第四章 数列【重难点题型分类集训】-2022-2023学年高二数学单元复习（人教A版2019选择性必修第二册）

《第四章  数列》单元复习题

题型1：数列的概念

一、单选题

1．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知数列的通项公式为，则该数列的前项依次为（    ）

A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，

2．（2022·上海·华师大二附中高二开学考试）已知数列的首项，且，，是此数列的前n项和，则以下结论正确的是（    ）

A．不存在a和n使得 B．不存在a和n使得

C．不存在a和n使得 D．不存在a和n使得

3．（2022·全国·高二课时练习）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·B·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路．下图是按照，的分形规律生长成的一个树形图，则第10行的实心圆点的个数是（    ）

A．89 B．55 C．34 D．144

4．（2022·全国·高二课时练习）已知斐波那契数列满足：，，，若，则k=(     )

A．2020 B．2021 C．59 D．60

5．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）数列满足，，则等于（    ）

A． B． C．2 D．

二、填空题

6．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，．记数列的前n项和为，则的取值范围是______．

7．（2022·上海交大附中高二阶段练习）定义：各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数.已知数列的前项和（，），令（），若数列的变号数为2，则实数的取值范围是___________.

8．（2022·浙江·高二期末）已知数列的前项和，则______.

9．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知数列满足，，则________.

10．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知数列满足，，则_______.

11．（2022·全国·高二单元测试）数列2，0，2，0，…的一个通项公式为______．

12．（2022·全国·高二单元测试）在数列中，，，则______．

13．（2022·全国·高二课时练习）数列，的前5项为______．

三、解答题

14．（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（文））已知项数大于3的数列的各项和为，且任意连续三项均能构成不同的等腰三角形的三边长．

(1)若，求和；

(2)若，求的最大值．

15．（2022·全国·高二课时练习）写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数．

(1)，，，；

(2)，，，；

(3)3，4，3，4；

(4)6，66，666，6666．

题型2：等差数列

一、单选题

1．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知等差数列的通项公式，则它的公差为（    ）

A．3 B． C．5 D．

2．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习）一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ）

A．4 B．8 C．12 D．20

3．（2022·全国·高二课时练习）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（    ）．

A．一尺五寸 B．二尺五寸 C．三尺五寸 D．四尺五寸

4．（2021·北京·高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（    ）

A．9 B．10 C．11 D．12

5．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长(单位:cm)成等差数列，对应的宽为(单位: cm),且长与宽之比都相等，已知，，，则

A．64 B．96 C．128 D．160

6．（2022·全国·高二课时练习）现有下列命题：①若，则数列是等差数列；

②若，则数列是等差数列；

③若（b、c是常量），则数列是等差数列．

其中真命题有（    ）．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（2020·北京·高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．

A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项

C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项

9．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块

10．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”，现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（    ）

A．99 B．131 C．139 D．141

二、多选题

11．（2022·福建·三明一中高三阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

12．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商业功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三次有6个球，…，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列，则（    ）

A． B．

C． D．

13．（2021·云南·昆明市官渡区云子中学长丰学校高二阶段练习）记为等差数列的前n项和，公差为d，若，则以下结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．取得最大值时，

14．（2021·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．与是的最大值

C． D．

15．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若是等差数列，则三点共线

C．若是等差数列，且，则当时数列的前n项和有最小值

D．若等差数列的前12项和为354，前12项中，偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，则公差为5

16．（2022·江苏·南京市燕子矶中学高二开学考试）记为等差数列的前n项和.若，则以下结论一定正确的是（    ）

A． B．的最大值为 C． D．

17．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）已知等差数列中，，公差，则使其前n项和取得最大值的自然数n是（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

三、填空题

18．（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知等差数列的前项和为，若，则_________．

19．（2022·陕西·永寿县中学高二阶段练习）一同学在电脑中打出如下若干个圆：○●○○○●○○○○○●○○○○○○○●○○○○○○○○○●…若依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前420个圆中●的个数是___________．

20．（2022·天津·高二期末）若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______.

21．（2022·全国·高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．

22．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，则的值为__________.

四、解答题

23．（2021·全国·高考真题（理））已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

24．（2020·山东·高考真题）某男子擅长走路，9天共走了1260里，其中第1天、第4天、第7天所走的路程之和为390里.若从第2天起，每天比前一天多走的路程相同，问该男子第5天走多少里.这是我国古代数学专著《九章算术》中的一个问题，请尝试解决.

25．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知等差数列满足：，，其前n项和为.求数列的通项公式及.

26．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

27．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

28．（2021·全国·高考真题）已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

29．（2022·福建省漳州第一中学高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，.

(1)求数列的通项公式及前项和；

(2)求数列的前项和.

30．（2021·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

题型3：等比数列

一、单选题

1．（2022·浙江省杭州第九中学高二期末）已知正项等比数列前项和为，且，，则等比数列的公比为（    ）

A． B．2 C． D．3

2．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））数列满足，且，则（    ）

A．4 B． C． D．

3．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）在等比数列中，若，，则（    ）

A．6 B． C． D．

4．（2021·全国·高考真题（文））记为等比数列的前n项和.若，，则（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

5．（2020·山东·高考真题）在等比数列中，，，则等于（    ）

A．256 B．-256 C．512 D．-512

6．（2022·全国·高二单元测试）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（    ）

A．    B．    C．3     D．8

7．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知等比数列的公比，则（    ）

A． B． C． D．3

8．（2022·全国·高考真题（文））已知等比数列的前3项和为168，，则（    ）

A．14 B．12 C．6 D．3

9．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则（    ）

A． B．32 C．64 D．

10．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）设数列满足，，数列的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

11．（2021·全国·高考真题）设正整数，其中，记．则（    ）

A． B．

C． D．

12．（2022·辽宁锦州·高二期末）已知在数列中，，，其前项和为，则（    ）

A．当时，

B．当时，数列是递增数列

C．

D．对任意，存在，使得数列成等比数列

13．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）在等比数列中，，若对正整数n都有，那么公比的取值可以是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

14．（2022·上海·上外附中高二阶段练习）在首项为2022，公比为的等比数列中，最接近1的项是第_____________项．

15．（2022·甘肃·敦煌中学高二阶段练习）设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则________．

16．（2022·江苏·南京市燕子矶中学高二开学考试）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=___________.

17．（2022·福建省宁德第一中学高二阶段练习）在正项等比数列中，，，则通项公式________．

18．（2022·福建福州·高二期末）已知数列,则________．

19．（2022·全国·高二课时练习）若依次成等差数列的三个实数a，b，c之和为12，而a，b，又依次成等比数列，则a＝______．

20．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列的首项为2，前项满足，，则正整数m＝______.

21．（2022·全国·高二课时练习）如图，是一块半径为的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形，，…，，…，记第块纸板的面积为，则______，如果，恒成立，那么的取值范围是______．

22．（2022·浙江·高二期末）已知数列满足，对于每一个，，，构成公差为2的等差数列，，，构成公比为的等比数列，若，不等式恒成立，则正整数的最小值为______.

23．（2022·北京·高考真题）已知数列各项均为正数，其前n项和满足．给出下列四个结论：

①的第2项小于3；   ②为等比数列；

③为递减数列；       ④中存在小于的项．

其中所有正确结论的序号是__________．

24．（2022·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高二开学考试）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是______．

四、解答题

25．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

26．（2022·四川·雅安中学高二阶段练习）数列满足.

(1)若，求证：为等比数列；

(2)求的通项公式．

27．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．

(1)证明：；

(2)求集合中元素个数．

28．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．

(1)若，求；

(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．

29．（2022·浙江大学附属中学高二期中）已知数列的前n项和为，，．

(1)证明：数列为等比数列，并求出；

(2)设的前n项和为，且，求．

30．（2022·福建福州·高二期末）已知为各项都为正数的等比数列，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和为．