2023年北京市西城区高考数学一模试卷（含答案解析）

2023年北京市西城区高考数学一模试卷

1.  设集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列函数中，在区间上为增函数的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在的展开式中，x的系数为(    )

A. 40 B. 10 C.  D.

5.  已知P为所在平面内一点，，则(    )

A.  B.
C.  D.

6.  函数是(    )

A. 奇函数，且最小值为0 B. 奇函数，且最大值为2
C. 偶函数，且最小值为0 D. 偶函数，且最大值为2

7.  已知双曲线C的中心在原点，以坐标轴为对称轴.则“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的(    )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

8.  在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭除燃料外的质量间的关系为若火箭的最大速度为，则下列各数中与最接近的是(    )
参考数据：…

A. 200 B. 400 C. 600 D. 800

9.  设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  n名学生参加某次测试，测试由m道题组成.若一道题至少有名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了道题，则该生本次测试成绩合格.如果这次测试至少有名学生成绩合格，且测试中至少有道题为难题，那么mn的最小值为(    )

A. 6 B. 9 C. 18 D. 27

11.  复数，则______.

12.  已知抛物线的顶点为O，且过点A，若是边长为的等边三角形，则______ .

13.  已知数列的通项公式为，的通项公式为记数列的前n项和为，则______ ；的最小值为______ .

14.  设，，其中，当时，______ ；当时，的一个取值为______ .

15.  如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别在线段和上.
出下列四个结论：
①MN的最小值为2；
②四面体NMBC的体积为；
③有且仅有一条直线MN与垂直；
④存在点M，N，使为等边三角形.
其中所有正确结论的序号是______ .

16.  如图，在中，，，CD平分交AB于点D，
求的值；
求的面积.

17.  根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下单位：：

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下精确到：

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.
分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望EX；
从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件判断A与B是否相互独立结论不要求证明

18.  如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，为棱PC上一点，平面ABE与棱PD交于点再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列两个问题：
求证：F为PD的中点；
求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.  已知函数
求曲线在点处的切线方程；
设，证明：在上单调递增；
判断与的大小关系，并加以证明.

20.  已知椭圆C：，点A，B在椭圆C上，且为原点设AB的中点为M，射线OM交椭圆C于点
当直线AB与x轴垂直时，求直线AB的方程；
求的取值范围.

21.  给定正整数，设集合…，，，，2，…，对于集合M中的任意元素…，和…，，记…
设，且集合…，，，2，…，，对于A中任意元素，，若则称A具有性质
判断集合是否具有性质？说明理由；
判断是否存在具有性质的集合A，并加以证明；
若集合A具有性质，证明：……，

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：集合，
，

故选：
求出集合B，由此能求出
本题考查交集的求法，考查交集定义、一元二次不等式的性质及解法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：当时，
单调递减，A不符合题意；
不具有单调性，不符合题意；
不具有单调性，不符合题意；
单调递增，符合题意．
故选：
由已知结合基本初等函数的单调性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数单调性的判断，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：，，，

故选：
根据对数函数的单调性可得出，根据指数函数的单调性可得出，根据余弦函数的单调性可求出，从而可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了对数函数、指数函数和余弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】解：的展开式的通项为，
令可得，此时x的系数为
故选：
先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含项的系数．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属基础题．
 

5.【答案】A 

【解析】解：由于，
利用向量的线性运算，，
整理得：
故选：
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
 

6.【答案】C 

【解析】解：由题意知，，，
，
所以，所以是偶函数，
又，所以所以
故选：
先写出函数的定义域，并化简，再计算可得，从而知是偶函数，然后结合正弦函数的值域，可得的值域．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握二倍角公式，正切函数的定义域，函数的奇偶性是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：若双曲线C的离心率为2，则，
，若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为；
若双曲线C的焦点在y轴上，则渐近线方程为；
“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为”的充分条件；
反之，双曲线C的一条渐近线为，
若双曲线C的焦点在x轴上，则渐近线方程为，则，此时离心率；
若双曲线C的焦点在y轴上，则渐近线方程为，则，此时离心率，
“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为”的必要条件；
综上所述，“C的离心率为2”是“C的一条渐近线为”的既不充分也不必要条件．
故选：
根据题意，分别从充分性和必要性两方面进行检验，即可得出答案．
本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：因为火箭的最大速度和燃料的质量以及火箭除燃料外的质量间的关系为，
所以当火箭的最大速度为时，可得，即，
因为，所以近似计算可得，
故选：
根据所给关系式，求出，近似计算得解．
本题考查了对数函数模型在解决实际问题中的应用，属于基础题．
 

9.【答案】D 

【解析】解：令，作出的图象，如图所示：

函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得c的取值范围是
故选：
令，作出的图象，分，，三种情况讨论，即可得答案．
本题考查了函数的零点、数形结合思想、分类讨论思想，作出的图象是关键，属于中档题．
 

10.【答案】B 

【解析】解：根据题意可知，，
不妨设，，，
，
若求mn的最小值，只需最小值即可，
即，，
此时即有3名学生不妨设为2名学生成绩合格，这两名学生至少做了4道题，
可设甲同学可得至少有2名学生成绩合格，这两名学生至少做出了4道题，
可设甲同学做出了A，B两道题，乙同学做出了B，C两道题，丙同学做出了0道题，
此时合格的学生为甲乙，即有名学生成绩合格，
A，B，C三道题目中有A，C两道题，有名学生求解出来，即满足测试中有道题为难题，
，符合题意，
的最小值为
故选：
由题意可得学生人数和题目数必须是3的倍数，可从，进行讨论，即可得出mn的最小值．
本题考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
故答案为：
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
 

12.【答案】1 

【解析】解：设，，
是等边三角形，
则，即，
点A，B在抛物线，
，，
，
，
，，
，即，
，
，B关于x轴对称，
即，
，
，
，
，解得
故答案为：
根据已知条件，推出A，B关于x轴对称，再结合，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：；
，
，当时，，
单调递增，又，，，
故的最小值为
故答案为：；
计算可得结论；，判断单调性可得的最小值．
本题考查数列的求和，考查数列的单调性，属中档题．
 

14.【答案】  

【解析】解：当时，，，
则；
因为，
所以，
故的一个取值为
故答案为：；
由已知结合两点间距离公式可求；
结合两点间距离公式及同角平方关系，和差角公式即可求解．
本题主要考查了两点间距离公式及同角平方关系，和差角公式的应用，属于基础题．
 

15.【答案】①②④ 

【解析】解：对于①，由M在上运动，N在上运动，
的最小值为两条直线之间距离，而，
的最小值为2，故①正确；
对于②，，
，四面体NMBC的体积为，对②正确；
对于③，由题意知当M与重合时，，
又根据正方体性质得平面，
当M为中点，N与重合时，，
与垂直的MN不唯一，故③错误；
对于④，当为等边三角形时，，则此时，
只需要BM与BN的夹角等于即可，
以D为原点，DA，DC，分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

设，则由题意得，，，
，，
，
整理得，
该方程看成关于n的二次函数，
，
存在n，使得为等边三角形．
故答案为：①②④．
对于①，利用直线之间的距离可求解；对于②，以M为顶点，为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标能求解．
本题考查直线与直线之间的距离、正方体的性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】解：在中，由正弦定理可得，，
则，
，
；
由可知，，
平分交AB于点D，
，
，
为等腰三角形，
，
，
的面积为 

【解析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；
先求出BC，再结合正弦的两角和公式，以及三角形的面积公式，即可求解．
本题主要考查三角形中的几何计算，属于中档题．
 

17.【答案】解：样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，
所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为；
估计高三女生立定跳远单项的优秀率为
由题设，X的所有可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，

，
，
，
，所以A与B相互独立． 

【解析】样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，计算频率得到优秀率的估计值；
由题设，X的所有可能取值为0，1，2，3，算出对应概率的估计值，得到X的数学期望的估计值；
利用两个事件相互独立的定义判断即可．
本题考查离散型随机变量的期望，考查相互独立事件，是中档题．
 

18.【答案】证明：选条件①：；
因为，平面PCD，平面PCD，
所以平面PCD，
因为平面平面，
所以，
又，所以四边形ABEF为平行四边形．
所以且
因为且，所以且，
所以EF为的中位线，
所以F为PD的中点；
选条件②：；
因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
在中，，
在直角梯形ABCD中，
由，，可求得，所以，
因为，所以E为PC的中点，
因为，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
因为平面平面，所以，
所以，
所以F为PD的中点；
解：由题可知因为平面ABCD，所以，，又，所以AB，AD，AP两两相互垂直，
如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
所以
设平面BCF的法向量为，则，即，
令，则，于是，
因为平面PAD，且，所以平面PAD，
又平面PAD，所以，
又，且F为PD的中点，所以，CD，平面PCD，
所以平面PCD，所以是平面PCD的一个法向量，

由题设，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为 

【解析】若选条件①，利用线面平行判定定理和性质定理即可得出四边形ABEF为平行四边形，又即可得EF为的中位线即可得出证明；若选条件②，利用勾股定理可得E为PC的中点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得，即可得出证明；
建立以A为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量为，易知是平面PCD的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果．
本题考查了线面平行判定定理、性质定理和二面角的计算，属于中档题．
 

19.【答案】解：，所以，，
所以曲线在点处的切线方程为
证明：由题设，，
所以，
当时，因为，所以，
所以在上单调递增；
证明如下：
设，
则，
由知在上单调递增，所以，
所以，即在上单调递增，
所以，即 

【解析】求导得切点处的斜率，即可求解直线方程；
求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性；
构造函数，利用导数确定单调性，结合的结论即可求解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求曲线上某点处的切线方程，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意设直线AB的方程为，设，，
因为，由同样的对称性可知，即，
代入椭圆的方程：，解得，
即直线AB的方程为：；
当直线AB的斜率不存在时，则AB的中点，
若，由题意可得，这时；
由椭圆的对称性，当时，；
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，
设，，
联立，整理可得：，
，可得，
且，，，
，
因为，所以，
即，可得，
且，，，
设线OM的方程为，
代入椭圆的方程可得，解得，，
所以，
所以，当时，，
当时，，可得，即，
当时，则射线OM的方程为：，可得，
所以，
由椭圆的对称性可知当时，，
综上所述： 

【解析】由题意设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，解得直线AB的方程；
当直线AB的斜率不存在时，由可得M的坐标，求出射线OM的方程，由题意可得N的坐标，进而求出的值，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，求出AB的中点M的坐标，进而求出射线OM的方程，与椭圆的方程联立，可得N的坐标，进而求出的表达式，可得它的取值范围．
本题考查直线与椭圆的综合应用，分类讨论的思想，属于中档题．
 

21.【答案】解：，同理可得，
而，同理可得，
集合具有性质；
当时，集合A的元素有4个，由题可知，
假设集合A具有性质，
则①当时，，矛盾；
②当时，，不具有性质，矛盾；
③当时，，
和至多一个在A中；和至多一个在A中；
和至多一个在A中，故集合A的元素个数小于4，矛盾；
④当时，，不具有性质，矛盾；
⑤时，，矛盾，
综合可得：不存在具有性质的集合A；
证明：设…，，则，
若，则…，，矛盾；
当时，…，，矛盾，故，
假设存在j使得，不妨设，即，
当时，有或…，成立，
，，，中分量为1的个数至多有，
当时，不妨设…，，
，的各分量有p个1，不妨设，
由时，可知：，，，中至多有一个1，
即，，的前个分量中，至多含有个1，
又…，，则，，的前个分量中，
含有个1，矛盾，
…，，，
…，，
…， 

【解析】根据性质的概念，验证即可说明；
当时，集合A的元素有4个，由题可知，再分类讨论p的取值，结合的概念，即可求解；
根据性质的概念，分类讨论，证明即可．
本题考查集合的新定义，化归转化思想，归纳推理思想，分类讨论思想，反证法的应用，数学归纳法的应用，属难题．