高二数学下学期期中模拟卷01-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）

2022-2023学年高二数学下学期期中模拟卷01

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知，则                            （　　）

A．30 B．42 C．56 D．72

【答案】B

【解析】因为，故，或，故，则．

故选B．

2．在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】C

3．已知离散型随机变量X的分布列，则（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】C

4．已知的展开式中所有项的系数之和为，则展开式中含有的项的系数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】令，则，解得：；则展开式的通项为：，令，解得：，则；令，解得：，则；

展开式中含有的项的系数为．故选A．

5．若(2x－3)5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5，则a0＋a2＋a4等于(　　)

A．244       B．1        C．－120        D．－121

【答案】D

6．若单位向量与向量的夹角等于，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由已知可得，，，．

又、的夹角为，则，即．

又，所以．所以，所以．故选A．

7．一名刚入伍的士兵带着一把步枪到练习场地打靶，已知此步枪每次只装3发子弹，若命中目标或子弹打完，则停止练习．新兵第一枪命中靶标的概率为0．7，第二枪命中靶标的概率为0．4，第三枪命中靶标的概率为0．3，则在已知靶标被击中的条件下，士兵开第二枪命中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】记事件A为“士兵第一次击中靶标”，B为“士兵第二次击中靶标”，

C为“士兵第三次击中靶标”，D为“靶标被击中”，

则，

，所以．故选：A．

8．如图所示，A，B两点共有5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，3，4，3，2．现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由已知得，的可能取值为7,8,9,10，故与是对立事件，

所以P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝＝．故选D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（    ）

A．与是共线向量

B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）

C．与夹角的余弦值是

D．与方向相同的单位向量是（1，1，0）

【答案】BC

【解析】对A，，，因为，显然与不共线，A错误；

对B，设平面的法向量，则，令，得，B正确；对C，，，C正确；

对D，方向相同的单位向量，即，D错误．故选BC．

10．设随机变量的可能取值为，并且取是等可能的．若，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【解析】由题意，，，A正确；，B错误；，C错误；

．D错误．故选AC．

11．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（    ）

A．二项展开式中无常数项

B．二项展开式中第3项为

C．二项展开式中各项系数之和为

D．二项展开式中二项式系数最大的项为

【答案】BC

【解析】因为的二项展开式中二项式系数之和为64，

所以，得，所以二项式的通项公式为，对于A，令，则，所以二项式展开式的第5项为常数项，所以A错误，对于B，令时，，所以B正确，对于C， 令，则二项展开式中各项系数之和为，所以C正确，对于D，因为二项式展开式中共有7项，所以第4项的二项式的系数最大为，所以D错误．故选BC．

12．现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，．假定每次闯关互不影响，则（     ）

A．直接挑战第关并过关的概率为

B．连续挑战前两关并过关的概率为

C．若直接挑战第关，设 “三个点数之和等于”， “至少出现一个点”，则

D．若直接挑战第关，则过关的概率是

【答案】ACD

【解析】对于，直接挑战第2关，则，所以投掷两次点数之和应大于6，

故直接挑战第2关并过关的概率为，故选项正确；

对于，闯第1关时，，所以挑战第1关通过的概率为，

则连续挑战前两关并过关的概率为，故选项错误；

对于，由题意可知，抛掷3次的基本事件有个，抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有个，故，而事件包括：含5，5，5的1个，含4，5，6的有6个，一共有7个，故，所以，故选正确；

对于，当时，，基本事件共有个，“4 次点数之和大于20”包含以下情况：

含5，5，5，6的有4个，含5，5，6，6的有6个，含6，6，6，6的有1个，含4，6，6，6的有4个，

含5，6，6，6的有4个，含4，5，6，6的有12个，含3，6，6，6的有4个，所以共有个，所以直接挑战第4关，则过关的概率是，故选项正确．故选．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．的展开式中含项的系数     ▲     ．

【答案】．

【解析】，的展开式中项为：，

的展开式中没有项，故的展开式中含项的系数为．故答案为：．

14．若，则正整数     ▲     ．

【答案】6

【解析】∵，所以．故答案为：6．

15．2022年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者．将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种．（用数字作答）

【答案】36

【解析】将4名同学按2,1,1分成3组有种方法．再将这3组分配到3个比赛场馆，共有种．则所有分配方案共有种．故答案为36．

16．如图，正三棱柱为的底面边长为，侧棱长为，则与所成的角的正弦值为     ▲     ．

【答案】

【解析】正三棱柱为的底面边长为，侧棱长为，则，，，又，，

，

，则与所成的角的正弦值为．

故答案为．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）

有编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子和四个不同的小球，现把四个小球都逐个随机放入盒子里．（用数字作答）

（1）求恰有一个盒子没放球的概率；

（2）若四个盒子都有球，且编号为1的小球不能放入编号为1的盒子中，有多少种不同的放法？

【解析】（1）每个球都有4种放法，故有种不同的放法，

选出一个盒子为空，再从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，则共有种不同的放法，故所求概率为；          …………5 分

（2）先放1号球，有3种放法，其余三个球在三个位置全排列，；  ……10分

18．（12分）

请从下列三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．

①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；

③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大．
已知在(2x－)n(n∈N*)的展开式中，              ．

(1)求展开式中的常数项，并指出是第几项：     (2)求展开式中的所有有理项．

(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分．)

【解析】选择①：

（1）因为，所以n=6． （2分）

展开式的通项为，

令得r=4． （4分）

所以，

所以展开式中的常数项是第5项，并且为60． （6分）

（2）根据（1）展开式中的通项得，

当r=0,2,4,6时，展开式中对应的项为有理项． （8分）

当r =0时，，

同理，，． （10分）

所以展开式中的有理项为第1,3,5,7项，分别为，，，． （12分）

选择②：

（1）展开式的通项为，

所以第2项与第3项的系数分别，．

所以，所以n=6．  （2分）

以下同选择①．

选择③：

因为展开式中有且只有第四项的二项式系数最大，即有且只有最大，

所以n=6．  （2分）

以下同选择①．

19．（12分）

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是斜边PA的长为的等腰直角三角形，E，F分别是棱PA，PC的中点，M是棱BC上一点．

（1）求证：平面DFM⊥平面PBC；

（2）若直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，求锐二面角E﹣DM﹣F的余弦值．

【解析】证明：（1）依题意可得：PD⊥DA，DP＝DA＝DC＝2，

∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PD⊥AD，

∴PD⊥平面ABCD，

∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，

又∵BC⊥DC，PD∩DC＝D，DC、PD⊂平面PDC，

∴BC⊥平面PDC，又DF⊂平面PDC，∴BC⊥DF，

又在Rt△PDC中，F是PC中点，则有DF⊥PC，

∵DF⊥BC，DF⊥PC，PC∩BC＝C，且BC、PC⊂平面PBC，

∴DF⊥平面PBC，又∵DF⊂平面DFM，

∴平面DFM⊥平面PBC；

（2）取CD的中点N，连接FN、MN，以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，

建立如图所示空间直角坐标系，

∵FN⊥平面ABCD，∴直线MF与平面ABCD所成角为∠FMN，

∵直线MF与平面ABCD所成角的正切值为，

∴，则MN＝，∴CM＝＝，可得M是BC靠近C的三等分点，

则，

∴＝（﹣1，0，﹣1），＝（，2，0），

设平面EDM的法向量为＝（x，y，z），则⇒，

令x＝﹣3，则平面EDM的法向量为＝（﹣3，1，3），

同理平面DMF的法向量，

∴，

所以锐二面角E﹣DM﹣F的余弦值是．

20．（12分）

如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.

（1）试用向量表示向量；

（2）若，求值.

【解析】（1）因为点为的中点，所以，

因为，所以，

所以，

所以；

（2）由（1）得，

因为，，

所以

.

21．（12分）

小张经常在某网上购物平台消费，该平台实行会员积分制度，每个月根据会员当月购买实物商品和虚拟商品(充话费等)的金额分别进行积分，详细积分规则以及小张每个月在该平台消费不同金额的概率如下面的表1和表2所示，并假设购买实物商品和购买虚拟商品相互独立．

表1

表2

(1)求小张一个月购买实物商品和虚拟商品均不低于100元的概率；

(2)求小张一个月积分不低于8分的概率；

(3)若某个月小张购买了实物商品和虚拟商品，消费均低于100元，求他这个月的积分X的分布列与均值．

【解析】(1)小张一个月购买实物商品不低于100元的概率为＋＝，

购买虚拟商品不低于100元的概率为，因此所求概率为×＝.

(2)根据条件，积分不低于8分有两种情况：

①购买实物商品积分为6分，购买虚拟商品的积分为2,3,4分；

②购买实物商品积分为4分，购买虚拟商品的积分为4分，

故小张一个月积分不低于8分的概率为×＋×＝.

(3)由条件可知X的可能取值为3,4,5.P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝P(X＝5)＝＝，

即X的分布列如下：

E(X)＝3×＋4×＋5×＝.

22．（12分）

在下面两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并完成解答．

条件①：“展开式中所有项的系数之和是所有二项式系数之和的256倍”；

条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为37”．

问题：已知二项式，若______(填写条件前的序号)，m、n为正整数．

（1）求展开式中含项的系数；

（2）求展开式中系数最大的项；

（3）写出展开式中系数最大项是第几项？(不要求推导过程)．

【解析】（1）选①，则，解得；

选②，则，解得；

∴＝中项的系数为：

；

（2）展开式的通项为，设第项系数最大，

则，解得，∵r∈，∴，

∴展开式中系数最大的项为；

（3）展开式的通项为，设第项系数最大，

则，则，解得，

即，

定义y＝[x]为取整函数，n∈Z，当n≤x＜n＋1时，[x]＝n，

则当为整数时，展开式中系数最大项为第项或项；

当不为整数时，为第项