专题04 二项式定理-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）

专题04 二项式定理

知识点1 二项式定理

(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．

(1)这个公式叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．

(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

知识点2二项展开式的通项

(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.

知识点3二项式系数的性质

考点1   二项式定理的正用、逆用

【例1】设，化简（    ）

A． B． C． D．

【解后感悟】(1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.

(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．

【变式1-1】二项式的展开式中共有（    ）项.

A．5 B．6 C．7 D．8

【变式1-2】化简的结果为（    ）

A．x4 B． C． D．

【变式1-3】化简（    ）

A． B． C． D．

考点2   二项式系数与项的系数问题

【例2】若的展开式中的系数与的系数相等，则______．

【解后感悟】1．二项式系数都是组合数C(r＝0,1,2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．

2．第r＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280．

【变式2-1】在的展开式中，第四项为（    ）

A．160 B． C． D．

【变式2-2】二项式的展开式中第10项是常数项,则常数项的值是______(用数字作答).

【变式2-3】若二项式展开式中各项系数之和为，则___________.（用数字作答）

考点3   求二项展开式中的特定项

【例3】（2023·河南洛阳·校联考三模）的展开式中常数项为______（用数字作答）．

【解后感悟】1．求二项展开式的特定项的常见题型

(1)求第r项，Tr＝Can－r＋1br－1；

(2)求含xr的项(或xpyq的项)；

(3)求常数项；

(4)求有理项．

2．求二项展开式的特定项的常用方法

(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；

(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；

(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．

【变式3-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）的展开式中的系数为（    ）

A．－80 B．－100 C．100 D．80

【变式3-2】（2023·北京东城·统考一模）在的展开式中，的系数为60，则实数______.

【变式3-3】（2023·江苏·二模）二项式的展开式的第项为常数项，则 __________．

考点4   二项式系数和问题(赋值法)

【例4】（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若，则_________.

【解后感悟】二项展开式中系数和的求法

(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；

(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，

奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.　　

【变式4-1】（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若，则（    ）

A．45 B．27 C．15 D．3

【变式4-2】（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知，则__________．

【变式4-3】（2023春·江西南昌·高二南昌市第三中学校考阶段练习）已知：，则______.

考点5   二项式系数性质的应用

【例5】（多选）（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（       ）

A．

B．各项二项式系数和为128

C．二项式系数最大项有2项

D．第4项与第5项系数相等且最大

【解后感悟】1．二项式系数最大的项的求法

求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论：

(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；

(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

2．展开式中系数最大的项的求法

求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用解出k，即得出系数最大的项．

【变式5-1】2．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）若二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ）

A．32 B． C．16 D．

【变式5-2】（2023春·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中二项式系数和为32，则项系数是_______________．

【变式5-3】（山东学情2022-2023学年高二下学期3月联合考试数学试题B）已知的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．

(1)求展开式中的有理项；

(2)求展开式中系数最大的项．

考点6   二项式定理的实际应用

【例6】(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；

(2)求9192被100除所得的余数．

【解后感悟】整除性问题或求余数问题的处理方法：

(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．

(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了

【变式6-1】（2022春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过天后是（    ）

A．星期三 B．星期四 C．星期五 D．星期六

【变式6-2】（2023春·山西忻州·高二校联考阶段练习）的个位数字为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

考点7   几个多项式和展开式中特定项（系数）问题

【例7】在1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数是(　　)

A．25          B．30         C．35        D．40

【解后感悟】对于几个二项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可．也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项(系数)．

【变式7-1】的展开式中的系数为__________.（用数字作答）

【变式7-2】已知， ，展开式中，含项的系数为19，则当含项的系数最小时，展开式中含项的系数为______.

【变式7-3】设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50=a0+a1·x+a2·x2+…+a50·x50,则a3等于_____.（用二项式系数作答）

考点8   几个多项式积展开式中特定项（系数）问题

【例8】1．已知，则的值为（    ）

A．10 B． C．30 D．

【解后感悟】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．

【变式8-1】在的展开式中，的系数是（    ）

A．60 B．35 C．155 D．90

【变式8-2】的展开式中的系数为（    ）

A． B． C．5 D．25

【变式8-3】已知的展开式中含项的系数为，则______.

【例9】若的展开式中的系数为3，则__________.

【解后感悟】(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法

【变式9-1】的展开式中的系数为（    ）

A．5 B． C．15 D．

【变式9-2】的展开式中含项的系数为__________.

【变式9-3】展开式中的系数为________（用数字作答）.

1．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）若，则 （    ）

A． B．0 C．1 D．2

2．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）设，且，若能被17整除，则等于（    ）

A．0 B．1 C．13 D．16

3．（2023·江苏·高二专题练习）二项式的展开式中的常数项是（    ）

A． B．15 C．20 D．

4．（2023·全国·高三专题练习）已知多项式，则（    ）

A．11 B．74 C．86 D．

5．（2023·高二单元测试）在（为正整数）的展开式中，的一次项的系数为（    ）.

A． B． C． D．

6．（2021秋·河南新乡·高三校考阶段练习）在展开式中，含项的系数是（    ）

A． B．5 C． D．1

7．（2023·全国·高二专题练习）的展开式中，共有多少项？（    ）

A．45 B．36 C．28 D．21

8．（2023·全国·高三专题练习）已知二项式，的展开式中第四项的系数最大，则a的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．（2023·四川南充·统考二模）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．（2023·全国·高二专题练习）将二项式的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法种数为（    ）

A． B． C． D．

11．（2023·山西·校联考模拟预测）在的展开式中，下列结论正确的是（    ）

A．第6项和第7项的二项式系数相等 B．奇数项的二项式系数和为256

C．常数项为84 D．有理项有2项

12．（2023·全国·模拟预测）在的展开式中，下列命题正确的是（    ）

A．系数最大的项的系数为8 B．所有项的系数和为64

C．含的项的系数为12 D．有理项共有4项

13．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）若，则（    ）

A． B．

C． D．

14．（2023春·江苏盐城·高二江苏省滨海中学校考期末）关于的展开式中下列结论正确的有（    ）

A．不含项 B．x3项的系数为6 C．常数项为﹣1 D．各项的系数和为0

15．（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考期中）若，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

16．（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）化简：_______．（结果用表示）

17．（上海市四校（复兴中学、奉贤中学、金山中学、松江二中）2023届高三下学期3月联考数学试题）二项式的展开式中，含的项的系数为___．

18．（2023春·江西·高二校联考开学考试）的二项式展开式中的系数为20，则其中系数最大的项是__________.

19．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）二项式的展开式中含的系数为______．

20．（2022秋·江苏徐州·高三校考阶段练习）已知的展开式各项系数之和为，则展开式中第五项的二项式系数是______，展开式中的系数是______.