高二下学期期中数学考试模拟卷01-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）

高二下学期期中数学考试模拟卷01

一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系式是，则质点在时的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据导数的物理意义，对运动方程求导得，

令，得，即质点在时的瞬时速度，

故选：A．

2．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．函数在上单调递减

B．函数在处取得最大值

C．函数在上单调递减

D．在区间内的函数值为负

【答案】C

【解析】由图象可得：当或时，；当或时，；

故的单调递增区间为，单调递减区间为，

故A错误，C正确；

函数在处取得极大值，不一定是最大值，B错误；

根据题意只能得到的符号，以及的单调区间，无法判断的符号，D错误；

故选：C.

3．（贵州省遵义市第一中学等校2022-2023学年高二下学期第一次月考数学试题）的展开式中常数项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】的展开式通项为，

令，可得，

所以，展开式通项为.

故选：A.

4．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）某学校有6个数学兴趣小组，每个小组都配备1位指导老师，现根据工作需要，学校准备将其中4位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2位指导老师仍在原来的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1位指导老师，则不同的调整方案为（    ）

A．135种 B．360种 C．90种 D．270种

【答案】A

【解析】根据题意，6个数学兴趣小组有位指导老师仍在原来的兴趣小组，则不做调整的两个小组有种情况，

其余的4个小组的指导老师由原来的小组均相应地调整到其他数学兴趣小组，

假设4个小组为1、2、3、4，对应的4位指导老师依次为、、、，

不能在第1小组，有3种情况，假设分到第2小组，则有3种情况，剩下的两人有1种情况，

则其余的4个小组有种调整方案，

故有种调整方案，

故选：A．

5．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）已知离散型随机变量的分布列，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知离散型随机变量的分布列，

则，

由可得或，

故,

故选：A

6．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）某科研院校培育蜜橘新品种，新培育的蜜橘单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种蜜橘10000个，估计单果质量不大于的蜜橘个数为（    ）

附：若，则．

A．8413 B．9772 C．9974 D．9987

【答案】D

【解析】由可知，，

故估计单果质量不大于的蜜橘个数为．

故选：D.

7．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）“锦里开芳宴，兰缸艳早年.”元宵节是中国非常重要的传统节日，某班级准备进行“元宵福气到”抽奖活动福袋中装有标号分别为1， 2， 3， 4， 5的五个相同小球，从袋中一次性摸出三个小球，若号码之和是3的倍数，则获奖.若有5名同学参与此次活动，则恰好3人获奖的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】每次抽奖中，总情况数为种，获奖的共有这4种，所以，设5人中获奖人数为，则，

所以，

故选：C.

8．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设函数，，

所以则，所以在上单调递减，

因为，，，

因此，则，即，

当时，由，得，

因此，所以，即，

故，即，故．

故选：B

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得3分．

9．（2023春·山东烟台·高二统考阶段练习）已知事件满足，则（    ）

A．若，则

B．若与互斥，则

C．若，则与相互独立

D．若与相互独立，则

【答案】BC

【解析】对A，因为，所以，错误；

对B，因为与互斥，所以，正确；

对C，因为，所以，而，

所以，正确；

对D，因为与相互独立，所以与相互独立，所以，

，错误．

故选：BC.

10．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）设，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．展开式中二项式系数最大的项是第5项 D．

【答案】BD

【解析】对于A，令得，故A不正确；

对于B，令得，

而由A知：，因此，故B正确；

对于C，因为的展开式中二项式系数最大的项是第6项，故C不正确；

对于D，因为的展开式中，，

所以，，

因此，，所以，故D正确．

故选：BD.

11．（2023春·山西忻州·高三校联考开学考试）已知函数，则（    ）

A．恒成立 B．是上的增函数

C．在取得极小值 D．只有一个零点

【答案】BCD

【解析】因为，该函数的定义域为，，

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

所以，故B正确，C正确；

当时，，此时，A错误；

由，可得，解得，D正确．

故选：BCD

12．（2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【解析】令，则，

由已知可得，即在上单调递减.

所以，

故，，即C、D选项正确.

故选：CD

三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．（2023春·山东烟台·高二统考阶段练习）甲､乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局，且每一局比赛甲赢的概率都是，随机变量表示最终比赛的局数，若，则的最大值为__________.

【答案】##

【解析】依题可知，随机变量的取值可能为，

，

，

所以，

而，所以当时，的最大值为．

故答案为：．

14．（2023春·浙江金华·高二校考阶段练习）若，则______.

【答案】6

【解析】因为，，

所以.

由，得（舍去）或.

故答案为：.

15．（2023·全国·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，则______．

【答案】

【解析】为定义在上的奇函数，，

即，

恒成立，，解得，

，，

.

故答案为：.

16．（河南省郑州市2023届高三第二次质量预测理科数学试题）关于函数，，有如下4个结论：

①在上单调递增；②有三个零点；③有两个极值点；④有最大值．

其中所有正确结论的序号是______．

【答案】①②④

【解析】，，

当时，，所以在上单调递增，故①正确；

令，

则，解得：，

因为，所以.所以在有三个零点，故②正确；

当或时，，，

当或时，，，

所以在，上单调递增，在或上单调递减，

故和为的极大值点，和为的极小值点，

故在有3个极值点，故③不正确；

所以在有最大值为，

故④正确.

故选：①②④.

四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（2021秋·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数，．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论的单调性．

【解析】（1）当时，，则，，又，

在点处的切线方程为：，即.

（2）由题意得：定义域为，；

当时，，在上单调递增；

当时，若，则；若，则；

在上单调递增，在上单调递减；

当时，若，则；若，则；

在上单调递增，在上单调递减；

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

18．（2022秋·福建漳州·高二统考期末）在以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.条件①：第3项与第7项的二项式系数相等；条件②：只有第5项的二项式系数最大；条件③：所有项的二项式系数的和为256.问题：在的展开式中，_________.

(1)求的值；

(2)若展开式中的常数项为112，求展开式中的系数.

【解析】（1）选①，， ；

选②，∵只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，；

选③，∵所有项的二项式系数的和为256，， .

（2）二项式的展开式的通项公式为

，令得，

∴展开式中的常数项为， 得，又，

的展开式的通项公式为，

令得， ，

∴展开式中的系数为.

19．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）随机抽取100名男学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示

(1)求身高在170cm及以上的学生人数；

(2)估计该校100名学生身高的75%分位数.

(3)据统计，身高在，，时，体重超过70kg概率分别为、、.现在从身高在[170，185]的学生中任选一个学生，估计其体重超过70kg的概率.

【解析】（1）由频率分布直方图可知，解得.

身高在170cm及以上的学生人数.

（2）的人数占比为，

的人数占比为，

所以该校100名生学身高的75%分位数落在.

设该校100名生学身高的75%分位数为x.

则%， 解得，

故该校100名生学身高的75%分位数为176.25.

（3）设从身高在[170，185]的学生中任选一个身高在，，分别为事件，，，

体重超过70kg为事件B．

则，，两两互斥，且，

由条件知，

，

由全概率公式可知

.

20．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数．

(1)当时，求函数的极值；

(2)求当时，函数在区间上的最小值．

【解析】（1）当时，函数．

则，

令，得或         

当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

则在处取得极大值，在处取得极小值．

极大值为，极小值为.

（2）函数的定义域是，

．

当时，令有两个解，或．    

当，即时，，∴在上单调递减，

∴在上的最小值是，

当，即时，

当时，，∴在上单调递减，

当时，，∴在上单调递增，

∴在上的最小值是，        

当，即时，，，∴在上单调递增，    

∴在上的最小值是．

综上，

21．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．

(1)求这人中至多有人通过初赛的概率；

(2)求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；

(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：

方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励元；

方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．

若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．

【解析】1）解：人全通过初赛的概率为，

所以，这人中至多有人通过初赛的概率为.

（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，

丙参加市知识竞赛的概率为，

所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.

（3）解：方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，

所以元，

方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、、、，

则，

，

，

，

所以，.

所以，，

所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．

22．（2023·山西·校联考模拟预测）设函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若当时，不等式恒成立，求m的取值范围．

【解析】1）依题意得．

①当时，令，得，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

②当时，令，得，令，得或，

所以在上单调递减，在和上单调递增；

③当时在上恒成立，所以在上单调递增；

④当时，令，得，令，得或，

所以在上单调递减，在和上单调递增．

（2）当时，恒成立，则恒成立．

（i）当时，不等式即，满足条件．

（ii）当时，原不等式可化为，该式对任意恒成立．

设，则．

设，则．

因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增．

又因为，所以是在上的唯一零点，

所以当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，

所以当时，，所以．

（iii）当时，原不等式可化为，

此时对于（ii）中的函数，可知当时，，

所以在上单调递减，且，

所以当时，，即，所以在上单调递减，

所以当时，，所以．

综上所述，m的取值范围是．