高一下学期期中数学考试模拟卷01-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

绝密★考试结束前

2022-2023学年高一下学期期中数学考试卷01

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

（考试范围：必修第二册第6章至第8章8.3）

姓名___________       班级_________       考号_______________________

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第四象限        B．第二象限        C．第三象限        D．第一象限

【答案】D

【解析】由题意得，

所以z在复平面内对应的点为(3,1)，位于第一象限.故选：D

2．（2022春·浙江杭州·高一学军中学校考期中）下列判断正确的是（    ）

A．圆锥的侧面展开图可以是一个圆面

B．底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥

C．一个西瓜切3刀最多可切成8块

D．过球面上任意两不同点的大圆有且只有一个

【答案】C

【解析】选项A，由圆锥的母线一定比底面半径大，

可得圆锥的侧面展开图是一个圆心角不超过的扇形，A错误；

选项B，底面是等边三角形，三个侧面都是等腰三角形的三棱锥的侧棱长不一定相等，

故不一定是正三棱锥，B错误；

一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，

按照如图的方法切割可得最多块数，故C正确；

当两个点为球的两个极点，则过两点的大圆有无数个，故D错误.故选：C

3．（2021春·陕西渭南·高一统考期中）在平面直角坐标系xOy中，点，，且P是线段的一个三等分点（靠近点），则向量（    ）

A．        B．        C．或        D．或

【答案】A

【解析】因为P是线段的一个三等分点（靠近点），

所以，又因为点，，

所以，则，

所以，故选：.

4．（2022春·河北·高一校联考期中）如图，水平放置的的斜二测直观图为，已知，则的周长为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】由直观图可还原如下图所示，

其中，，，

，

的周长为.故选：B.

5．（2022春·江西萍乡·高一统考期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ）

A．和         B．和

C．和        D．和

【答案】C

【解析】由于是平面内所有向量的一组基底，故不共线，

对于A， 和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；

对于B，和没有倍数关系，故二者不共线，可作为作为平面的一组基底；

对于C，因为，即和共线，不能作为基底；

对于D，，故和没有倍数关系，

故二者不共线，可作为平面的一组基底；故选：C

6．（2022春·福建漳州·高一漳州三中校考期中）P是所在平面上一点，满足，则的形状是（    ）

A．等腰直角三角形        B．直角三角形        C．等腰三角形        D．等边三角形

【答案】B

【解析】由，可得，

即， ，

等式两边平方，化简得，，

因此，是直角三角形.故选：B.

7．（2022春·吉林长春·高一校考期中）已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（    ）

A．3        B．2        C．1        D．4

【答案】A

【解析】若,即,点为圆上的点，

，

则其几何意义为圆上的点到点之间的距离，

则的最大值为故选：A.

8．（2022春·河南南阳·高一统考期中）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】依题意，作出图形，

因为点是的重心，所以是的中点，故，

由已知得，

因为，所以，

又因为点是的重心，

所以，则，

又因为，

所以，则，

又由余弦定理得，所以，

整理得，

因为，令，则，

所以，则.故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（2022春·江苏盐城·高一校考期中）下列说法错误的是（    ）

A．零向量没有方向

B．零向量与零向量共线

C．若，，则

D．温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量

【答案】AD

【解析】对于A，根据零向量的性质可知，零向量可以是任意方向的，故A错误；

对于B，根据零向量的性质可知，零向量与任意向量共线，故B正确；

对于C，根据向量的性质可知，若，则，故C正确；

对于D，温度只有正负，没有方向，则温度为数量，故D错误；故选：AD.

10．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）下列说法中正确的有（    ）

A．已知在上的投影向量为且，则；

B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；

C．若非零向量满足，则与的夹角是.

D．在中，若，则为锐角；

【答案】AC

【解析】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，

所以，即，所以，故A正确；

因为，则，

又因为与夹角为锐角，所以，且与不共线，

即，解得，所以则的取值范围是，故B错误；

因为，两边同时平方得，即，

所以，即，

因此，

又因为向量夹角的范围是，所以，故C正确；

因为，所以，

因为，故，又因为，故，

因此为钝角，故D错误，故选：AC.

11．（2022春·广东深圳·高一校考期中）在中，角所对的边分别为，下列说法中正确的是（    ）

A．若，则        B．若，则为等腰直角三角形

C．             D．若，则为钝角三角形

【答案】ACD

【解析】对于A，若，所以，利用正弦定理可得，

所以，故A正确；

对于B，由于，利用正弦定理可得，

整理得，即，所以或，

所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；

对于C，由正弦定理，

所以，故C正确；

对于D，由于，

所以

，

因为，所以中必有一个钝角，故为钝角三角形，故D正确.故选：ACD.

12．（2022春·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（    ）

A．正方体外接球的半径为

B．点P在线段AB上运动，则四面体的体积不变

C．与所有12条棱都相切的球的体积为

D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是

【答案】BC

【解析】对于A，由正方体的性质可知正方体外接球的直径为其体对角线，

故正方体外接球的半径为，故A错误；

对于B，点在线段上运动，则四面体的高为1，底面积不变，

则体积不变，故B正确；

对于C，与所有12条棱都相切的球的直径等于面的对角线，

则，，则球的体积，故C正确；

对于D，正方体的内切球为正方体的中心，内切球的半径为，

可知线段长度的最小值是到球心的距离减去内切球的半径，

正方体的棱长为1，

，到球心的距离为，所以的最小值是，故D错误.故选：BC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（2022春·河南濮阳·高一统考期中）已知复数，则复数___________.

【答案】

【解析】.

因为，而，

所以，所以.

14．（2022春·上海浦东新·高一上海市川沙中学校考期中）已知，，向量在上的投影向量为__.

【答案】

【解析】向量在上的投影向量为.

15．（2022春·云南·高一云南师大附中校考期中）“牟和方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体，它是由两个相同的圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体（如图），如图所示的“四脚帐篷”类似于“牟和方盖”的一部分，其中APC与BPD为相互垂直且全等的半圆面，它们的圆心为O，半径为2．用平行于底面ABCD的平面去截“四脚帐篷”，当平面经过OP的中点时，截面图形的面积为________

【答案】6

【解析】由题意得，底面是边长为的正方形，

因为APC与BPD为相互垂直且全等的半圆面，

所以平面与各半圆的相交线段相等且垂直，所以其截面为正方形，

因为平面经过OP的中点，

所以平面与各半圆的相交线段的长度为，

所以截面图形的面积为.

16．（2022春·江苏南京·高一中华中学校考期中）在中，角，，所对的边为，，，若，且的面积，则的取值范围是_______.

【答案】

【解析】由，，

又，所以，

，，，

，．

，，

由正弦定理得，

所以

，

因为，所以，所以，

，．

四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2022秋·浙江杭州·高一校联考期中）已知

（1）求;

（2）设的夹角为，求的值;

（3）若向量与互相垂直，求的值.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）因为，

所以；

（2）由题意得，

，

故；

（3）因为向量与互相垂直，故，

即.

18．（2021春·江苏苏州·高一统考期中）已知复数（，是虚数单位）.

（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数的取值范围；

（2）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1），，

因为在复平面内对应的点落在第一象限，

所以，解得；

（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，

所以虚数也是一元二次方程的根，

则，所以.

19．（2022春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）如图，在菱形中，，

（1）若求；

（2）若菱形的边长为，

（i）用表示；

（ii）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】（1）在菱形中，，且，

又

（2）（i）菱形，

（ii）

，

的取值范围是：

20．（2022春·河南濮阳·高一统考期中）如图，在中，，点在边上，为锐角.

（1）求；

（2）若，求的长.

【答案】（1）8；（2）.

【解析】（1）在中，由余弦定理得：，

所以，解得或，

当时，，

此时，不符合题意，舍去；

当时，，

此时，符合题意，故；

（2）在中，，而∠BAD为三角形内角，

所以，

又由（1）可得，

所以，

在中，由正弦定理得：，

所以.

21．（2022春·吉林长春·高一长春市第二实验中学校考期中）如图所示，圆锥的底面半径为2，为母线的中点，侧面展开图是一个中心角为的扇形．

（1）求圆锥的表面积和体积；

（2）若圆锥的底面圆周和和顶点都在球的球面上，求球的表面积；

（3）若一只蚂蚁从点出发沿着圆锥侧面爬行，穿过母线，绕圆锥侧面爬行一周后来到母线的中点，试求蚂蚁爬行的最短路程．

【答案】（1）表面积为，体积为；（2）；（3）

【解析】（1）依题意，圆锥的底面半径为，

圆锥侧面展开图是一个中心角为的扇形，

设圆锥的母线长为，则，

所以圆锥的高，

所以圆锥的表面积为，

体积为.

（2）设球的半径为，则,

所以球的表面积为.

（3）依题意圆锥侧面展开图是一个中心角为的扇形，,

所以蚂蚁爬行的最短路程为.

22．（2022春·福建泉州·高一泉州五中校考期中）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列的问题中，并解决问题．

的内角A、B、C的对边分别为、、，已知____________．

（1）求B；

（2）若的外接圆半径为，求的最大值．

【答案】（1）；（2）6

【解析】（1）若选①，由正弦定理可得，即，

由余弦定理可得，

因为，所以；

若选②，由正弦定理可得，

因为，所以，因为，所以；

若选择③，因为，所以，即，

因为，所以；

（2）∵外接圆半径为，∴．

由余弦定理，得，

∴，化简得．

配方可得，

∵，∴，解之得，

因此，当且仅当时等号成立．

所以的最大值为6．