，对应点为，

与关于对称，

所以点在以为圆心，半径为的圆上，

表示与两点间的距离，

圆与圆相交，圆心距为，如图所示，

所以的最小值为，最大值为，

所以的取值范围为.

故答案为：

四、解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设.

(1)证明：；

(2)在复数范围内，利用公式解方程.

【详解】（1），

故.

（2），即，即

则或，

当，，

当，或

故方程的根为1或或.

18．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为，向量对应的复数为，向量对应的复数为，求：

(1)点D对应的复数；

(2)平行四边形ABCD的面积．

【详解】（1）向量对应的复数为,所以向量，

对应的复数为,所以向量，

，

，

，

点对应的复数为5 .

（2），

，

，，

.

故平行四边形面积为7.

19．求证：复平面内分别与复数，，，对应的四点、、、共圆．

【详解】由复数，，，得，，，，点、、、在以原点为圆心，以1为半径的圆周上，即复数所对应的四点、、、共圆．

20．对于复数，，称复数是关于的变换．

(1)计算复数关于的变换的结果；

(2)若复数关于的变换在复平面上所对应的点在线段上，求．

【详解】（1）因为 ，

即复数关于的变换的结果为.

（2）

 ，

 因为 .

所以 , .

 又因为 满足题意.

故 .

21．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则．已知的辐角主值为，的辐角主值为，利用棣莫弗定理猜测的辐角，并证明．

【答案】；证明见解析

【详解】猜想的辐角为，证明如下：

依题意，得，，

所以

，

故的辐角主值为，则其辐角为.

22．已知复数，，其中i是虚数单位，．

(1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值；

(2)求的值域．

【详解】（1），是实系数一元二次方程的两个虚根，

则，解之得

则，，

则，

（2），，

则，

由，可得

则的值域为．