2023年中考数学高频压轴题突破二次函数与线段周长附答案

这是一份2023年中考数学高频压轴题突破二次函数与线段周长附答案，共71页。试卷主要包含了已知，如图，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频压轴题突破二次函数与线段周长附答案
1．已知，如图：抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为K，在x轴上找一点G，使得的距离最大．求出G点坐标．
(3)若点D是线段下方抛物线上的动点，D点关于直线的对称点为E，当四边形是菱形时，求D点的坐标．

















2．综合与探究
如图，已知二次函数的图象与x轴交于两点（点A在点C左侧），与y轴交于点B，直线经过两点，点P是直线上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为，过点P作轴于点F，交直线于点D．

(1)求的值；
(2)求线段的最大值；
(3)连接，将线段绕点F逆时针旋转得到线段，是否存在这样的点E，使点E恰好落在抛物线上．若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．
















3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线过点A、B，与x轴负半轴交于点C．

(1)求抛物线G的解析式；
(2)点P为抛物线G在直线上方的一动点，过点P作x轴的平行线，与直线交于点E．求的最大值及对应的点P的坐标；
(3)将抛物线G沿射线的方向平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线G交于点Q．若点M是抛物线G的对称轴上一动点，在抛物线G上是否存在点N，使得以点C、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点M的坐标，并把求其中一个点M的过程写出来；若不存在，请说明理由．















4．如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于

(1)求抛物线的解析式；
(2)已知，D点为y轴右侧抛物线上一点（D点与B点不重合），过D作轴分别与直线BC，x轴交于F，E两点；
①当D点在直线BC上方时，且，求D点坐标；
②过F点作直线轴与抛物线分别交于两点（M在N左侧），若，求N点横坐标．



















5．如图，抛物线与x轴交于两点，A点坐标为，C点坐标为，与y轴交于点．点P是抛物线上的一动点，且点P在直线的下方，过点P作x轴的垂线，交直线于点E，垂足为D．

(1)求抛物线的表达式；
(2)当最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下（即最大时）问在直线上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，求出符合条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由．


















6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，过点P作x轴的平行线交y轴于点F，过点Q作x轴的平行线交y轴于点E，求矩形的周长最大值及此时点P的坐标．
(3)将抛物线沿射线CB方向平移，当它对称轴左侧的图象经过点B时停止平移，记平移后的抛物线为，设与x轴交于B、D两点，作直线CD，点M是直线BC上一点，点N为直线CD上的一点，当以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出所有符合条件的M点的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．














7．如图，抛物线与轴交、两点（点在点左侧），直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为．

(1)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
(2)在抛物线上是否存在点，使得中边上的高为．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．















8．如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．




















9．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标；
(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．


















10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，﹣3)，连接BC．

(1)求抛物线的解析式及点B的坐标．
(2)如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
(3)动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．















11．如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


















12．如图．在平面直角坐标系中，已如抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在点P，使得是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由；
(3)点G为抛物线上的一动点，过点G作垂直于y轴于点E，交直线于点D，过点D作x轴的垂线垂足为点F，连接，当线段的长度最短时，求出点G的坐标．



















13．如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于B，D两点，且点D的坐标为．直线m是抛物线的对称轴，与直线l交于点M．
　 　
(1)求点A，C两点　　的坐标及直线l的表达式；
(2)如图，点E，F是直线m上的两个动点（点F在点E下方），且，连接AD，DE，AF．求四边形ADEF周长的最小值；
(3)在直线m上是否存在一点P，使得△BDP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．











14．如图，平面直角坐标系中，二次函数图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，图像对称轴交x轴于点D．点P是线段OD上一动点，从O向D运动，H是射线BC上一点．

(1)则点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段BC的长为 ；
(2)如图1，在P点运动过程中，若△OPC中有一个内角等于∠HCA，求OP的长；
(3)如图2，点在二次函数图像上，在P点开始运动的同时，点Q在抛物线对称轴上从D点向上运动，Q点运动速度是P点运动速度的2倍，连接QM，则的最小值为 ．











15．综合与探究
如图，二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．点是射线上的动点，过点作，并且交轴于点．

(1)请直接写出，，三点的坐标及直线的函数表达式；
(2)当平分时，求出点的坐标；
(3)当点在线段上运动时，直线与抛物线在第一象限内交于点，则线段是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．


















16．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式及点C坐标；
(2)如图1，若点P在第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．

















17．已知二次函数．

(1)对于任意m，二次函数都会经过一个定点，求此定点的坐标；
(2)当时，如图，二次函数与y轴的交点为M，顶点为N．
①若点P是x轴上的动点，求的最大值及对应的点P的坐标；
②设点Q是二次函数上的动点，点H是直线MN上的动点，是否存在点Q，使得△OQH是以点Q为直角顶点的等腰Rt△OQH？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．


















18．已知：抛物线经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为直线上方抛物线上任意一点，连、、，交直线于点，设，求当取最大值时点的坐标，并求此时的值．
(3)如图，点为抛物线对称轴与轴的交点，点关于轴的对称点为点．
①直接写出的周长______；
②直接写出的值______．

参考答案：
1．(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)．

【分析】（1）先求得，再利用待定系数法即可求解；
（2）先求得顶点，当当G、K、C三点共线时，距离最大，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可；
（3）设，根据轴对称的性质得，由菱形的性质得到互相平分，再列式计算即可求解．
【解析】（1）解：∵点B的坐标为，
∴，
∵，
∴，
把，代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴顶点，
∵，
∴当G、K、C三点共线时，距离最大，

设直线的解析式为，
把代入得，
∴，
∴直线的解析式为，
∵G在x轴上，
∴；
（3）解：设，其中，
∵D点关于直线OC的对称点为E，
∴，
∴，
又∵四边形是菱形，

∴互相平分，
∴，
∴(舍去)或，
∴．
【点评】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数的解析式，二次函数求最值，菱形的性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
2．(1)，
(2)最大值是
(3)存在，

【分析】（1）根据直线经过两点，得的坐标，代入，即可求解；
（2）依题意，点，则，表示出，根据二次函数的性质求得最大值即可；
（3）过点作于点，根据旋转的性质得出，设，得出，由点在上，代入解方程即可求解．
【解析】（1）解：∵直线经过两点，
∴当时，，当时，．
∴直线与坐标轴的交点坐标为．
将代入，
解得
∴，．
（2）解：由（1）得．
∵点P的横坐标为m，
∴点，则．
∴．
，
；
∴当时，最大，最大值是．
（3）解：如图，过点作于点，

∵将线段绕点F逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点在上，
∴，
解得：或（舍去）
∴．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，线段问题，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．(1)；
(2)最大值为：，；
(3)M的坐标为：或或．

【分析】（1）利用一次函数先求解A，B的坐标，再利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；
（2）设，且，由，解得：，再建立函数关系为，利用二次函数的性质可得答案；
（3）如图，取的中点，过作轴于，则，则，，由抛物线G沿射线的方向平移个单位长度，得到抛物线，可得抛物线G：向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，求解，，而抛物线的对称轴为直线：，设，，再分三种情况讨论即可．
【解析】（1）解：∵，
当，则，当，则，解得，
∴，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式：．
（2）∵点P为抛物线G在直线上方的一动点，
设，且，
∴，
∴，
解得：，即，
∴，
∵，则有最大值，
当时，最大值为：．
∴，
此时．
（3）∵，，
∴
如图，取的中点，过作轴于，则，
∴，，

∵抛物线G沿射线的方向平移个单位长度，得到抛物线，
∴抛物线G：向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到抛物线，
∴抛物线为，
∴，
解得：，即，
令，则，
解得：，，
∴，而抛物线的对称轴为直线：，
设，，
当为对角线时，
∴，
解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，
解得：，
∴，
当为对角线时，
∴，
解得：，
∴，
综上：M的坐标为：或或．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数与特殊四边形，清晰的分类讨论是解本题的关键．
4．(1)
(2)①；②或

【分析】（1）根据待定系数法直接即可得出二次函数的解析式；
（2）①设直线BC解析式为，利用待定系数法确定一次函数解析式，然后设，，表示出，，根据已知条件求解即可；
②过N作交BC于P，过M作交BC于Q，设，利用二次函数的轴对称的性质得出，，结合图象分两种情况分析：①当F在第一象限时，②当F在第四象限时，分别利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【解析】（1）解：抛物线过，两点

∴．
解得．
∴
（2）①设直线BC解析式为
直线过，两点

解得：
直线BC解析式为
设，
∴，
∵
∴

解得：，（舍去）
∴；
②过N作交BC于P，过M作交BC于Q
设，
∵抛物线对称轴为：直线
M与N关于对称轴对称
∴，
∵，
∴
∴
①当F在第一象限时




∵  
∴
∴
∴
∴．即
解得：，（舍去）
②当F在第四象限时


∵
∴
∴
∴．

解，得：，（舍去）
∴N横坐标为或

【点评】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质，线段问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键．
5．(1)
(2)
(3)存在， Q点的坐标为或

【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为，进而可得出的长度，利用二次函数的最值即可解决问题；
（3）设点Q的坐标为，则分三种情况，利用勾股定理即可得出关于y的方程，解之即可得出结论．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，A点坐标为，C点坐标为，与y轴交于点．
∴，解得： ，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，

设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，
∵．
∴设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴点E的坐标为，
∴，
∴当时，最大，此时点P的坐标为；
（3）∵点Q在直线上，轴，点P的坐标为，
∴点Q的坐标为，
则
当时，有，
即
解得：，
∴Q点的坐标为 ；
当时，有，
即
解得：，
∴Q点的坐标为；
当时，有，
即
此时方程无解．
综上所述：在直线上存在点Q，使为直角三角形，Q点的坐标为或．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
6．(1)
(2)矩形的周长最大值为：，
(3)或

【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）求得直线的解析式为，设，则，，表示出矩形的周长，根据二次函数的性质求得最值，以及此时的点的坐标；
（3）根据题意求得平移后的抛物线解析式，进而求得点的坐标，分，，联立直线解析式即可求解．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，，
∴，
解得：，
∴解析式为；
（2）由与y轴交于点C，令，解得，
∴，
设直线的解析式为：，将，代入得，
，
解得：，
∴直线的解析式为，

设，则，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴矩形的周长为：，
∴当时，矩形的周长最大，为，
此时，
∴；
（3）解：∵，
设顶点为，则，
设平行与的直线为，
∴，
解得，
∴，
平移后的抛物线顶点为，设，
则平移后的抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
解得，
∵对称轴左侧的图象经过点B，
∴，
∴，
即顶点坐标为，
∴抛物线解析式为，
令，即解得，
∴，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，

∵在:上，在上，
∵，，
当时，如上图，
设的解析式为，代入，
得，
∴直线解析式为，
联立，
，
解得：，
即,
同理，当时，
设直线的解析式为，将点代入得，
∴直线的解析式为

联立，
，
解得，
；
综上所述，或．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，线段周长问题，特殊四边形问题，二次函数的平移，一次函数交点问题，综合运用所学内容是解题的关键．
7．(1)
(2)存在，或
(3)存在4个这样的点，分别是，， ，

【分析】（1）根据解析式求得，的坐标，设点的横坐标为，则、的坐标分别为：，，表示出，根据二次函数的性质求得的最大值；
（2）待定系数法求得直线的解析式是，进而得出，，
（3）根据平行四边形的性质，分别作出图形，分类讨论即可求解．
【解析】（1）解：令，解得或，
∴，；
将点的横坐标代入
得，
∴，
∴直线的函数解析式是，
设点的横坐标为，
则、的坐标分别为：，，
∵点在点的上方，，
∴当时，的最大值，

（2），，设的解析式为,
则
解得
∴直线的解析式是，
，，
∴；
∵中边上的高为．
如图，过点作交的延长线于点，则,

过点作轴于点，交于点，
由直线BD的表达式知，，
则，
设点，则点，
则，即，解得或，
∴或．
（3）存在4个这样的点，分别是，，，．
①如图，连接与抛物线和轴的交点，

∵，，
∴轴，此时，
∴点的坐标是；
②如图，，点的坐标为，因此点的坐标为；

③如图，此时，两点的纵坐标互为相反数，因此点的纵坐标为3，

代入抛物线中即可得出点的坐标为，
由于直线的与直线的相同，
因此可设直线的解析式为，
将点代入后可得出直线的解析式为．
因此直线与轴的交点的坐标为；
④如图，同③可求出的坐标为；

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的点，分别是，， ，．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了平行四边形的性质、求线段长度的最值的方法等，分类求解是本题解题的关键．
8．(1)
(2)P（4，21），（﹣4，5）
(3)

【分析】（1）根据OA＝OC，可求c；再依据对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），可求a、b，即得求抛物线解析式．
（2）可求△BOC的面积，根据，可求P点坐标．
（3）求出直线AC解析式，设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），则点D，根据二次函数的最值求法，可求QD的最大值．
【解析】（1）令x＝0，则y＝c，
∴OC＝﹣c，
∵OA＝OC，
∴3＝﹣c，即c＝﹣3．
∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），
根据题意得：，
解之：．
∴抛物线解析式．
（2）当x＝0时，y＝﹣3，
∴点C（0，﹣3），即OC＝3，
∵A，B关于对称轴对称，
∴B（1，0），即OB＝1，
∴，
设，
∴＝×3×|x|，
∵＝，
∴，
∴x＝±4，
∴P（4，21），（﹣4，5）．
（3）∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，
∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），
则点，
∴，
∴当m＝﹣时，QD的最大值为 ．
【点评】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数的最值问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键
9．(1)
(2)（1，-2）
(3)（-1，0）或（，-2）或（，2）

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；
（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．
【解析】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵抛物线解析式为，与y轴交于点C，
∴抛物线对称轴为直线，点C的坐标为（0，-3）
如图所示，作点C关于直线的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），  
由轴对称的性质可知CQ=EQ，
∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，
要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，
∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，
设直线AE的解析式为，
∴，
∴，
∴直线AE的解析式为，
当时，，
∴点Q的坐标为（1，-2）；

（3）解： 如图1所示，当点P在x轴上方，∠BPM=90°时，过点P作轴，过点M作MF⊥EF于F，过点B作BE⊥EF于E，


∵△PBM是以PB为腰的等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，
∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，
∴∠FMP=∠EPB，
∴△FMP≌△EPB（AAS），  
∴PE=MF，BE=PF，
设点P的坐标为（1，m），
∴，
∴，，
∴点M的坐标为（1-m，m-2），
∵点M在抛物线上，
∴，  
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（-1，0）；
同理当当点P在x轴下方，∠BPM=90°时可以求得点M的坐标为（-1，0）；
如图2所示，当点P在x轴上方，∠PBM=90°时，过点B作轴，过点P作PE⊥EF于E，过点M作MF⊥EF于F，设点P的坐标为（1，m），
同理可证△PEB≌△BFM（AAS），
∴，
∴点M的坐标为（3-m，-2），
∵点M在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为（，-2）；

如图3所示，当点P在x轴下方，∠PBM=90°时，
同理可以求得点M的坐标为（，2）；
综上所述，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，点M的坐标为（-1，0）或（，-2）或（，2）．

【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
10．(1)，（-3，0）
(2)
(3)或（-2，1）或

【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y=0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；
（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；
（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM=BM，PM=PB和BP=BM，结合图象，进一步得出结果．
【解析】（1）解：把点A(1，0)，C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴抛物线解析式为；
令 y=0，则，
解得：，
∴点B的坐标为（-3，0）；
（2）解：设直线BC的解析式为，
把点B（-3，0），C(0，﹣3)代入得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为，
设点，则，
∴，
∴当时，PQ最大，最大值为；
（3）解：存在，
根据题意得：，则，
如图，当BM=PM时，

∵B（-3，0），C（0，-3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
延长NP交y轴于点D，
∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN∥x轴，BN∥PM，即DN⊥y轴，
∴△CDP为等腰直角三角形，
∴，
∵BM=PM，
∴∠MPB=∠OBC=45°，
∴∠PMO=∠PDO=∠MOD=90°，
∴四边形OMPD是矩形，
∴OM=PD=t，MP⊥x轴，
∴BN⊥x轴，
∵BM+OM=OB，
∴t+t=3，解得，
∴，
∴；
如图，当PM=PB时，作PD⊥y轴于D，连接PN，

∵点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，
∴PN⊥BM，NE=PE，
∴BM=2BE，
∴∠OEP=∠DOE=∠ODP=90°，
∴四边形PDOE是矩形，
∴OE=PD=t，
∴BE=3-t，
∴t=2（3-t），解得：t=2，
∴P（-2，-1），
∴N（-2，1）；
如图，当PB=MB时，

，解得：，
∴，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∴PE⊥PM，
∴∠EON=∠OEP=∠EPN=90°，
∴四边形OEPN为矩形，
∴PN=OE，PN⊥y轴，
∵∠OBC=45°，
∴，
∴，
∴点N在y轴上，
∴，
综上所述，点N的坐标为或（-2，1）或．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．
11．(1)
(2)存在，Q(-2，8)
(3)存在，(6，8)或(-2，-8)或(-10，8)

【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点坐标与系数的关系即可求得；
（2）根据轴对称的性质先找出C的对称点C′，然后连接AC′即可找到Q点，最后根据A、C′的坐标求得直线AC′的解析式，即可求得Q的坐标；
（3）分三种情况：如图，①当以AQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABQP1；②当以AB为四边形对角线线时，则有平行四边形AQBP2；③当以BQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABP3Q；根据平行四边形的性质，利用平移坐标变换规律求出P坐标即可．
【解析】（1）解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（-6，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：存在(如图1) Q(-2，8)，
连接BC交抛物线对称轴于点Q，此时△QAC的周长最小.

∵抛物线交y轴于C点，
∴c=12，即C（0，12），
又B（-6，0），
设：直线BC的解析式为y=kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=2x+12，
又抛物线的对称轴为直线x=-2，
当x=-2时代入y=2x+12，解得y=8，
所以Q(-2，8)；
（3）解：存在，
分三种情况：如图，

①当以AQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABQP1，
∴QP1AB，QP1=AB，
∵B(-6,0)，Q(-2,8),
∴将AB沿x轴向右平移4个单位，沿y轴向上平移8个单位，得到QP1，
又∵A(2,0)，
∴P1(6,8)；
②当以AB为四边形对角线线时，则有平行四边形AQBP2，
∴AP2BQ，AP2=BQ，，
∵A(2,0)， Q(-2,8),
∴将BQ沿x轴向右平移4个单位，沿y轴向下平移8个单位，得到AP2，
又∵B(-6,0)，，
∴P2(-2,-8)；
③当以BQ为四边形对角线线时，则有平行四边形ABP3Q，
∴QP3AB，QP3=AB，，
∵A(2,0)，Q(-2,8),
∴将AB沿x轴向左平移4个单位，沿y轴向上平移8个单位，得到QP3，
又∵B(-6,0)，，
∴P3(-10,8)；
综上，存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，P点坐标为(6，8)或(-2,-8)或(-10，8) ．
【点评】该题考查的内容主要涉及到利用待定系数法确定函数解析式、利用轴对称性质求最小值、平行四边形的判定和性质，平移坐标变换规律，题目属二次函数综合题，要注意分类讨论思想的应用．
12．(1)
(2)存在，P（-5，-20）
(3)G或

【分析】（1）运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点A作，交轴于点，交抛物线与点，通过∽ 求得OH的长，从而得到H点坐标，继而得到直线AP的解析式，与抛物线解析式联立即可得到点P坐标；
（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当时，OD（即EF）的长度最小．然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点G的纵坐标，代入解析式就可求出点G的横坐标，从而得到点G的坐标．
（1）
∵抛物线与x轴交于两点，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线过点C（0，），
∴
∴，
∴，
；
（2）
过点A作，交轴于点，交抛物线与点，则A（5，0），B（-1，0）
∵，
∴∽      
∴     
∴；
又∵，，
∴，
∴H（0，-10），A（5，0），
设直线的解析式为，

解得
∴直线AP的解析式为，
联立     
解得   
∴P（-5，-20）；
（3）
∵轴，轴，
∴四边形OFDE是矩形，
∴EF=OD，
∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当时，OD的长度最小．
此时，

，

又∵轴，，
∴∽，
∴   
∴，
∴OE=2，
∴点G的纵坐标为2，
∴    
解得，
∴G或．

【点评】本题考查二次函数，待定系数法，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，最小值等知识，能正确地分析问题，根据题意画出图形等是解题的关键．
13．(1)点A的坐标为，点C的坐标为，直线l的表达式为
(2)最小值为
(3)存在，为，， ，

【分析】（1）根据抛物线解析式，令及即可得点A，C两点的坐标；并根据待定系数法求出直线的表达式；
（2）根据题意判定四边形CEFQ是平行四边形，利用平行四边形的性质及将军饮马模型，结合勾股定理求线段长即可；
（3）分三种情况构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．
（1）
解：当时，，
∴点C的坐标为．
当，即，解得，．
∵点A在点B左侧，
∴点A的坐标为，点B的坐标为．
设直线l的表达式为，
∵点和点在直线l上，
∴．
解得．
∴直线l的表达式为．
∴点A的坐标为，点C的坐标为，直线l的表达式为．
（2）
解：抛物线的对称轴为直线．
连接CE，过点F作，交y轴于点Q，连接AQ．

∵点C坐标为，点D坐标为，
∴点C，D关于直线m对称．
∴．
∵，，
∴四边形CEFQ是平行四边形．
∴，．
∴．
∴当点F运动到AQ与直线m的交点处时，最小，最小值即为AQ的长．
在Rt△AOQ中，，，
由勾股定理得．
∵，，
∴．
∴四边形ADEF的周长最小值为．
（3）
解：存在，为，， ，．
假设在直线m上存在一点P，使得△BDP为直角三角形，分三种情况：①过作，交直线于；②以中点为圆心，为半径作圆，交直线于；③过作，交直线于，如图所示：

设，
，，则，,,
①过作，交直线于:
在中，，根据勾股定理，即，
，
，解得，即；
②以中点为圆心，为半径作圆，交直线于：
在中，，根据勾股定理，即，
，
，
，

即，
解得，，即，；
③过作，交直线于：
在中，，根据勾股定理，即，
，
，解得，即；
综上所述，在直线m上存在一点P，使得△BDP为直角三角形，点坐标为，， ，．
【点评】本题考查二次函数综合，涉及到待定系数法求直线解析式、二次函数与坐标轴交点坐标求解、平行四边形的判定与性质、动点最值问题、两点之间距离公式、勾股定理和构造直角三角形的方法，熟练掌握相关知识及解题方法是解决问题的关键．
14．(1)（－10，0）；（2，0）；
(2)或3
(3)

【分析】（1）二次函数中，令y=0，解方程得点A、B坐标，令x=0得点C坐标，通过勾股定理求得BC的长；
（2）先求出直线BC的函数关系式，再求得点D及点E的坐标，再得出△AEB为等腰直角三角形，求得EC及AC的长，证得△CPO∽△ACE，求得OP的长，再证△CPO∽△CAE，求得OP的长；
（3）先证明Rt△COP∽Rt△QDO，可得，作点M关于直线x＝－4的对称点M’， 过点M’作MN⊥x轴于点N，求得点M及M’的坐标，再求出OM’的长，最后求出的最小值．
(1)
二次函数中，令y=0，得：，
解得：，
∴A（－10，0），B（2，0），
二次函数中，令x=0，得：y=2，
∴C（0，2），
∴，
故答案为：（－10，0）；（2，0）；；
(2)
如图，连接AE，

设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b．
∵函数图像经过B（2，0），C（0，2）
则，解得．
∴y与x的函数关系式为；
∵抛物线的对称轴为x＝－4
∴D（4，0）．
延长BC交对称轴为E，
∴E（－4，6），
∴DE＝DB＝6．
又∵DE⊥DB，
∴∠DEB＝∠DBE＝45°．
∵A（－10，0），AD＝DE＝DB＝6，
∴△AEB为等腰直角三角形，．
∴，．
若∠CPO＝∠HCA，
则△CPO∽△ACE，
∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，
∴CO：OP＝3：2
∵CO＝2，
∴；
若∠PCO＝∠HCA，
则△CPO∽△CAE，
∵在△ACE中，AE：CE＝3：2，
∴OP：CO＝3：2
∵CO＝2，
∴OP＝3；
综上所述，OP长为或3．
(3)
由题意可知：
∵，∠COP＝∠QDO＝90°，
∴Rt△COP∽Rt△QDO．
∴
∴OQ＝2CP．作点M关于直线x＝－4的对称点M’，则MQ＝M’Q．
∵M（－3，）
∴M’（－5，），
过点M’作MN⊥x轴于点N，

在Rt△M’NO中，．
所以QM＋2CP的最小值为．
故答案为：
【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数背景下三角形最值问题，相似三角形的性质及判定、勾股定理等内容，是道综合性比较强的题目，在解题时注意作适当的辅助线，求最值问题的关键是构造出对应的线段．
15．(1)，，，
(2)，
(3)存在，

【分析】（1）分别令，求得的坐标，然后待定系数法求解析式即可求解．；
（2）先根据勾股定理求得，当点在线段上时．过点作轴，垂足为．当点在线段的延长线上时．过点作轴，垂足为．证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数值即可求解；
（3）过点作轴，并且交直线于点,过点作，并且交轴于点，证明，，设点，，则，根据，求得，进而根据二次函数的性质求得的最大值即可求解．
（1）
解：二次函数与轴交于，两点，与轴交于点．
令，则，即．
令，则，解得，即，，
，，．
设直线的表达式为，
则
解得
直线的表达式是：．
（2）
∵，
∴．
又∵．
∴．
∴．
由勾股定理，得．
分两种情况．
如答图1，当点在线段上时．过点作轴，垂足为．

则．
∴．
∴．
解得，．
∴．
∴点．

如答图2，当点在线段的延长线上时．过点作轴，垂足为．

则．
∴．
∴．
解得，．
∴．
∴点．

（3）
如答图3.过点作轴，并且交直线于点,过点作，并且交轴于点．
则，

．
∴．
∵，，
∴．
∴．
设点，．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴有最大值．的最大值为．

【点评】本题考查了二次函数的综合运用，相似三角形的性质与判定，掌握二次函数的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16．(1)抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；C（0，3）；
(2)PE最大值为，点P的坐标为（，）；
(3)点G的坐标为（0，1）或（0，3+1）或（0，1-3）．

【分析】（1）求得A（-1，0），B（3，0），利用待定系数法即可求解；
（2）先求得直线BC的解析式为y=-x+3，设点P的坐标为（m，−m2+2m+3），则点E的坐标为（m2-2m，−m2+2m+3），得到PE= m-( m2-2m) = - ( m-) 2+，利用二次函数的性质求解即可；
（3）设点P的坐标为（n，−n2+2n+3），则点M的坐标为（n，−n+3），分当MC和MP为邻边，即MC=MP时和当PC与PM为邻边，即PC=PM时两种情况讨论，即可求解．
【解析】（1）解：∵OB=3OA=3，
∴OA=1，
∴A（-1，0），B（3，0），
把A（-1，0），B（3，0）代入y=−x2+bx+c得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
令x=0，则y=3，
∴C（0，3）；
（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B（3，0）代入得0=3k+3，
解得k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
设点P的坐标为（m，−m2+2m+3），则点E的坐标为（m2-2m，−m2+2m+3），(0