中考数学三轮冲刺考前过关练习专题05 方程（教师版）

专题05 方程

一．选择题

1．（2020•天河区模拟）已知关于的方程的解是，则代数式的值为　　

A． B．0 C． D．2

【解析】把代入方程得，

，

，

．

故选：．

2．（2020•永康市模拟）明代程大位的《算法统宗》记载这样一首打油诗：

《李白沽酒》

无事街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗．

三遇花和店，喝光壶中酒．就问此壶中，原有多少酒？

李白出门遇到花和店各三次，且花、店交替遇到，则此打油诗答案为　　

A．斗 B．斗 C．斗 D．斗

【解析】设原有斗酒，

由题意可得：，

解得：，

答：原有斗酒，

故选：．

3．（2020•沙坪坝区校级一模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人？该物品价值多少元？若设有人，物品价值元，根据题意，可列方程为　　

A．  B． 

C．  D．

【解析】若设有人，物品价值元，根据题意，可列方程组为，

故选：．

4．（2020•龙沙区一模）甲乙丙三人做一项工作，三人每天的工作效率分别为、、，若甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，下列结论正确的是　　

A．甲的工作效率最高 B．丙的工作效率最高 

C． D．

【解析】甲乙一天工作量和是丙2天的工作量，乙丙一天的工作量和是甲5天的工作量，

，解得：，，故选：．

5．（2020•仙居县模拟）某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每増加1株，平均单株盈利就减少0.5元，要使每盆的盈利为20元，需要每盆増加几株花苗？设每盆增加株花苗，下面列出的方程中符合题意的是　　

A．  B． 

C．  D．

【解析】由题意可得，，故选：．

6．（2020•井研县一模）关于的一元二次方程的根的情况是　　

A．有两个实数根  B．有两个相等的实数根 

C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根

【解析】△，方程有两个实数解．

故选：．

7．（2020•沙坪坝区校级一模）如果关于的分式方程有非负整数解，关于的不等式组有且只有4个整数解，则所有符合条件的的和是　　

A． B． C．1 D．2

【解析】解不等式组，得，

不等式组有且只有4个整数解，，．

解式方程，得，

为非负整数，，

或或0或1，

时，，原分式方程无解，故将舍去，

所有满足条件的的值之和是，

故选：．

8．（2020•鹿城区校级二模）王师傅乘大巴车从甲地到相距60千米的乙地办事，办好事后乘出租车返回甲地，出租车的平均速度比大巴车快20千米时，回来时乘出租车所花时间比去时乘大巴车节省了．设大巴车的平均速度为千米时，则下面列出的方程中正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解析】由题意可得，

，

故选：．

二．填空题

9．（2020•新余模拟）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”

译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人人，可列方程为__________．

【解析】设共有客人人，根据题意得

．

故答案为．

10．（2009•江门校级一模）已知方程的解是，则的值为__________．

【解析】把代入方程

得到：，

解得：．

故填：．

11．（2020•北京模拟）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹．若设小马有匹，大马有匹，依题意，可列方程组为__________．

【解析】设小马有匹，大马有匹，依题意，可列方程组为．

故答案是：．

12．（2020•兖州区一模）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长尺，可列方程组为__________．

【解析】根据题意得：；故答案为：．

13．（2020•衡水模拟）已知是方程的一个根，则的值为__________．

【解析】是方程的一个根，

．

．

．

故答案是：1．

14．（2020•成华区模拟）若方程的两个实数根为，，则的值为__________．

【解析】方程的两个实数根为，，

由根与系数的关系得：，，

，

故答案为：12．

15．（2020•李沧区一模）随着市民环保意识的日渐增强，文明、绿色的环保祭扫方式（鲜花祭奠、网络祭奠等）正成为一种趋势，清明节期间，我区某花店用4000元购买了若干花束，很快就售完了，接着又用4500元购买了第二批花束．已知第二次购买的花束的数量是第一批所购花束的数量的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元．若设第一批所购花束的数量为束，则可列方程为__________．

【解析】设第一批所购花束的数量为束，则第二次所购花束的数量为束，

由题意，得．

故答案是：．

16．（2020•嘉兴模拟）某物流仓储公司用，两种型号的机器人搬运物品，已知型机器人比型机器人每小时多搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，设型机器人每小时搬运 物品，列出关于的方程为__________．

【解析】设型机器人每小时搬运 物品，则型机器人每小时搬运物品，

根据题意可得，

故答案为：．

三．解答题

17．（2018•山西模拟）为有效治理污染，改善生态环境，山西太原成为国内首个实现纯电动出租车的城市，绿色环保的电动出租车受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大的方便，下表是行驶路程在15公里以内时普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：

张先生每天从家打出租车去单位上班（路程在15公里以内），结果发现，正常情况下乘坐纯电动出租车比乘坐燃油出租车平均每公里节省0.8元，求张先生家到单位的路程．

【解析】设老张家到单位的路程是千米，

依题意，得　，

解这个方程，得  ，

答：老张家到单位的路程是8.2千米．

18．（2017•红桥区一模）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元

（1）甲种商品每件进价为__________元，每件乙种商品利润率为__________．

（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？

（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：

按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？

【解析】（1）设甲的进价为元件，

则，

解得：．

故甲的进价为40元件；

乙商品的利润率为．

（2）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，

由题意得，，

解得：．

即购进甲商品40件，乙商品10件．

（3）设小华打折前应付款为元，

①打折前购物金额超过450元，但不超过600元，

由题意得，

解得：，

（件），

②打折前购物金额超过600元，

，

解得：，

（件），

综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．

19．（2017•萍乡二模）某物流公司承接、两种货物运输业务，已知3月份货物运费单价为50元吨，货物运费单价为30元吨，共收取运费9500元；4月份由于工人工资上涨，运费单价上涨情况为：货物运费单价增加了，货物运费单价上涨到40元吨；该物流公司4月承接的种货物和种数量与3月份相同，4月份共收取运费13000元．试求该物流公司月运输、两种货物各多少吨？

【解析】设种货物运输了吨，设种货物运输了吨，

由题意得：，

解之得：．

答：物流公司月运输种货物100吨，种货物150吨．

20．（2020•运城模拟）某市园林局准备种植种花木4200棵，种花木2400棵．现计划安排26人同时种植这两种花木，已知每人每天能种植种花木30棵或种花木20棵，则应分别安排多少人种植这两种花木，才能确保同时完成各自的任务？

【解析】设安排人种植种花木，安排人种植种花木，

根据题意，得：，

解得：．

答：应安排14人种植种花木，安排12人种植种花木，才能确保同时完成各自的任务．

21．（2020•渠县校级一模）已知：关于的方程．

（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；

（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含的式子表示）；

（3）若为整数，当取何值时方程的两个根均为正整数？

【解析】（1）方程有两个相等的实数根，

△，

，

．

（2），即，

解得：，．

（3）、均为正整数，且为整数，

、或3．

当时，，

当时，，

当时，．

当取1、3或时，方程的两个根均为正整数．

22．（2020•西乡塘区校级一模）南岸区正全力争创全国卫生城区和全国文明城区（简称“两城同创” ．某街道积极响应“两城同创”活动，投入一定资金绿化一块闲置空地，购买了甲、乙两种树木共72棵，甲种树木单价是乙种树木单价的，且乙种树木每棵80元，共用去资金6160元．

（1）求甲、乙两种树木各购买了多少棵？

（2）经过一段时间后，种植的这批树木成活率高，绿化效果好．该街道决定再购买一批这两种树木绿化另一块闲置空地，两种树木的购买数量均与第一批相同，购买时发现甲种树木单价上涨了，乙种树木单价下降了

，且总费用为6804元，求的值．

【解析】（1）设甲种树木的数量为棵，乙种树木的数量为棵，由题意得：，

解得：，

答：甲种树木的数量为40棵，乙种树木的数量为32棵；

（2）由题意得甲种树木单价为元，乙种树木单价为，

由题意得：，

解得：，

答：的值为25．

23．（2020•福田区校级模拟）骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场，顺风车行经营的型车去年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的型车数量相同，则今年6月份型车销售总额将比去年6月份销售总额增加．

，两种型号车的进货和销售价格表：

（1）求今年6月份型车每辆销售价多少元；

（2）该车行计划7月份新进一批型车和型车共50辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

【解析】（1）设去年6月份型车每辆销售价元，那么今年6月份型车每辆销售元，

根据题意得，

解得：，

经检验，是方程的解．

时，．

答：今年6月份型车每辆销售价2000元．

（2）设今年7月份进型车辆，则型车辆，获得的总利润为元，

根据题意得，

解得：，

，

随 的增大而减小，

当时，可以获得最大利润．

答：进货方案是型车17辆，型车33辆．

24．（2020•封开县一模）为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了、两种玩具，其中类玩具的进价比玩具的进价每个多3元，经调查：用900元购进类玩具的数量与用750元购进类玩具的数量相同

（1）求、两类玩具的进价分别是每个多少元？

（2）该玩具店共购进了、两类玩具共100个，若玩具店将每个类玩具定价为30元出售，每个类玩具定价25元出售，且全部售出后所获得利润不少于1080元，则商店至少购进类玩具多少个？

【解析】（1）设的进价为元，则的进价是元

由题意得，

解得，

经检验是原方程的解．

所以（元）

答：的进价是18元，的进价是15元；

（2）设玩具个，则玩具个，

由题意得：，

解得．

答：至少购进个．

25．（2020•市南区一模）近期受疫情影响，需要居家学习，某中学为方便教师线上直播授课，计划给教师配备电脑手写板．信息城现有甲、乙两种手写板，若每台甲种手写板的价格比每台乙种手写板的价格少300元，且用6000元购买甲种手写板的数量与用7500元购买乙种手写板的数量相同．

（1）求每台甲种手写板和乙种手写板的价格；

（2）若学校计划到信息城购买50台手写板，购买甲种手写板的数量不少于乙种手写板数量的2倍，信息城给出的优惠方案：一次性购买不少于10台乙种手写板，则乙种手写板的价格按原价七五折优惠，否则按原价购买．请你帮学校设计一种最省钱的购买方案．

【解析】（1）设每台甲种手写板的价格为元，则每台乙种手写板的价格为元，由题意得：

，

解得：，

经检验得：是原方程的解，

则．

答：每台甲种手写板的价格为1200元，每台乙种手写板的价格为1500元．

（2）（元），

1200元元，

设购买乙种手写板台，则购买甲种手写板台，依题意有

，

解得，

是整数，

最大为16，

一种最省钱的购买方案为：购买乙种手写板16台，购买甲种手写板34台．

26．（2020•广陵区校级模拟）2020年1月份，为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同．

（1）求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元？

（2）该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，求商场共有几种进货方案？

【解析】（1）设甲种口罩进价元袋，则乙种口罩进价为元袋，依题意有

，

解得，

经检验是原方程的解，

则．

故甲种口罩进价15元袋，则乙种口罩进价为25元袋；

（2）设购进甲种口罩袋，则购进乙种口罩袋，依题意有

，

解得．

因为是整数，甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数，

所以取200，201，202，203，共有4种方案．

27．（2020•汇川区三模）在新冠疫情防控初期，防疫物资一度紧缺，为确保如期开学，某学校开学前准备采购若干把体温枪．据了解，当销量不超过200台时，体温枪的单价（元与销量（把成一次函数关系．现厂家给出价格表如表所示．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）经调查发现，体温枪按订单数量进行生产．每把体温枪的成本（元与生产数量（把之间的函数关系如图所示．当总利润元时，求每把体温枪的成本等于多少元？

【解析】（1）设与之间的函数关系式为，将点、代入一次函数表达式得：，

解得：．

故与之间的函数关系式为；

（2）设每把体温枪的成本（元）与生产数量（把）之间的函数关系为，将点、代入一次函数表达式可求每把体温枪的成本（元）与生产数量（把）之间的函数关系式得：，

解得：．

故每把体温枪的成本（元）与生产数量（把）之间的函数关系为，

由题意得：，

解得，（舍去）．

．

故每把体温枪的成本等于245元．