2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与三角形附答案

这是一份2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与三角形附答案，共64页。试卷主要包含了抛物线C等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学高频压轴题突破—二次函数与三角形附答案
1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．

（1）求直线AE的解析式；
（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值；
（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y＝x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．






2．如图，已知一条直线过点（0，4）且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点B的横坐标是8．
（1）求这条直线AB的函数关系式及点A的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，写出点C的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？







3．如图，抛物线过，两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点的坐标，并求出的面积；
（3）若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求N点坐标；若不存在，请说明理由．






4．抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣）．

（1）求抛物线C的表达式；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．
（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．







5．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

（1）求抛物线的解析式；
（2）为轴上一动点，过点作轴，交直线于点，交抛物线于点，连接．
①点在线段上运动，若直角三角形，求点的坐标；
②点在轴的正半轴上运动，若，请直接写出的值．







6．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与y轴交于点B，抛物线的对称轴是直线l，顶点是A，过点B作交x轴于点C，交抛物线于点D，连接．将线段沿线段平移得到（点E与点A对应、点F与点B对应），连接．

（1）填空：线段______；
（2）若点F恰好落在直线l上，求的长；
（3）连接并延长交抛物线于点Q，若，求点Q的坐标．






7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），且A点的坐标为，直线的解析式为．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，过A作，交抛物线于点D，点P为直线下方抛物线上一动点，连接，，求四边形面积的最大值：
（3）将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线的顶点为E，连接，将线段沿y轴平移得到线段（为B的对应点，为E的对应点），直线与x轴交于点F，点Q为原抛物线对称轴上一点，连接，能否成为以为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不能，请说明理由．








8．如图，在直角坐标系中，已知抛物线（其中，为常数，且）与轴的一个交点为，与轴交于点，此抛物线顶点到轴的距离为4

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，，判断与之间的数量关系，并加以证明；
（3）如果点是抛物线上的一点，且，试求点的坐标．







9．如图，二次函数的图象与轴交于，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．

（1）求该二次函数的解析式及点的坐标；
（2）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当，运动到秒时，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状，并求出点坐标．







10．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．过点Q作轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E，连接PD，与BC交于点F．设点P的运动时间为t秒（）．

（1）求直线BC的函数表达式；
（2）求出P，D两点的纵坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）；
（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点？若存在，请直接写出此时t的值：若不存在，请说明理由．










11．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，其顶点为，连接与抛物线的对称轴交于点．
（1）求抛物线的表达式并写出该抛物线的对称轴；
（2）在直线上方的抛物线上找一点，使得的面积最大，求出此时点的坐标；
（3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．















12．如图，抛物线与轴交于点，点（点在点左侧），与轴交于点；直线与抛物线交轴于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是抛物线上的—个动点．

（1）___________，__________；
（2）当点在第一象限时，求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．






13．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，点在点的左侧，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为（0，），该抛物线与交于另一点，连接．

（1）求点，，的坐标；
（2）动点M从点出发，沿抛物线对称轴方向向下以每秒1个单位的速度运动，运动时间为，连接，，当为何值时，为等腰三角形？
（3）在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．






14．如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作轴于点D，交抛物线于点F．
①当点E运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积及此时E点的坐标．
②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由；









15．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．
（3）抛物线上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，有几个？并请在图中画出所有符合条件的点P，（保留作图痕迹）；若不存在，说明理由．










16．如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0），并与直线OA交于点C．

（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；
（3）当m＞0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由．







17．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧)，，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

(1)求抛物线和一次函数的解析式；
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)若点为轴上任意一点，在(2)的结论下，求的最小值．






18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式．
（2）点是轴负半轴上的一点，且，点在对称轴右侧的抛物线上运动，连接，与抛物线的对称轴交于点，连接，当平分时，求点的坐标．
（3）直线交对称轴于点，是坐标平面内一点，请直接写出与全等时点的坐标．

参考答案：
1．（1）y＝x＋；（2）3，（3）存在，点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．
【解析】试题解析：（1）∵y＝x2﹣x﹣，
∴y＝（x＋1）（x﹣3）．
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
当x＝4时，y＝．
∴E（4，）．
设直线AE的解析式为y＝kx＋b，将点A和点E的坐标代入得：
，
解得：k＝，b＝．
∴直线AE的解析式为y＝x＋．
（2）设直线CE的解析式为y＝mx﹣，将点E的坐标代入得：4m﹣＝，解得：m＝．
∴直线CE的解析式为y＝x﹣．
过点P作PF∥y轴，交CE与点F．

设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣），则点F（x，x﹣），
则FP＝（x﹣）﹣（x2﹣x﹣）＝x2＋x．
∴△EPC的面积＝×（x2＋x）×4＝﹣x2＋x．
∴当x＝2时，△EPC的面积最大．
∴P（2，﹣）．
如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、M．

∵K是CB的中点，
∴k（，﹣）．
∵点H与点K关于CP对称，
∴点H的坐标为（，﹣）．
∵点G与点K关于CD对称，
∴点G（0，0）．
∴KM＋MN＋NK＝MH＋MN＋GN．
当点O、N、M、H在条直线上时，KM＋MN＋NK有最小值，最小值＝GH．
∴GH＝＝3.
∴KM＋MN＋NK的最小值为3.
（3）如图3所示：

∵y′经过点D，y′的顶点为点F，
∴点F（3，﹣）．
∵点G为CE的中点，
∴G（2，）．
∴FG＝．
∴当FG＝FQ时，点Q（3，），Q′（3，）．
当GF＝GQ时，点F与点Q″关于y＝对称，
∴点Q″（3，2）．
当QG＝QF时，设点Q1的坐标为（3，a）．
由两点间的距离公式可知：a＋＝，解得：a＝﹣．
∴点Q1的坐标为（3，﹣）．
综上所述，点Q的坐标为（3，），Q′（3，）或（3，2）或（3，﹣）．
2．（1）y＝x+4，A点的坐标为（﹣2，1）；（2）存在，点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；（3）当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18
【分析】（1）首先求得点A的坐标，然后利用待定系数法确定直线的解析式，从而求得直线与抛物线的交点坐标；
（2）如图1，连接AC，BC，然后分若∠BAC＝90°，则AB2+AC2＝BC2；若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2+BC2；若∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2三种情况求得m的值，从而确定点C的坐标；
（3）设M（a，a2），如图2，设MP与y轴交于点Q，首先在Rt△MQN中，由勾股定理得MN＝a2+1，然后根据点P与点M纵坐标相同得到x＝，从而得到MN+3PM＝﹣a2+3a+9，确定二次函数的最值即可．
【解析】解：（1）∵点A是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2，
∴y＝×（﹣2）2＝1，A点的坐标为（﹣2，1），
设直线的函数关系式为y＝kx+b，
将（0，4），（﹣2，1）代入得，
解得
∴直线y＝x+4，
∵直线与抛物线相交，
∴x+4＝x2，
解得：x＝﹣2或x＝8，
当x＝8时，y＝16，
∴点B的坐标为（8，16）；
（2）如图1，连接AC，BC，
∵由A（﹣2，1），B（8，16）可求得AB2＝325．
设点C（m，0），同理可得AC2＝（m+2）2+12＝m2+4m+5，
BC2＝（m﹣8）2+162＝m2﹣16m+320，
①若∠BAC＝90°，则AB2+AC2＝BC2，即325+m2+4m+5＝m2﹣16m+320，
解得：m＝﹣；
②若∠ACB＝90°，则AB2＝AC2+BC2，即325＝m2+4m+5+m2﹣16m+320，
解得：m＝0或m＝6；
③若∠ABC＝90°，则AB2+BC2＝AC2，即m2+4m+5＝m2﹣16m+320+325，
解得：m＝32；
∴点C的坐标为（﹣，0），（0，0），（6，0），（32，0）；

（3）设M（a，a2），P（x，）如图2，设MP与y轴交于点Q，
在Rt△MQN中，由勾股定理得
又∵点P与点M纵坐标相同，
∴
∴，
∴点P的横坐标为，
∴MP＝a﹣，
∴，
又∵2≤6≤8，
∴当，取到最大值18，
∴当M的横坐标为6时，MN+3PM的长度的最大值是18．

【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（1）；（2），3；（3）点坐标为或或或，见解析．
【分析】（1）把把，代入抛物线，求解即可；
（2）求得对称轴为，再根据点和点关于对称轴对称，即可求得点坐标，面积也可求解；
（3）分别以点为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求或的长，即可求解．
【解析】解：（1）把，代入抛物线中，
得，
解得，
所以该抛物线表达式为；
（2），
抛物线对称轴为直线，
点和点关于对称轴对称，点的坐标为，
，
又，
；
（3）以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点为直角顶点且在轴上方时，如图，

，，
在和中，
，
，
，，
；
②以点为直角顶点且在轴下方时，如图，

作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：和，
同理得，
，
，
，
；
③以点为直角顶点且在轴左侧时，如图，
，，做辅助线，

同理得，
，
，
；
④以点为直角顶点且在轴右侧时，如图，做辅助线，

同理得，
，
；
⑤以为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上可知当为等腰直角三角形时点坐标为或或或．
【点评】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数图像性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质并灵活运用．
4．（1）y＝x2﹣x﹣；（2）最小值为；M（3，﹣2）；（3）存在，点D的坐标为（2，﹣3）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，5）
【分析】（1）运用待定系数法将A，B，C的坐标代入y=ax2+bx+c，解方程组求出a，b，c即可；
（2）作PH⊥直线y=-于点H，作MH′⊥直线y=-于点H′，根据抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，-）的距离与到直线y=-的距离相等，可得：MQ=MH′，可得出MP+MQ=MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上且PM⊥直线y=-时，MP+MH′最小，即可求出答案；
（3）先求出抛物线对称轴，再根据以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形进行分类讨论即可．
【解析】解：（1）∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a≠0），过点A（-1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，-），
∴，解得：，
∴抛物线C的表达式为：y=x2-x-；
（2）如图1，作PH⊥直线y=-于点H，作MH′⊥直线y=-于点H′，

∵抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，-）的距离与到直线y=-的距离相等，
∴MQ=MH′，
∴MP+MQ=MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上，MP+MH′最小，
∴M与M′重合时，MP+MQ最小，
∵P（3，4），
∴PH=4-（-）=，
∴MP+MQ的最小值为；
当x=3时，y=×32-3-=-2，
∴M（3，-2）；
（3）∵y=x2-x- =（x-2）2-；
∴抛物线对称轴为x=2，
设点坐称为（2，m），
∵A（-1，0），P（3，4），D（2，m），
∴AP=4，AD2=9+m2，PD2=1+（m-4）2，
∵以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形，
∴分三种情况讨论：∠DAP=90°或∠ADP=90°或∠APD=90°，
①当∠DAP=90°时，AP2+AD2=PD2，
∴（4）2+9+m2=1+（m-4）2，
解得：m=-3，
∴D1（2，-3）；
②当∠ADP=90°时，PD2+AD2=AP2，
∴1+（m-4）2+9+m2=（4）2，
解得：m1=2+，m2=2-，
∴D2（2，2+）；D3（2，2-）；
③当∠APD=90°时，PD2+AP2=AD2，
∴1+（m-4）2+（4）2=9+m2，
解得：m=5，
∴D4（2，5）；
综上所述，点D的坐标为（2，-3）或（2，2+）或（2，2-）或（2，5）．

【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，直角三角形性质，勾股定理等，熟练掌握二次函数图象和性质，勾股定理等相关知识，并灵活运用数形结合思想，分类讨论思想和方程思想是解题关键．
5．（1）；（2）①(1，0)或(2，0)；②或．
【分析】（1）由直线与轴交于点，解得，再求其与y轴的交点，得到，最后利用待定系数法解题；
（2）①设点，解得点，点，分别解得，，，分两种情况讨论，当时或当时，利用勾股定理的逆定理，转化为求一元二次方程的解，检验即可解题；②分两种情况讨论，当点在轴上方时或当点在轴下方时，画出相应的图形，利用相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解题．
【解析】解：（1）∵直线与轴交于点，
∴，
∴，
∴直线解析式为：．
当时，，
∴点，
∵抛物线经过点，，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）①∵轴，
∴，
∴，
设点，点，则点，
∴，，，
当时，，
∴，
∴，（舍去）
∴点的坐标为（1，0），
当时，，
∴，
∴（舍去），（舍去），，
∴点的坐标为（2，0），
综上所述：点的坐标为（1，0）或（2，0）；
②当点在轴上方时，如图1，连接，延长交轴于，

∵点，点，∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，点，
∴，
∴，，
∴点，∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点
∴直线解析式为：，
∴，
∴（舍去），，
∴点的横坐标为，
∴；
当点在轴下方时，如图2，连接，设与轴交于点，

∵，，
∴，
又∵，，
∴
∴，∴点，
∴直线解析式为：，
∴，∴（舍去），，
∴点的横坐标为5，∴，
综上所述：或．
【点评】本题考查二次函数综合题，涉及待定系数法求二次函数解析式、勾股定理的逆定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、一元二次方程的解题等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
6．（1）；（2）6；（3）
【分析】（1）根据函数解析式求出A点的坐标，即可求出OA的长；
（2）添加辅助线过点E作于G，根据已知点，求出直线CD和直线AD的解析式．线段沿线段平移得到，可通过求得到，进而得到E点的坐标，求AF=AG+GF=AG+EG．
（3）添加辅助线过点D作于H，由三角函数值得到，再利用勾股定理求出G点坐标，得到直线DF的解析式，与二次函数解析式联立，即可求出交点Q．
【解析】解：（1）∵二次函数顶点是A
∴
∴线段．
（2）如图，过点E作于G．

，
．

．
，
．
．
．
设直线的函数表达式是，
把和代入得
解得
．
解
得或（舍去）．
．         
设直线的函数表达式是，
把和代入得
解得．
．
，线段沿线段平移得到
∴
，
∴点E的横坐标是4．
把，代入得，
．
（3）如图，设交直线l于点G，过点D作于H．

，
．
．
，
．
．
设，则．
在中，．
则，
解得．
．
设直线的函数表达式是，
把和代入得

解得
．
解
得或，（舍去）．
．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、解直角三角形等．
综合性较强，属压轴题．
7．（1）；（2）；（3）能，点Q的坐标为(，)或(，)或Q(，)或(，) ．
【分析】（1）利用一次函数解析式，将点B、C的坐标写出来，再利用待定系数法即可；
（2）四边形面积最大时，即的面积最大，利用过P作轴交于点H，将三角形利用分割的方法计算出面积即可；
（3）分以FQ为斜边和以E1Q为斜边，两种大的情况讨论，分别作出图形，利用特殊角的三角函数值以及全等三角形的判定和性质求解即可．
【解析】（1）∵直线的解析式为,
∴，将
代人得：，
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）连接，

∵
∴．
∴四边形面积最大时，即的面积最大
设，过P作轴交于点H
∴，
∴
∴
∴当时，的面积最大为
∴四边形面积的最大值为
（3）抛物线的对称轴为：，
∵将抛物线向左平移个单位长度，
∴平移后的抛物线解析式为，
∴E(0，-3)，
∵B(3，0)，
∴在Rt△BOE中，，
∴∠OBE=30°，∠OEB=60°，
∵E1F∥BE，
∴∠E1FO=30°，∠FE1O =60°，
∵∠QE1F=90°，
∴∠QE1O=30°，
以FQ为斜边，且E1在x轴上方时，

过Q作QH⊥轴于H，设Q(，m)，
在Rt△QHE1中，QH=，
∴HE1=QH=3，QE1=2，
∵能否成为以为直角边的等腰直角三角形，
∴E1F= QE1，
∴△E1FO△QE1H，
∴E1O= QH=，
∴E1H=E1O+OH=，
∴，
∴Q(，)；
以FQ为斜边，且E1在x轴下方时，

同理可得，
∴Q(，)；
以E1Q为斜边，且Q在x轴上方时，

同理可证△QPF△FOE1，∠PQF =30°，
设Q(，m)，
∴PQ=OF=m，PF=m-，
在Rt△QPF中，PQ=PF，
∴，
∴Q(，)；
以E1Q为斜边，且Q在x轴下方时，

同理可证△QPF△FOE1，∠PQF =30°，
设Q(，m)，
∴PQ=OF=-m，PF=，
在Rt△QPF中，PQ=PF，
∴，
∴Q(，)；
综上，能，点Q的坐标为(，)或(，)或Q(，)或(，)．
【点评】本题考查二次函数解析式，一次函数，三角形的面积，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定和性质等，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
8．（1）；（2），见解析；（3）点的坐标为或
【分析】（1）求出顶点坐标，用顶点式求解析式即可；
（2）过点作轴于点，求出，长即可；
（3）当点在下方时，过点作轴于点，由（2）得，当点在上方时，如图3所示：过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线相交于点，可得；设点的坐标为，列出方程即可．
【解析】解：（1）抛物线的对称轴为，
∵，
∴抛物线开口向下．
又∵抛物线与轴有交点，
∴在轴的上方，
∴抛物线的顶点坐标为．
设抛物线的解析式为，把代入，得，
∴．
∴抛物线的解析式为，即．
（2）．
理由如下：
将代入抛物线的解析式，得，
∴．过点作轴于点（如图1）．
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
，，
∴．
（3）设点的坐标为．
①当点在下方时，如图2所示：
∵，，
又∵，
∴．
过点作轴于点．
由（2）得，则，即，
∴，
∴或（舍去），
∴．
②当点在上方时，如图3所示：过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，
两条垂线相交于点．同①可得，
∴．
∴，
∴或（舍去），
∴．
综上所述，点的坐标为或．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，解题关键是熟练运用二次函数的性质，通过求坐标或设坐标求解或列方程．
9．（1）；；（2）存在，点坐标为、或或；（3）菱形，
【分析】（1）根据韦达定理即可求得、的值，即可得到该二次函数的解析式，然后令，即可得到点的纵坐标，此题得解；
（2）由题目已知条件可知，存在满足条件的点，根据已知条件以及第（1）问可得，分以下三种情况分别讨论即可：①；②；③，即可得到点的坐标；
（3）如图2，点关于与点对称，过点作于，根据题目已知条件以及翻折的意义可知四边形为菱形；根据可得∽，根据相似比即可求得、的值（用表示），即可求得点的坐标（用表示），根据，即可求得点的坐标（用表示），再根据在二次函数上，即可求得的值，进而可得点的坐标．
【解析】（1）∵二次函数的图象与轴交于，，
∴，，
∴，
∴该二次函数的解析式为，
当时，，
∴；
（2）如图1，存在满足条件的点，
∵，，
∴，
当点运动到点时，此时，
∴存在以下3种情况：

图1
①当时，
∵，
∴，
∴，
∴点坐标；
②，此时，
∴，
∴，
∴点坐标；
③当时，
设此时的坐标为，
则，
解得，或，
∴或，
综上所述：点坐标为、或或；
（3）四边形为菱形，

图2
如图2，点关于与点对称，过点作于，
∵，沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，
∴，
∴平行四边形为菱形，且，
∵，
∴，，
又∵，
∴∽，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵点在二次函数上，
代入解得，
∴．
【点评】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数和直线交点的求解、菱形的判定和性质、等腰三角形的性质、翻折的意义、相似三角形的判定和性质等知识点，解答本题的关键是综合利用以上知识点，利用表示出点的坐标，进行求解．
10．（1）；（2）点P的纵坐标为，D的纵坐标为；（3）存在，t=3
【分析】（1）根据抛物线与坐标轴的交点即可求出B点和C点坐标，设直线BC的解析式为，即可直接利用待定系数法求出其解析式．
（2）过P作轴于G，由（1）易求出OA和OC的长，即可得出，即．由题意可得，根据含角的直角三角形的性质，可得，，从而求出，即可确定P点坐标．根据题意轴，，即可得，根据抛物线解析式即可求出D点坐标．　
（3）根据（2）结合中点坐标公式即可求出F点坐标，再将其代入直线BC的解析式，即可求出t的值．
【解析】解：（1）对于，令得，
解得：，，
∴，，
令，得，
，
设直线BC的解析式为，即有，
解得：，
∴直线BC的解析式为；
（2）过P作轴于G，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
轴，，
，
，
∴点P的纵坐标为，D的纵坐标为．

（3）∵点F为PD的中点，
∴F的横坐标为：，纵坐标为，
即，
∵点F在直线BC上，
，
，
．
【点评】本题为二次函数综合题．考查抛物线与坐标轴的交点问题，利用待定系数法求函数解析式，解直角三角形，勾股定理，含角的直角三角形的性质以及中点坐标公式．利用数形结合的思想并正确的作出辅助线是解答本题的关键．
11．（1），；（2）P（2，4）；（3）存在，M的坐标为：或或
【分析】（1）将A和B两点坐标代入解析式用待定系数法求函数解析式，然后再求其对称轴；
（2）过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设 ，则F ，然后利用三角形面积公式列出S与t的函数关系式，利用配方法求其最值；
（3）首先分析得出△BOC是等腰直角三角形，设M ，N ，然后根据相似三角形的判定分当ME＝EN且∠MEN＝90°；ME=MN且∠EMN＝90°；MN＝EN，∠ENM＝90°三种情况结合二次函数性质列方程组求解
【解析】解：（1）∵抛物线过点A（﹣2，0）和点B（4，0），
∴，解得
∴抛物线的表达式为：．
抛物线的对称轴为；
（2）当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，
如图1，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，

设 ，
∴F ，
∴，
∴
∴当时，△PBC的面积有最大值4．
此时，．   
∴P（2，4）；
（3）∵C（0，4），B（4，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∵抛物线的对称轴为；
∴点E的横坐标为1，
又∵点E在直线BC上，
∴点E的纵坐标为3，
∴E（1，3），
设M ，N ，
①如图2，当ME＝EN，∠MEN＝90°时，

，解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
②如图3，当ME=MN，∠EMN＝90°时，

，解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③如图4，当MN＝EN，∠ENM＝90°时，

连接CM，故当N为C关于对称轴l的对称点时，以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似．此时四边形CMNE为正方形，
∴CM＝CE，
∵C（0，4），E（1，3），M ，
∴，，
∴，解得：m1＝5，m2＝3（舍去），
∴此时点M的坐标为．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用及相似三角形的判定和性质，属于中考压轴题，掌握相关性质利用数形结合思想解题是关键．
12．（1），；（2）面积最大值为，；（3）存在，点P的坐标为或或
【分析】（1）先求得点、的坐标，再利用待定系数法即可求得b、c的值；
（2）先求得直线的表达式，利用四边形的面积得到二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分为直角和为直角两种情况讨论即可求解．
【解析】（1）令，则，
令，则，∴，
∴B(，0)，D(，)，
∵点D与点C关于轴对称，
∴C (，)，
∵抛物线经过B、C，
∴，
解得：，
故答案为：，；
（2）连接，过点作轴的平行线交于点，

∵B(，0)，C(，)，
设直线的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
则四边形面积


，
，故四边形面积存在最大值，
当时，四边形面积最大值为，
此时点；
（3）存在，理由：
①当为直角时，此时点与点重合，点的坐标为；
②当为直角时，由的表达式知，直线与轴的倾斜角为，
当为直角时，即，则直线与轴负半轴的夹角为，
故设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得，，
解得，
故直线的表达式为②，
联立，
解得：，
故点的坐标为或，
综上，点的坐标为或或．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，直角三角形的性质，勾股定理，第（3）小题的关键在于分情况讨论．
13．（1），，；（2）或；（3）存在，．
【分析】（1）由，得，求出点的坐标和点的坐标，再进行求解即可；
（2）抛物线解析式可得顶点D坐标为，设，，则，若，则，若，则，根据，进行求解；
（3）在轴上取一点，连接交抛物线于点，则，设直线的解析式为，再由，即可得出结论．
【解析】解：（1）由，得，
解方程，得，，
∵点在点的左侧，
∴点的坐标为，点的坐标为，
由，得，
∴点的坐标为．
（2）

∵，
∴点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
设，，则，
∴，，
若，则.此方程无解，
若，则，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
若，则，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
综上所述，当或时，为等腰三角形；
（3）

存在点，使被平分，
在轴上取一点，连接交抛物线于点，则，
设直线的解析式为，
∴.解得，
∴直线的解析式为，
解方程，
解得，（不合题意，舍去），
当时，，
∴，
∴存在点，使被平分．
【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，(1)解题的关键是由，得 进行求解；(2)解题的关键是根据勾股定理和等腰三角形的性质建立一元二次方程，根据方程的解求t值；(3)根据角平分线的性质设点，求解直线BN的解析式是解题的关键．
14．（1）；（2）①， ；②存在，，．
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于，两点，设函数解析式为，再将点代入求解即可．
（2）先求出直线BC的解析式，设点F的坐标为（、）则点E作标为（、），结合图形得到，在根据二次函数的性质即可求解．
（3）根据图像可得为等腰直角三角形，若要使为等腰直角三角形，则只能是以点F和点C为直角顶点，当以点F为直角顶点时可证四边形CODF是矩形，则点F的纵坐标可求，进而求出点F的坐标；当以点C为直角顶点时，作CG，可得，进而列出关于的一元二次方程，解方程即可求解．
【解析】（1）∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设该抛物线的解析式为：．
∵过点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为：．
（2）①设直线BC的解析式为：，
把点，代入，得
，解得，
∴直线BC的解析式为：．
设点E为，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大为，此时．
②存在．
∵，，
∴是等腰三角形，
∴．
又∵轴，
∴，
∴只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形．
（i）当时，
∵轴，，
∴四边形CODF是矩形，
∴，
∴点F的纵坐标为3，把代入，
得，
解得，（舍去）
∴．
（ii）当时，如图：作于点G，

则，
∴，
解得，（舍去）
∴．
综上所述，符合条件的点F的坐标为，．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，函数的思想求最值，解题关键是在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全．
15．（1）y＝﹣x2+5x+6；（2）M（，）；（3）存在5个满足条件的P点，尺规作图见解析
【分析】（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6即可；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，则CM+BM＝C'M+BM＝BC最小；求出BC'的直线解析式为y＝x+1，即可求M点；
（3）根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后分别尺规作图即可．
【解析】解：（1）将A（6，0），B（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+6，
可得a＝﹣1，b＝5，
∴y＝﹣x2+5x+6；
（2）作点C关于对称轴x＝的对称点C'，连接BC'与对称轴交于点M，
根据两点之间线段最短，则CM+BM＝C'M+BM＝C'B最小，

∵C（0，6），
∴C'（5，6），
设直线BC'的解析式为y=kx＋b
将B（﹣1，0）和C'（5，6）代入解析式，得

解得：
∴直线BC'的解析式为y＝x+1，
将x＝代入，解得y=
∴M（，）；   
（3）存在5个满足条件的P点；尺规作图如下：
①若CB=CP时，以C为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图1所示，此时点P有两种情况；
②若BC=BP时，以B为原点，BC的长为半径作圆，交抛物线与点P，如图2所示，此时点P即为所求；
③若BP=CP，则点P在BC的中垂线上，作BC的中垂线，交抛物线与点P，如图3所示，此时点P有两种情况；
故存在5个满足条件的P点．

【点评】此题考查的是求二次函数的解析式、求两线段之和的最小值和尺规作图，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、两点之间线段最短和用尺规作图作等腰三角形是解决此题的关键．
16．（1）y＝﹣x2+5x；（2）当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4；（3）存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【分析】（1）设y＝ax（x﹣5），把A点坐标代入即可求出答案；
（2）根据点的坐标求出PC＝﹣m2+4m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值；
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，分为三种情况：①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，求出方程的解即可得到P的坐标；同理可求：②当OC＝OP时，③当PC＝OP时，点P的坐标．综合上述即可得到答案．
【解析】解：（1）设y＝ax（x﹣5），
把A点坐标（4，4）代入得：4a（4﹣5）＝4，
解得a＝﹣1，
函数的解析式为y＝﹣x2+5x，
答：二次函数的解析式是y＝﹣x2+5x．
（2）解：0＜m＜4，PC＝PD﹣CD，
∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y＝﹣x2+5x上，C在直线OA上，A（4，4），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m）
∴PC＝PD﹣CD＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，
＝﹣（m﹣2）2+4，
∵a＝﹣1＜0，开口向下，
∴有最大值，
当D（2，0）时，PCmax＝4，
答：当点P在直线OA的上方时，线段PC的最大值是4．
（3）当0＜m＜4时，仅有OC＝PC，∴﹣m2+4m＝m，
解得m＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3）；
当m≥4时，PC＝CD﹣PD＝m2﹣4m，OC＝m，
由勾股定理得：OP2＝OD2+DP2＝m2+m2（m﹣5）2，
①当OC＝PC时，m2﹣4m＝m，
解得：m＝4+或m＝0（舍去），
∴P（4+，2﹣3）；
②当OC＝OP时，（m）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m1＝6，m2＝4，
∵m＝4时，P和A重合，即P和C重合，不能组成△POC，
∴m＝4舍去，
∴P（6，﹣6）；
③当PC＝OP时，m2（m﹣4）2＝m2+m2（m﹣5）2，
解得：m＝5，
∴P（5，0），
答：存在，P的坐标是（4﹣，2+3）或（4+，2﹣3）或（6，﹣6）或（5，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的待定系数法、二次函数的图象性质以及等腰三角形的性质和判定．解答关键是，根据等腰三角形的腰与底边进行分类讨论，构造方程求解．
17．(1)；；(2)的面积最大值是，此时点坐标为；(3)的最小值是3.
【分析】(1)先写出平移后的抛物线解析式，再把点代入可求得的值，由的面积为5可求出点的纵坐标，代入抛物线解析式可求出横坐标，由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式；
(2)作轴交于，如图，利用三角形面积公式，由构建关于E点横坐标的二次函数，然后利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)作关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，则，利用锐角三角函数的定义可得出，此时最小，求出最小值即可．
【解析】解：(1)将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为，
∵，∴点的坐标为，
代入抛物线的解析式得，，∴，
∴抛物线的解析式为，即．
令，解得，，∴，
∴，
∵的面积为5，∴，∴，
代入抛物线解析式得，，解得，，∴，
设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴直线的解析式为．
(2)过点作轴交于，如图，设，则，
∴，
∴，，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，此时点坐标为．

(3)作关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，
∵，，
∴，，∴，
∵，
∴，∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小，
∵，，
∴，
∴．
∴的最小值是3．

【点评】主要考查了二次函数的平移和待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的有关计算和利用对称的性质求最值问题．解（1）题的关键是熟练掌握待定系数法和相关点的坐标的求解；解（2）题的关键是灵活应用二次函数的性质求解；解（3）题的关键是作关于轴的对称点，灵活应用对称的性质和锐角三角函数的知识，学会利用数形结合的思想和转化的数学思想把求的最小值转化为求的长度．
18．（1）；（2）点的坐标为：，；（3）若与全等，点有四个，坐标为，，，．
【分析】（1）用待定系数法，直接将代入解析式即可求解．
（2）由平分，平行即可求出，继而得出点坐标，由直线解析式即可求出与抛物线交点坐标即可．
（3）由三点的坐标可得三边长，由坐标可得和中，则另两组边对应相等即可，设点坐标为；利用两点间距离公式即列方程求解．
【解析】（1）抛物线经过，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）如图1，设对称轴与轴交于点，

平分，
，
又，
，
，
．
在中，，．
，
；．
①当时，直线解析式为：，
依题意得：．
解得：，，
点在对称轴右侧的抛物线上运动，
点纵坐标．
，
②当时，直线解析式为：，
同理可求：，
综上所述：点的坐标为：，，
（3）由题意可知：，，，
，
，
，
直线经过，，
直线解析式为，
抛物线对称轴为，而直线交对称轴于点，
坐标为；
，
设点坐标为，
则，
则，
，若与全等，有两种情况，
Ⅰ．，，即．
，
解得：，，
即点坐标为，．
Ⅱ．，，即．
，
解得：，，
即点坐标为，．
故若与全等，点有四个，坐标为，，，．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．