中考数学三轮冲刺考前强化练习02 方程与不等式（教师版）

这是一份中考数学三轮冲刺考前强化练习02 方程与不等式（教师版），共18页。试卷主要包含了去分母，去括号，移 项，合并同类项，系数化1 等内容，欢迎下载使用。

02 方程与不等式
知识点包含：一元一次方程、二元一次方程（组）的解、知方程组解代数式的值
一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系
不等式解集、不等式组解集、知不等式组解集求参数值
分式方程定义、解分式方程、知分式方程解的取值求参数值

知识点清单：

一、 一元一次方程
（1)方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值
(2)一元一次方程定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程
(3)解一元一次方程的步骤：1、去分母：不含分母的项也要乘最小公倍数
分子是两项的，去分母后分子要加括号
2、去括号：括号前是“-”的，去括号后要变号，特别是第二项
3、移 项：要变号（把一项从方程左边移到右边）
4、合并同类项：只把系数相加减
5、系数化1 ：方程两边同除以未知数的系数
中考在线
1、（2019•济南）代数式与代数式3﹣2x的和为4，则x＝　　．
【解答】解：根据题意得：+3﹣2x＝4，
去分母得：2x﹣1+9﹣6x＝12，
移项合并得：﹣4x＝4，
解得：x＝﹣1，
故答案为：﹣1
2、（2018•攀枝花）解方程：﹣＝1．
【解答】解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）＝6，
去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2＝6，
移项得：﹣x＝17，
系数化为1得：x＝﹣17．

二、 二元一次方程
（1）二元一次方程：含有二个未知数，未知数的最高次数是一的整式方程
（2）二元一次方程的解有无数组
（3）二元一次方程组的解法：代入消元法、加减消元法
技巧：已知二元一次方程组的解求代数式的值时，常用整体代入思想，即方程组两式相加或相减可求
中考在线：
1、（2018•桂林）若|3x﹣2y﹣1|+＝0，则x，y的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知：
解得：
故选：D．
2、（2019•朝阳）关于x，y的二元一次方程组的解是，则m+n的值为（　　）
A．4 B．2 C．1 D．0
【解答】解：把代入得：，
解得：，
则m+n＝0，
故选：D．
3、（2019•南通）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【解答】解：，
①+②得：5a+5b＝10，
则a+b＝2，
故选：A．
3、（2019•鸡西）某学校计划用34件同样的奖品全部用于奖励在“经典诵读”活动中表现突出的班级，一等奖奖励6件，二等奖奖励4件，则分配一、二等奖个数的方案有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【解答】解：设一等奖个数x个，二等奖个数y个，
根据题意，得6x+4y＝34，
使方程成立的解有，，，
∴方案一共有3种；
故选：B．
4、（2018 枣庄）若二元一次方程组的解为，则a﹣b=　　．
【分析】把x、y的值代入方程组，再将两式相加即可求出a﹣b的值．
【解答】解：将代入方程组，得：，
①+②，得：4a﹣4b=7，
则a﹣b=，
故答案为：．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a﹣b的值，本题属于基础题型．
5、（2018•德州）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b＝，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3＝＝5．若x，y满足方程组，则x◆y＝　　．
【解答】解：由题意可知：，
解得：
∵x＜y，
∴原式＝5×12＝60
故答案为：60
三、一元二次方程：已知一元二次方程应让二次项系数≠0时成立
知识点 1:关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为 [来源:Z#xx#k.Com]
判断方程解的情况或已知方程根的情况求参数都要依据根的判别式
知识点 2: 判别式与根的关系 有解b2-4ac≥0
(1)b2-4ac＞0一元二次方程 的实数根；
(2)b2-4ac=0一元二次方程 的实数根；
(3)b2-4ac＜0一元二次方程 实数根.
知识点3：根与系数的关系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1、x2，
则x1+x2=-,x1·x2=.
知识点4：一元二次方程的解和根与系数的关系应用：
技巧：1、如果知道一根，用代入法（把值代入），求代数式的值或参数值
也可以利用根与系数的关系求解.
2、如果知道二根，用根与系数的关系求或与代入法结合用
应注意：分类思想、转化思想
3、当要求的代数式中含有2次项时，一般是要把根带人求
4、当知道方程解求参数时，要同时满足△≥0和二次项系数≠0
常用方法：看到代数式中含有二次项一定要用代入法，再利用整体思想求；
代数式中分母中含有字母的一般要利用方程两边同除以未知数就可得到
中考在线：
1、（2019•南通）用配方法解方程x2+8x+9＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+4）2＝﹣9 B．（x+4）2＝﹣7 C．（x+4）2＝25 D．（x+4）2＝7
【解答】解：方程x2+8x+9＝0，整理得：x2+8x＝﹣9，
配方得：x2+8x+16＝7，即（x+4）2＝7，
故选：D．

2、（2019•遵义）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根为x1，x2，则x12+3x2+x1x2﹣2的值是（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【解答】解：∵x1为一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴x12﹣3x1+1＝0，
∴x12＝3x1﹣1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3x1﹣1+3x2+x1x2﹣2＝3（x1+x2）+x1x2﹣3，
根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x12+3x2+x1x2﹣2＝3×3+1﹣3＝7．
故选：D．
3、（2019•湘潭）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．﹣4
【解答】解：∵方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×c＝16﹣4c＝0，
解得：c＝4．
故选：A．
4、（2019•内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣8x+15＝0的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
【解答】解：解方程x2﹣8x+15＝0，得：x＝3或x＝5，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故选：A．
5、（2019•铜仁市）一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×4×（﹣1）＝20＞0，
∴一元二次方程4x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．
故选：B．
6、（2019•通辽）一个菱形的边长是方程x2﹣8x+15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（　　）
A．48 B．24 C．24或40 D．48或80
【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，
所以x1＝5，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为2＝6，
∴菱形的面积＝×6×8＝24．
故选：B．
7、（2019•包头）已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，则m的值是（　　）
A．34 B．30 C．30或34 D．30或36
【解答】解：当a＝4时，b＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8不符合；
当b＝4时，a＜8，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
∴a＝8不符合；
当a＝b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝2a＝2b，
∴a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34；
故选：A．
8、（2019•贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（　　）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【解答】解：α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，
∴α+β＝2，αβ＝m，
∵+＝＝＝﹣，
∴m＝﹣3；
故选：B．
9、（2019•烟台）当b+c＝5时，关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【解答】解：∵b+c＝5，
∴c＝5﹣b．
△＝b2﹣4×3×（﹣c）＝b2+12c＝b2﹣12b+60＝（b﹣6）2+24．
∵（b﹣6）2≥0，
∴（b﹣6）2+24＞0，
∴△＞0，
∴关于x的一元二次方程3x2+bx﹣c＝0有两个不相等的实数根．
故选：A．

10、（2019•广州）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）
A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．
∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，
∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，
解得：k＝±2．
∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，
∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，
解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，
∴k＝2．
故选：D．

11、（2019•鄂州）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝5，则m的值为（　　）
A． B． C． D．0
【解答】解：∵x1+x2＝4，
∴x1+3x2＝x1+x2+2x2＝4+2x2＝5，
∴x2＝，
把x2＝代入x2﹣4x+m＝0得：（）2﹣4×+m＝0，
解得：m＝，
故选：A．

12、（2019•广元）若关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则点P（a+1，﹣a﹣3）在第　四　象限．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x﹣＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴，
解得：a＞﹣1且a≠0．[来源:Z.xx.k.Com]
∴a+1＞0，﹣a﹣3＜0，[来源:学科网ZXXK]
∴点P（a+1，﹣a﹣3）在第四象限．
故答案为：四．
13、（2019•荆门）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　1　．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，
∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，
整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝1．
∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，
∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，
解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，
∴k＝1．
故答案为：1．



四、不等式（组）
1、不等式解集的定义：使不等式成立的未知数的所有的解组成的集合
2、在数轴上表示不等式的解集，应注意方向和虚实点
＞、≥向右拐；＜、≤向左拐； ＞、＜用虚点；≤、≥用实点
3、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）
的解集是，即“小小取小”；
的解集是，即“大大取大”；
的解集是，即“大小小大中间找”；
的解集是空集，即“大大小小取不了”.
4、已知不等式组解集求参数的步骤：
①先求出没有参数的不等式的解集
②利用参数表示出所在不等式的解集，
③在数轴上把没有参数的不等式的解集表示出来；在依据不等式组的解集口诀，求出参数取值，注意界点的取舍（界点就是已知不等式解集的数）
5、 已知不等式（组）整数解的个数时，
应找到满足条件的数后再向后推一位，参数就在这个范围内，应注意界点的讨论
6、解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.

中考在线：
1、（2019•阜新）不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：
解不等式①，得x＜1；
解不等式②，得x≥﹣2；
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，
在数轴上表示为：
故选：A．
2、（2019•云南）若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
【解答】解：解关于x的不等式组得
∴a≥2
故选：D．
3、（2019•荆门）不等式组的解集为（　　）
A．﹣＜x＜0 B．﹣＜x≤0 C．﹣≤x＜0 D．﹣≤x≤0
【解答】解：，
解①得：x≥﹣，
解②得x＜0，
则不等式组的解集为﹣≤x＜0．
故选：C．
4、（2019•德州）不等式组的所有非负整数解的和是（　　）
A．10 B．7 C．6 D．0
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2.5，
解不等式②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，
∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，
∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10，
故选：A．

5、（2019•鄂州）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　　．
【解答】解：，
①+②得2x+2y＝4m+8，
则x+y＝2m+4，
根据题意得2m+4≤0，
解得m≤﹣2．
故答案是：m≤﹣2．
6、（2019•广安）点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，则x的取值范围是　　．
【解答】解：∵点M（x﹣1，﹣3）在第四象限，
∴x﹣1＞0
解得x＞1，
即x的取值范围是x＞1．
故答案为x＞1．
7、（2018•湘西州）对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是　　．
【解答】解：∵3※x＝3x﹣3+x﹣2＜2，
∴x＜，
∵x为正整数，
∴x＝1．
故答案为：1．

8、（2019•恩施州）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（　　）
A．1＜a≤2 B．1＜a＜2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤2
【解答】解：
解①得：x≥﹣1，
解②得：x＜a，
∵不等式组的整数解有3个，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，
则1＜a≤2，
故选：A．

9、（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：解不等式2x﹣6+m＜0，得：x＜，
解不等式4x﹣m＞0，得：x＞，
∵不等式组有解，
∴＜，
解得m＜4，
如果m＝2，则不等式组的解集为＜x＜2，整数解为x＝1，有1个；
如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；
如果m＝﹣1，则不等式组的解集为﹣＜x＜，整数解为x＝0，1，2，3，有4个．
故选：C．

四、分式方程：
（1）解分式方程和解一元一次方程的步骤一样。区别在于：解分式方程一定要验根
（2）分式方程有增根或无解 方法：解决增根问题可按如下步骤进行：
①化分式方程为整式方程；
②让最简公分母为0确定增根；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
若未知数的系数不含参数，则方程无解就是增根；
若未知数的系数中含有参数，则应分系数为0和系数不为0讨论
易错点：1、解分式方程应验根
2、已知不等式组有解或无解时，应考虑界点
3、已知分式方程的取值范围求参数时，应注意满足分母≠0
4、解方程时，不含分母的项在去分母时也要乘公分母，
中考在线：
1、（2019•鸡西）已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（　　）
A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣3 D．m≥﹣3
【解答】解：＝1，
方程两边同乘以x﹣3，得
2x﹣m＝x﹣3，
移项及合并同类项，得
x＝m﹣3，
∵分式方程＝1的解是非正数，x﹣3≠0，
∴，
解得，m≤3，[来源:学科网ZXXK]
故选：A．
2、（2019•荆州）已知关于x的分式方程﹣2＝的解为正数，则k的取值范围为（　　）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1 C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1
【解答】解：∵＝2，
∴＝2，
∴x＝2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠﹣1，
∵x＞0，
∴2+k＞0，
∴k＞﹣2，
∴k＞﹣2且k≠﹣1，
故选：B．
3、（2019•重庆）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程﹣＝﹣3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【解答】解：由关于x的不等式组得
∵有且仅有三个整数解，
∴＜x≤3，x＝1，2，或3．
∴，
∴﹣≤a＜3；
由关于y的分式方程﹣＝﹣3得1﹣2y+a＝﹣3（y﹣1），
∴y＝2﹣a，
∵解为正数，且y＝1为增根，
∴a＜2，且a≠1，
∴﹣≤a＜2，且a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．[来源:Zxxk.Com]
故选：A．
4、（2019•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤a，且关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（　　）
A．0 B．1 C．4 D．6
【解答】解：由不等式组得：
∵解集是x≤a，
∴a＜5；
由关于y的分式方程﹣＝1得2y﹣a+y﹣4＝y﹣1
∴y＝，
∵有非负整数解，
∴≥0，
∴5＞a≥﹣3，
且a＝﹣3，a＝﹣1（舍，此时分式方程为增根），a＝1，a＝3
它们的和为1．
故选：B．
5、（2018•巴中）若分式方程+＝有增根，则实数a的取值是（　　）
A．0或2 B．4 C．8 D．4或8
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x＝2（x﹣2），
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当x＝0时，﹣a＝﹣4，
解得，a＝4，
当x＝2时，6﹣a+2＝0，
解得，a＝8，
故选：D．
6、（2018•重庆）若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程+＝1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
【解答】解：，
解①得x≥﹣3，
解②得x≤，
不等式组的解集是﹣3≤x≤．
∵仅有三个整数解，
∴﹣1≤＜0
∴﹣8≤a＜﹣3，
+＝1
3y﹣a﹣12＝y﹣2．
∴y＝
∵y≠2，
∴a≠﹣6，
又y＝有整数解，
∴a＝﹣8或﹣4，
所有满足条件的整数a的值之和是（﹣8）+（﹣4）＝﹣12，
故选：B．
7、（2019•巴中）若关于x的分式方程+＝2m有增根，则m的值为　1　．
【解答】解：方程两边都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣2＝0，
解得x＝2，
当x＝2时，m＝1
故m的值是1，
故答案为1
8、（2018•齐齐哈尔）若关于x的方程+＝无解，则m的值为　﹣1或5或﹣　．
【解答】解：去分母得：x+4+m（x﹣4）＝m+3，
可得：（m+1）x＝5m﹣1，
当m+1＝0时，一元一次方程无解，
此时m＝﹣1，
当m+1≠0时，
则x＝＝±4，
解得：m＝5或﹣，
综上所述：m＝﹣1或5或﹣，
故答案为：﹣1或5或﹣．
9、（2018•眉山）已知关于x的分式方程﹣2＝有一个正数解，则k的取值范围为　　．
【解答】解；﹣2＝，
方程两边都乘以（x﹣3），得
x＝2（x﹣3）+k，
解得x＝6﹣k≠3，
关于x的方程程﹣2＝有一个正数解，
∴x＝6﹣k＞0，
k＜6，且k≠3，
∴k的取值范围是k＜6且k≠3．
故答案为：k＜6且k≠3．
10、（2019•上海）解方程：﹣＝1
【解答】解：去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
11、（2019•南京）解方程：﹣1＝．
【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）去分母得，
x（x+1）﹣（x2﹣1）＝3，
即x2+x﹣x2+1＝3，
解得x＝2
检验：当x＝2时，（x+1）（x﹣1）＝（2+1）（2﹣1）＝3≠0，
∴x＝2是原方程的解，
故原分式方程的解是x＝2．