2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与最值附答案

这是一份2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与最值附答案，共64页。试卷主要包含了如图，抛物线与x轴交于，两点等内容，欢迎下载使用。

2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与最值附答案
1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点，与y轴交于点A．

（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，若点N在线段上运动（不与点B，C重合），过点N作，交于点M，当面积最大时，求点N的坐标；
（3）在（2）的结论下，若点Q在第一象限，且，线段是否存在最值？如果存在请直接写出最值，如果不存在，请说明理由．

















2．如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，与x轴交于A(4，0)、O两点，点D(2，－2)为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点E为AO的中点，以点E为圆心、以1为半径作⊙E交x轴于B、C两点，点M为⊙E上一点．
①射线BM交抛物线于点P，设点P的横坐标为m，当tan∠MBC＝2时，求m的值；
②如图2，连接OM，取OM的中点N，连接DN，则线段DN的长度是否存在最大值或最小值？若存在，请求出DN的最值；若不存在，请说明理由．


















3．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．






















4．如图，抛物线与x轴交于，两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在抛物线的第二象限图像上是否存在一点P，使得的面积最大？若存在，求出点P的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由．




















5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点．

(1)求的面积．
(2)为抛物线的顶点，连接，点为抛物线上点、之间一点，连接、，过点作交直线于点，连接，求四边形面积的最大值以及此时点的坐标．




















6．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．

(1)求出拋物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，直接写出的取值范围．



















7．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点的坐标为，且与轴交于、两点，为抛物线上任一点，直线交抛物线于点．

(1)求这个抛物线相应的函数表达式；
(2)如图1，当点的横坐标为时，点是直线下方抛物线上的一点，过点作轴的平行线交直线于点，求的最大值；
(3)如图2，过点作直线平行于轴，过点作于点，试说明、、三点在同一条直线上．


















8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，且A(﹣2，0)，直线BC的解析式为y3．

(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作ADBC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE、EB、BD、DC，求四边形BECD面积的最大值时相应点E的坐标；
(3)将抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在(2)中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．













9．如图1，直线y=-3x＋3分别交x，y轴于E，C两点，以直线DE为对称轴，点D为顶点的抛物线y=ax2＋bx＋3过C点，交x轴A，B两点，已知A的坐标为（－1，0）．

(1)求B的坐标以及该抛物线的函数表达式；
(2)在第一象限内点P（m，n）是抛物线对称轴右侧图像上的一个动点，连接PC，PE，△PCE的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
(3)如图2，连结CD，BC，BD，过抛物线图像上点M作MN⊥x轴，在第一象限内是否存在M使得A，M，N构成的三角形与△BCD相似，求M点的横坐标．
















10．如图，直线yx+2与x轴，y轴分别交于点A（﹣4，0），C（0，2），抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B，点D是AC上方抛物线上一点．

(1)求抛物线的函数表达式．
(2)连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，如图1，△CDE，△BCE的面积分别为S1，S2，求的最大值．
(3)过点D作DF⊥AC于F，连接CD，如图2，是否存在点D，使得∠DCF等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，说明理由．

















11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点为A（﹣2，9）与y轴交点为B（0，5）．

(1)求此抛物线的函数关系式以及与x轴的交点坐标C（x1，0），G（x2，0）（x1＜x2）；
(2)抛物线上是否存在点P，使得△PBC中BC边上的高为5？若存在，请求出，不存在，说明理由；
(3)已知点D（﹣2，3），点E从点O出发沿OB方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点F从点O出发沿OC方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．当一个点停止运动另一个点也停止运动，设运动时间为t秒（0＜t），△DEF的面积为S，当t为何值时？S最大，并求出最大值．

















12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与轴交于点A（-2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线，线段BC以及x轴于点P、D、E．

(1)求抛物线的表达式；
(2)连接AC，AP，当直线运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；
(3)作PF⊥BC，垂足为F，当直线运动时，求Rt△PFD面积的最大值．
















13．如图①，已知抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为(－1，0)，点C坐标为(0，)，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．

(1)求a，c的值；
(2)求线段DE的长度；
(3)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？
















14．如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋C（a≠0）经过点A（﹣4，0），点B（2，0）和点C（0，﹣4），它的对称轴为直线l，顶点为D．

(1)求该抛物线的表达式：
(2)如图②，点P是直线AC下方该抛物线上的一个动点，连接AR．CP、AC，当△APC的面积取得最大值时，求点P的坐标；
(3)如图③，点E是直线AD下方该抛物线上的一个动点，过E点作EF⊥直线l于F，连接DE，当以D、E、F为顶点的三角形与△BOC相似时，求点E的坐标．




















15．如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为(1,0)，且OA=OC=3OB，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；
(3)如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．



















16．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．

（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值．
（3）在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标．




















17．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴负半轴相交于点A（﹣20，0），与y轴相交于点B（0，﹣15）．
（1）求抛物线的函数表达式及直线AB的函数表达式；
（2）如图2，点C是第三象限内抛物线上的一个动点，连接AC、BC，直线OC与直线AB相交于点D，当△ABC的面积最大时，求此时△ABC面积的最大值及点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，点E为线段OD上的一个动点，点E从点O开始沿OD以每秒个单位长度的速度向点D运动（运动到点D时停止），以OE为边，在OD的左侧作正方形OEFG，设正方形OEFG与△OAD重叠的面积为S，运动时间为t秒．当t＞3时，请直接写出S与t之间的函数关系式为 　 　（不必写出t的取值范围）．

















18．已知抛物线y＝ax2+x+4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
（2）如图，若点M是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N；
①设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出MN的长，并求出MN的最大值及此时M点的坐标；
②过点M作MD⊥MN，交抛物线于点D，是否存在点M使△DMN为等腰直角三角形？若存在，求出点M的横坐标m的值；若不存在，说明理由；
（3）点E为x轴正半轴上一点，直接写出使△ACE为等腰三角形的点E的坐标．


参考答案：
1．（1）；（2）当时，即时，的面积最大；（3）的最大值为，最小值为
【分析】（1）利用待定系数法将点B，C的坐标分别代入得：，解方程组即可；
（2）设N点的坐标为，可求．，，由，可证△BMN∽△BAC，可得，与，由，可求，由，可求即可；
（3）过N作AC的对称点N′，作CN的垂直平分线DE，交CN于D，交AC于E，以E为圆心EC为半径作⊙E，则点Q在运动时，始终有∠NQC=∠NN′C=∠N′NC，可证△ABC为直角三角形，可得AB∥NN′，可证∠N′NC=∠ABO，由tan∠ABO=，可求tan=tan∠ABO=2，当BQ过圆心E时BQ取最大值和最小值，在Rt△BED中，由勾股定理得：BE=，在Rt△CDE中CE=，可求的最大值为，的最小值为．
【解析】解：（1）将点B，C的坐标分别代入，得：
，
解得：，
∴该二次函数的表达式为．
（2）设N点的坐标为，
则．
∵，，
∴，
令， ，
∴点，
∵，
∴∠BMN=∠BAC，∠BNM=∠BCA，
∴△BMN∽△BAC，
∴，
∴
∴
∵，

∴

又∵
∴

∴当时，即时，的面积最大．
（3）过N作AC的对称点N′，作CN的垂直平分线DE，交CN于D，交AC于E，以E为圆心EC为半径作⊙E，
则点Q在运动时，始终有∠NQC=∠NN′C=∠N′NC，
因为A（0，2），B（-1,0），C（4，0），
∵AB=，AC=
∴AB2+AC2=5+20=25=BC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴AB⊥AC，
∵NN′⊥AC，
∴AB∥NN′，
∴∠N′NC=∠ABO，
∵tan∠ABO=，
∴=tan∠ABO=2，
当BQ过圆心E时BQ取最大值和最小值，
∵∠DEC=∠NQC，
∴tan∠DEC=tan∠NQC=2，
∵，
∴CN=，
∴DN=DC=，
∴DE=DC÷tan∠DEC=，
∴BD=OB+ON+ND=，
∴在Rt△BED中，由勾股定理得：
BE=，
在Rt△CDE中CE=，
∴的最大值为，的最小值为；

【点评】本题考查待定系数法求抛物线解析式，平行线性质，相似三角形判定与性质，勾股定理与逆定理，直角三角形判定与性质，锐角三角函数，线段垂直平分线，轴对称性质，辅助圆，本题难度较大，利用辅助线构造准确图形是解题关键．
2．（1）；（2）①m=2或4+2；②线段DN的长度最小值和最大值分别为和．
【分析】（1）用抛物线顶点式表达式得：y=a（x-2）2-2，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）①分点P在x轴下方、点P在x轴上方两种情况，分别求解即可；
②证明BN是△OEM的中位线，故BN=EM=，而BD=，而BDBN≤ND≤BD+BN，即可求解．
【解析】解：（1）用抛物线顶点式表达式得：y=a（x-2）2-2，
将点A的坐标代入上式并解得：a=，
故抛物线的表达式为：y=（x-2）2-2=x2-2x①；
（2）①点E是OA的中点，则点E（2，0），圆的半径为1，则点B（1，0），
当点P在x轴下方时，
如图1，

∵tan∠MBC=2，
故设直线BP的表达式为：y=-2x+s，将点B（1，0）的坐标代入上式并解得：s=2，
故直线BP的表达式为：y=-2x+2②，
联立①②并解得：x=±2（舍去-2），故m=2；
当点P在x轴上方时，
同理可得：m=4±2（舍去4-2）；
故m=2或4+2；
②存在，理由：
连接BN、BD、EM，

则BN是△OEM的中位线，故BN=EM=，而BD=，
在△BND中，BD-BN≤ND≤BD+BN，
即≤ND≤，
故线段DN的长度最小值和最大值分别为和．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、中位线的性质等，综合性强，难度适中．
3．（1）y＝ x2﹣x﹣4；（2）S＝﹣（m﹣2）2+16，S的最大值为16；（3）点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．
【分析】（1）根据交点式可求出抛物线的解析式；
（2）由S=S△OBC+S△OCD+S△ODA，即可求解；
（3）∠BPC=45°，则BC对应的圆心角为90°，可作△BCP的外接圆R，则∠BRC=90°，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，证明△BMR≌△RNC（AAS）可求出点R（1，-1），即点R在函数对称轴上，即可求解．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），
∴抛物线的表达式为：y＝（x﹣4）（x+2）＝ x2﹣x﹣4；
（2）设点D（m， m2﹣m﹣4），可求点C坐标为（0，-4），
∴S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA
＝
＝﹣（m﹣2）2+16，
当m＝2时，S有最大值为16；
（3）∠BPC＝45°，则BC对应的圆心角为90°，如图作圆R，则∠BRC＝90°，
圆R交函数对称轴为点P，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，设点R（m，n）．

∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，
∴∠CRN＝∠MBR，
∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，
∴△BMR≌△RNC（AAS），
∴CN＝RM，RN＝BM，
即m+2＝n+4，﹣n＝m，
解得：m＝1，n＝﹣1，
即点R（1，﹣1），即点R在函数对称轴上，
圆的半径为：＝，
则点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数与几何综合运用，涉及圆周角定理、二次函数解析式的求法、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏，能灵活运用数形结合的思想是解题的关键，（3）的难点是作出辅助圆．
4．(1)
(2)存在，
(3)存在，点P的坐标为，8

【分析】(1)运用待定系数法计算即可．
(2)判定，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标．
(3)设，过点P作于点E，根据，构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可．
【解析】（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴，解得，∴该抛物线的解析式为．
（2）存在，点．理由如下：∵抛物线与x轴交于，两点，∴，是对称点，且，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，
当时，，故点．
（3）如图，设，过点P作于点E，

∵抛物线与x轴交于，两点，且，
∴，，，，
∴，




，
故当时，取得最大值，且为8，此时．
【点评】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键．
5．(1)3
(2)最大值为4，

【分析】（1）求出抛物线与坐标轴的交点，即可求得结果；
（2）连接，由可得，则四边形面积，过P作y轴的平行线交于点N，设点P的坐标为，求出直线的解析式，则可得N的坐标，从而可面积关于t的二次函数关系式，即可求得最值及此时点P的坐标．
【解析】（1）解：对于，令，解得，；令，得，
即，，，
，，
；
（2）解：连接，如图，
，
，
；
过P作y轴的平行线交于点N，设点P的坐标为，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
的坐标为，
抛物线的对称轴为直线，且P在抛物线上C、D两点间，
，，





，
上式当时，的面积取得最大值4，从而四边形的面积取得最大值4，
当时，，
所以点P的坐标为．

【点评】本题是二次函数与图形面积的综合，考查了求抛物线与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，第二问的关键与难点是把求四边形的面积转化为求三角形的面积，再转化为求共底的两个三角形面积的和．
6．(1)
(2)四边形面积的最大值为8，点的坐标为
(3)或

【分析】（1）对直线，分别令，求出相应的，的值即得点、的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点作轴于点，交直线于点，如图1所示．设点的横坐标为，则的长可用含的代数式表示，然后根据即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形面积的最大值及点的坐标；
（3）当时，分旋转后点与点落在抛物线上时，分别画出图形如图2、图3，分别用的代数式表示出点与点的坐标，然后代入抛物线的解析式即可求出的值，进而可得的范围；当时，用同样的方法可再求出的一个范围，从而可得结果．
【解析】（1）解：对直线，当时，，当时，，
点的坐标是，点的坐标是，
把点、两点的坐标代入抛物线的解析式，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：过点作轴于点，交直线于点，如图1所示：

设，则，
，




，
，
当时，四边形面积最大，最大值为8，此时点的坐标为；
（3）解：若，当旋转后点落在抛物线上时，如图2，线段与抛物线只有一个公共点，

点的坐标是，
，
解得：或（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图3，线段与抛物线只有一个公共点，

点的坐标是，
，
解得：或（舍去）；
当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围是：；
若，当旋转后点落在抛物线上时，如图4，线段与抛物线只有一个公共点，

点的坐标是，
，
解得：或（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图5，线段与抛物线只有一个公共点，

点的坐标是，
，解得：或（舍去）；
当时，若线段与抛物线只有一个公共点，的取值范围是：；
综上，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围是：或．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、旋转的性质、一元二次方程的解法、二次函数的图象与性质以及抛物线上点的坐标特点等知识，具有较强的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的图象与性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)见解析

【分析】（1）利用顶点式，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出即可；
（2）先确定点和直线的解析式，然后通过解由二次函数解析式和正比例函数解析式建立的方程组可确定，设，从而得出，得到，最后利用二次函数的最值可求出的最大值；
（3）设，根据题意可得出，，确定直线的解析式和直线的解析式，然后通过解由二次函数解析式和正比例函数解析式建立的方程组可确定，再把点的坐标代入直线的解析式为进行验证，即可得出结论．
（1）
解：∵抛物线的顶点的坐标为，且与轴交于、两点，
设抛物线的解析式为，
∴，
解得：，
∴这个抛物线相应的函数表达式为．
（2）
∵点的横坐标为，且点在抛物线上，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，即直线的解析式为，
∵直线交抛物线于点，
∴，
解得：，，
∴，
∵点是直线下方抛物线上的一点，过点作轴的平行线交直线于点，
设，
∴，
∴，
∴当，．
（3）
∵过点作直线平行于轴，过点作于点，
设，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
解得：，，
∴，
∵直线的解析式为，
当时，，
∴点在直线上，
∴、、三点在同一条直线上．
【点评】本题是二次函数和一次比例函数综合题，涉及到用待定系数法确定二次函数解析式、正比例函数解析式、一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数和正比例函数图像上点的坐标特征，解方程（组）等知识点．解题的关键掌握两点：（1）通过解方程组确定函数交点的坐标；（2）通过将点的坐标代入解析式进行验证来确定点是否在图像上．
8．(1)yx2+x+3
(2)点E的坐标为(3,)
(3)存在，点N的坐标为(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2)

【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，代入抛物线求得a、b的值，即可得抛物线的表达式；
（2）根据四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点，联立直线和抛物线，使该方程判别式为0即可求得E的坐标；
（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
（1）
解：∵直线BC的解析式为y3，
∴令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝3，
∴点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,3)；
∵A(﹣2,0)，
∴代入抛物线得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：yx2+x+3．
（2）
解：∵ADBC，
∴设直线AD的表达式为：yx+m，
将A(﹣2，0)代入直线AD即可求得：m＝﹣1，
∴直线AD：yx﹣1，
设过点E与直线BC平行的直线：yx+n，
∵四边形BECD面积最大值时，E点到直线BC的距离最远，即此时直线yx+n与抛物线只有一个交点，
∴令yx+nx2+x+3，
化简得：x2﹣6x+4n﹣12＝0①，
由Δ＝36﹣4(4n﹣12)＝0得：n，
∴方程①的解为：x1＝x2＝3，
∴四边形BECD面积最大值时相应点E的坐标为(3,)．
（3）
解：存在，理由：
①当AE是平行四边形的对角线时，

∵y(x+2)2+(x+2)+3x2+4，
∴新抛物线的表达式为：yx2+4，且原抛物线对称轴为直线x＝2，
∵点A、E的坐标分别为(﹣2,0)、(3,)，
∴AE中点的坐标为(,)，
设点M(2,t)，点N(s,t2+4)，
则由中点公式得：，，
解得：s＝﹣2，t＝2(负值舍去)，
∴N(﹣2,2)；
②当AE是平行四边形的边时，

设M(2,t')，点N(s',t'2+4)，
则s'﹣2＝5，解得s'＝7，N(7,﹣2)，
s'﹣2＝﹣5，解得s'＝﹣3，N(﹣3,﹣2)，
综上，点N的坐标为：(﹣2,2)或(7,﹣2)或(﹣3,﹣2)．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、图形的平移、面积的计算等，其中(3)问要注意分类求解，避免遗漏．
9．(1),
(2)，S的最大值为
(3)存在，M点的横坐标为

【分析】（1）求出E点坐标，由题意可知抛物线的对称轴为x=1，则b=-2a，将A（-1，0）代入y=ax2-2ax+3，即可求函数的解析式；
（2）过点P作PH∥y轴交直线CE于点H，根据，求得关系式，进而根据二次函数的性质求得最值；
（3）先判断△BCD是直角三角形，则tan∠CBD=，设M（t，-t2+2t+3），则N（t，0），则MN=|-t2+2t+3|，AN=|t+1|，分两种情况讨论：①当∠MAN=∠DBC时，②当∠AMN=∠DBC时，根据tan∠CBD=，建立方程，解方程即可求解．
（1）
解：由直线y=-3x＋3分别交x，y轴于E，C两点，令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
令y=0，则x=1，
∴E（1，0），
∵直线DE是对称轴，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=-2a，
∴y=ax2-2ax+3，
将A（-1，0）代入y=ax2-2ax+3，得a+2a+3=0，
解得a=-1，
∴y=-x2+2x+3，
令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得x=-1或x=3，
∴B（3，0）；
（2）
过点P作PH∥y轴交直线CE于点H，

∵P（m，n），
∴H（m，-3m+3），
∴PH=n+3m-3=-m2+5m，
∴

，
当m=时，S有最大值；
（3）
存在M使得A，M，N构成的三角形与△BCD相似，理由如下：

∵B（3，0），C（0，3），D（1，4），
∴BC=3，BD=2，CD=，
∴BD2=BC2+CD2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BCD=90°，
∴tan∠CBD=，
∵MN⊥x轴，
∴∠ANM=90°，
设M（t，-t2+2t+3），则N（t，0），
∴MN=|-t2+2t+3|，AN=|t+1|，
①当∠MAN=∠DBC时，，
，
解得t=-1（舍）或t=或t=（舍去）；
②当∠AMN=∠DBC时，，
，
解得t=0（舍去）或t=-1（舍）或t=6（舍去）；
综上所述：M点的横坐标为．
【点评】本题是二次函数的综合题，待定系数法求解析式，二次函数面积问题，相似三角形的性质，正切，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
10．(1)yx2x+2
(2)
(3)存在，点D的横坐标，理由见解析

【分析】（1）根据题意得到A（﹣4，0），C（0，2）代入yx2+bx+c，于是得到结论；
（2）如图，令y＝0，解方程得到x1＝﹣4，x2＝1，求得B（1，0），过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，求得P（，0），得到PA＝PC＝PB，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延线于G，解直角三角形即可得到结论．
（1）（1）∵抛物线yx2+bx+c经过A（﹣4，0），C（0，2）两点，∴，∴，∴yx2x+2；
（2）如图1，令y＝0，∴x2x+2＝0，∴x1＝﹣4，x2＝1，∴B（1，0），过D作DM⊥x轴交AC于点M，过B作BN⊥x轴交AC于N，∴，∴△DME∽△BNE，∴，设D（a，a2a+2），∴M（a，a+2），∵B（1，0），∴N（1，），∴（a+2）2；∴当a＝﹣2时，的最大值是；
（3）∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC＝2，BC，AB＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，∴P（，0），∴PA＝PC＝PB，∴∠CPO＝2∠BAC，∴tan∠CPO，过D作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图2，∴∠DCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，∵∠DGC＝∠BAC∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC，即，令D（a，a2a+2），∴DR＝﹣a，RCa2a，∴，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，∴点D的横坐标xD＝﹣2．
【点评】本题考查了二次函数综合题型，综合运用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是本题解题的关键．
11．(1)y＝﹣x2﹣4x+5，C（﹣5，0），G（1，0）．
(2)存在，P（，）或（，）
(3)当t＝时，S的值最大，最大值是．

【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标，先确定h、k的值，再将点B的坐标代入不含h、k的函数关系式求出a的值即可；
（2）作PK∥y轴交CB的延长线于点K，设△PBC边BC上的高为PH，求直线BC的函数关系式，设点P的横坐标为x，用含x的代数式表示点P、K的坐标，再用含x的代数式表示线段PK的长，PH=PK及PH=列方程求出x的值，得到点P的坐标；
（3）作DL⊥x轴于点L，作DQ⊥y轴于点Q，求出DL、DQ的长，再用含t的代数式表示△DEF的面积，得到S关于t的函数关系式，再根据二次函数的性质求出当t为何值时S取得最大值及最大值是多少．
【解析】（1）∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点为A（﹣2，9），
∴h＝﹣2，k＝9，
∴y＝a（x+2）2+9，
把B（0，5）代入y＝a（x+2）2+9得，4a+9＝5，解得a＝﹣1，
∴此抛物线的函数关系式y＝﹣（x+2）2+9，即y＝﹣x2﹣4x+5；
当y＝0时，由﹣x2﹣4x+5＝0得，x1＝﹣5，x2＝1，
C（﹣5，0），G（1，0）．
（2）存在，如图1，作PK∥y轴交CB的延长线于点K，

设△PBC边BC上的高为PH，则PH＝5，∠PHK＝90°，
∵OB＝OC＝5，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠K＝∠OBC＝45°，
∴∠K＝∠HPK＝45°，
∴PH＝PK；
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣4x+5），直线BC的解析式为y＝mx+5，则﹣5m+5＝0，
解得，m＝1，
∴y＝x+5，
∴K（x，x+5），
∴|﹣x2﹣4x+5﹣（x+5）|＝5，
整理得，x2+5x﹣10＝0或x2+5x+10＝0，
方程x2+5x+10＝0无解，
由x2+5x﹣10＝0得，x1＝，x2＝，
∴P（，）或（，）．
（3）如图2，作DL⊥x轴于点L，作DQ⊥y轴于点Q，则∠CLD＝∠DQB＝90°，

∵点D（﹣2，3）在直线y＝x+5，且0＜t，
∴点D在线段BC上，
∴∠LDC＝∠LCD＝45°，
∴LD＝LC，
∵DQ＝OL＝2，OC＝5，
∴DL＝CL＝3，
由S△DEF＝S△OBC﹣S△OEF﹣S△DBE﹣S△DCF得，
S＝×5×5﹣t×2t﹣×2（5﹣2t）﹣×3（5﹣t），
即S＝﹣t2+t，
∵S＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，且﹣1＜0，0＜＜，
∴当t＝时，S最大＝，
∴当t＝时，S的值最大，最大值是．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、解一元二次方程以及动点问题的求解等知识与方法，此题综合性强，难度大，属于考试压轴题．
12．(1)
(2)
(3)

【分析】（1）先求出c，再将点A、B的坐标代入二次函数表达式求解即可；
（2）只有当∠PEA=∠AOC时，△PEA∽△AOC，可得：PE=4AE，设点的纵坐标为，则，，，即可求解；
（3）利用Rt△PFD∽Rt△BOC得：，再求出PD的最大值，即可求解．
(1)
解：由已知，将代入，得．
将点和代入，得，
解得．  
∴抛物线的表达式为．
(2)
解：∵，，
∴，．
∵轴，
∴，
∵，
∴只有当时，△PEA∽△AOC，
此时，即，
∴．
设点的纵坐标为，则，，
∴，
∴点的坐标为，将代入，得
，
解得（舍去），．
当时，
∴点的坐标为．
(3)
解：∵l//y轴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
由，知，又，
∴，
又．
∴
∴当最大时，最大．
由，可解得所在直线的表达式为．
设，则，
∴．
∴当时，有最大值4．
∴当时，．
【点评】本题考查了二次函数的解析式的求法，以及二次函数与几何图形结合的综合的能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
13．(1)a＝－，c＝
(2)DE＝2
(3)△MPF面积有最大值为

【分析】（1）用待定系数法将点C，点A坐标函数解析式y＝ax2＋x＋c（a≠0）即可得出方程组，解出a和c的值即可；
（2）根据对称点坐标特点可求出点D坐标，又DH⊥x，所以DH的长就是点D纵坐标的绝对值．又△ACO∽△EAH，，而OC，AH，OA的值都已知，可求出EH的值，DE的长即DH和EH的和；
（3）找点C关于DE的对称点N和关于AE的对称点G，连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF＋PF＋CP＝GF＋PF＋PN最小，如图见解析，求此时△MPF面积即可．
（1）
解：将A（－1，0），C（0，）代入抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0），
，
∴a＝－，c＝
（2）
解：由（1）得抛物线解析式：y＝－x2＋x＋，
∵
∴抛物线对称轴直线：
∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，）
∴D（2，），
∴DH＝，
令y＝0，即－x2＋x＋＝0，
解得x1＝－1，x2＝3，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵AE⊥AC，EH⊥AH，
∴，

∴
又∵
∴△ACO∽△EAH，
∴，即，
解得：EH＝，
则DE＝2；
（3）
解：点C关于DE的对称点N（4，），找点C关于AE的对称点G（－2，－），
连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF＋PF＋CP＝GF＋PF＋PN最小，

设直线GN的解析式为
将N（4，），G（－2，－）代入抛物线 ，
得
解得，
∴直线GN的解析式：y＝x－，
由（2）得E（2，－），A（－1，0），
∴直线AE的解析式：y＝－x－，
联立，
解得
∴F（0，－），
∵DH⊥x轴，
∴将x＝2代入直线GN的解析式：y＝x－，
∴P（2，）
∴F （0，－）与P（2，－）的水平距离为2
过点M作y轴的平行线交FP于点Q，
设点M（m，－m2＋m＋），则Q（m，m－）（＜m＜）；
∴S△MFP＝S△MQF＋S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（－m2＋m＋）－（m－），
S△MFP＝＝
∵对称轴为：直线m＝，
∵开口向下，＜m＜，
∴m＝时，△MPF面积有最大值为．
【点评】本题主要考查了待定系数法解二次函数解析式、二次函数的综合性问题及相似三角形的判定和性质的知识，先理清题意，掌握基本知识点去综合运用并准确计算是做出本题的关键．
14．(1)
(2)点的坐标为，
(3)点的坐标为，

【分析】（1）将点A（-4，0），点B（2，0），点C（0，-4）代y=ax2+bx+c，即可求解；
（2）过P点作x轴垂线交AC于点Q，直线AC的解析式为y=-x-4，设P（t，t2+t-4），则Q（t，-t-4），S△ACP=-（t+2）2+4，当t=-2时，S△ACP有最大值，即可求P点坐标；
（3）抛物线的对称轴为x=-1，顶点D（-1，-），设E（m，m2+m-4），则F（-1，m2+m-4），求出EF=-1-m，DF=m2+m-4+=m2+m+，在Rt△OCB中求得OB=2,OC=4,当∠EDF=∠OCB时，△EDF∽△BCO，则有2（-1-m）=m2+m+，此时m不存在；当∠FED=∠OCB时，△EDF∽△DBO，则有2（m2+m+）=-1-m，即可求E（-2，-4）．
(1)
解：设抛物线解析式为，
抛物线与轴交于点，
，解得，；
抛物线解析式为；
(2)
如图，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点，

，，
直线的解析式为；
设P点坐标为，则Q点坐标为



．
当时，面积的最大值为4，此时点的坐标为，；
(3)
解：∵，
顶点D坐标为，对称轴为；
在Rt△OCB中,OB=2,OC=4,
设E点坐标为，则F点坐标为
，

①当时，，
，解得（舍去），（舍去）
②当时，，
，解得（舍去），
此时点的坐标为，．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
15．(1)y=x2+2x-3
(2)直角三角形；3
(3)；

【分析】（1）根据B点坐标为(1，0)，且OA=OC=3OB，得出A，C点的坐标，用待定系数法求解析式即可；
（2）根据坐标求出三角形各边的长，利用勾股定理判断其为直角三角形，再用三角形面积公式求面积即可；
（3）求出直线AC的解析式，过点P作轴交AC于H，设出P点和H点坐标，用含x的代数式求出PE的值，根据二次函数性质求最值即可．
【解析】（1）解：∵B点坐标为(1，0)，且OA=OC=3OB，
∴A(-3，0)，C(0，-3)，
将A，B，C三点代入解析式得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-3；
（2）解：由(1)知抛物线的解析式为y=x2+2x-3，
∴对称轴为直线，
当x=-1时，y=(-1)2+2×(-1)-3=-4，
∴D点的坐标为(-1，-4)，
∴，
，，
∵，即AD2=AC2+CD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴；
（3）解：设直线AC的解析式为y=sx+t，
代入A，C点坐标，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
如图，过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∵，
∴∠PHE=∠OCA=45°，
设点P(x，x2+2x-3)，则点H(x，-x-3)，
∴PH=-x-3-(x2+2x-3)=-x2-3x，
∴，
∴当时，PE有最大值为，
此时P点的坐标为．
【点评】本题主要考查二次函数的综合，待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，二次函数的性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，利用二次函数性质求最值是解题的关键．
16．（1）y＝x2+4x﹣1；（2）；（3）C点坐标为，，，，
【分析】（1）直接把A、B坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出直线AB的解析式为y＝x﹣1，设P（a，a2+4a﹣1），则Q（a，a﹣1），PQ＝﹣a2﹣3a，可得，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分当AB＝BC时，当AB＝AC时，当BC＝AC时，三种情况讨论求解即可．
【解析】解：（1）将A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）代入y＝x2+bx+c，
得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝x2+4x﹣1；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣1，
设P（a，a2+4a﹣1），则Q（a，a﹣1），
∴PQ＝﹣a2﹣3a，
∴，
∵，
∴当a＝时，△PAB的面积有最大值；
（3）∵抛物线解析式为y＝x2+4x﹣1，
∴抛物线的对称轴为，
设点C（﹣2，y），
∵A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4），
∴AB2＝32+32＝18，BC2＝22+（y+1）2，AC2＝12+（y+4）2，
①当AB＝BC时，
∴22+（y+1）2＝18，
解得，
∴，；

②当AB＝AC时，
∴12+（y+4）2＝18，
解得，
∴，；

③当BC＝AC时，
∴22+（y+1）2＝12+（y+4）2，
解得，
∴；

综上所述：C点坐标为，，，，．
【点评】本题主要考查了一次函数综合，二次函数综合，待定系数法求函数解析式，两点距离公式，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识．
17．（1），y＝﹣x﹣15；（2）面积最大值225，C（﹣10，﹣30）；（3）S＝﹣+160t﹣240．
【分析】（1）利用待定系数法将点A（﹣20，0），B（0，﹣15）代入抛物线y＝ax2+x+c即可求出抛物线的函数表达式；设AB的函数表达式是y＝kx+b，然后利用待定系数法将点A（﹣20，0），B（0，﹣15）代入y＝kx+b即可求出直线AB的函数表达式；
（2）作CE⊥OA于E，交AB于F，设C（a，a2+a﹣15），F（a，﹣a﹣15），根据题意表示出的长度，进而表示出，然后利用二次函数的性质求解即可；
（3）作AN⊥OD于N，AD与FG交于点I，首先根据题意求出OC的解析式，然后联立求出点D的坐标，然后求出，利用等腰三角形三线合一性质求出ON的长度，进而利用勾股定理求出AN的长度，表示出S△AON，然后证明出△GFI∽△OGH∽△ANO，利用相似三角形的性质表示出S△IJF＝（t﹣3）2，S△GOH＝，最后利用面积之间的关系即可求出S与t之间的函数关系式．
【解析】解：（1）由题意得，
将点A（﹣20，0），B（0，﹣15）代入抛物线y＝ax2+x+c得，
，
∴，
∴，
设AB的函数表达式是y＝kx+b，
将点A（﹣20，0），B（0，﹣15）代入y＝kx+b得，
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣15；
（2）如图1，

作CE⊥OA于E，交AB于F，
设C（a，a2+a﹣15），F（a，﹣a﹣15），
∴FC＝（﹣﹣（+﹣15）＝﹣﹣a，
∴＝CF•AO＝（﹣﹣a）×20＝﹣（a+10）2+225，
∴当a＝﹣10时，＝225，
当a＝﹣10时，y＝+﹣15＝﹣30，
∴C（﹣10，﹣30）；
（3）如图2，

作AN⊥OD于N，
∵C（﹣10，﹣30），
∴OC的解析式是：y＝3x，
由得，
，
∴D（﹣4，﹣12），
∵A（﹣20，0），OD＝4，
∴AD＝20，
∴，
又∵AN⊥OD，
∴ON＝2，，
S△AON＝，
∵OE＝t，OD＝4，
∴DE＝4﹣t，
∴JE＝3（4﹣t），
∴FJ＝EF﹣JE＝t﹣3（4﹣t）＝4（t﹣3），
∵，
∴，
又∵，
∴△GFI∽△OGH∽△ANO，
∴＝（）2＝[]2，＝（）2＝（）2，
∴S△IJF＝（t﹣3）2，S△GOH＝，
∴S＝S正方形OEFG﹣S△IJF﹣S△GOH
＝10t2﹣t2﹣（t﹣3）2
＝﹣+160t﹣240，
故答案是：S＝﹣+160t﹣240．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数和一次函数表达式，二次函数与一次函数综合问题，相似三角形的性质和判定，二次函数中最大面积问题等知识，解题的关键是正确分析题目中的条件，设出点的坐标，根据相似三角形的性质以及勾股定理表示出相应的线段和面积．
18．（1）抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为；（2）①=，的最大值是4，此时点的坐标为；②存在，的值为或；（3）点的坐标为：或，或．
【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出的值，即可求得抛物线解析式，在令其值为零，解一元二次方程即可求出和的坐标；
（2）①易求点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，解出和的值，即得直线的解析式；设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长得出关于的二次函数，从而求得其最值及此时点的坐标；
②由得中，，可得当时为等腰直角三角形，分点在对称轴右侧和点在对称轴左侧，根据得出关于的方程，从而求解；
（3）分三种情况画出图形，根据等腰三角形的性质分别求出，从而求解．
【解析】解：（1）抛物线的对称轴是直线，
，解得，
抛物线的解析式为：．
当时，，解得，，
点的坐标为，点的坐标为．
答：抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为；
（2）①当时，，
点的坐标为．
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得，
直线的解析式为．
设点的坐标为，则点的坐标为，
，
当时，的最大值是4，
点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），
，
此时点的坐标为．
答：用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为；
②，
，
当时，为等腰直角三角形，
点在对称轴右侧时，如图：

，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
，，
当时为等腰直角三角形，
的长为，
，解得：或（舍去），
；
点在对称轴左侧时，如图：

，交抛物线于点，轴，抛物线的对称轴是直线，点的横坐标为，
，，
当时为等腰直角三角形，
的长为，
，解得：或（舍去），
；
存在，点的横坐标的值为或；
（3）点的坐标为，点的坐标为．
，，，
①当点为轴正半轴上一点，时，如图，

，
，
点的坐标为；
②当点为轴正半轴上一点，时，如图：

，则点的坐标为，；
③当点为轴正半轴上一点，时，如图：过点作于，

，，
，
，
，即，
，
，
则点的坐标为；
故点的坐标为：或，或．
【点评】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是充分掌握分类讨论的思想，对（2）（3）都要分类求解，避免遗漏．