2022年北京市西城区高考数学一模试卷

这是一份2022年北京市西城区高考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。

2022年北京市西城区高考数学一模试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（　　）
A．{0，2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}
2．（4分）复数的共轭复数＝（　　）
A．1﹣i B．1+i C． D．
3．（4分）设a＝log30.4，b＝log30.3，c＝0.33，则（　　）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
4．（4分）在（﹣2x）6的展开式中，常数项为（　　）
A．﹣120 B．120 C．﹣160 D．160
5．（4分）若双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F（3，0）到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）已知向量，满足||＝5，＝（3，4），•＝0．则|﹣|＝（　　）
A．5 B． C．10 D．
7．（4分）已知点A为圆C：（x﹣m）2+（y﹣m﹣1）2＝2上一点，点B（3，0），当m变化时，线段AB长度的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
8．（4分）将函数y＝sin（2x+φ）的图象向右平移a个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移a个单位所得函数图象关于y轴对称，其中，a＞0，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
9．（4分）在无穷等差数列{an}中，公差为d，则“存在m∈N*，使得a1+a2+a3＝am”是“a1＝kd（k∈N*）”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（4分）如图，曲线C为函数的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动．两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动．在运动过程中，设甲粒子的坐标为（m，n），乙粒子的坐标为（u，v），若记n﹣v＝f（m），则下列说法中正确的是（　　）

A．f（m）在区间上是增函数
B．f（m）恰有2个零点
C．f（m）的最小值为﹣2
D．f（m）的图象关于点中心对称
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）若抛物线y2＝2px上任意一点到点（1，0）的距离与到直线x＝﹣1的距离相等，则p＝　 　．
12．（5分）已知数列{an}满足（n≥2，n∈N*），Sn为其前n项和．若a5＝4，则S5＝　 　．
13．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点，给出下列三个论断：
①A1F⊥BE；
②A1F＝3；
③S△ADF＝2S△ABF．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　 　．

14．（5分）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分（x为正整数）．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换．
①当x＝10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换 　 　元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为 　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣kx﹣3，给出下列四个结论：
①若a＝1，则函数f（x）至少有一个零点；
②存在实数a，k，使得函数f（x）无零点；
③若a＞0，则不存在实数k，使得函数f（x）有三个零点；
④对任意实数a，总存在实数k使得函数f（x）有两个零点．
其中所有正确结论的序号是 　 　．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）在△ABC中，acosB+b＝c．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长．
条件①：cosB＝，b＝1；
条件②：a＝2，c＝2；
条件③：b＝3，c＝．
17．（14分）如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB＝DE＝1，AD＝PA＝2，点F在棱PA上．
（Ⅰ）求证：BF∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣PE﹣A的余弦值；
（Ⅲ）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长．

18．（13分）2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营．地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站
上车站
牡丹园
积水潭
牛街
草桥
新发地
新宫
合计
牡丹园
///
5
6
4
2
7
24
积水潭
12
///
20
13
7
8
60
牛街
5
7
///
3
8
1
24
草桥
13
9
9
///
1
6
38
新发地
4
10
16
2
///
3
35
新宫
2
5
5
4
3
///
19
合计
36
36
56
26
21
25
200
（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X，求随机变量X的分布列以及数学期望；
（Ⅲ）为了研究各站客流量的相关情况，用ξ1表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“ξ1＝1”表示上车，“ξ1＝0”表示下车．相应地，用ξ2，ξ3分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3大小关系．
19．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y＝kx+m（km≠0）与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点．如果∠MOP＝2∠MNP成立，求k的值．
20．（15分）已知函数f（x）＝﹣1，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1时，
①求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
②求证：f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点；
（Ⅱ）若f（x）没有零点，求a的取值范围．
21．（15分）如果无穷数列{an}是等差数列，且满足：
①∀i，j∈N*，∃k∈N*，使得aiaj＝ak；
②∀k∈N*，∃i，j∈N*，使得aiaj＝ak，
则称数列{an}是“H数列”．
（Ⅰ）下列无穷等差数列中，是“H数列”的为 　 　；（直接写出结论）
{an}：1，3，5，……
{bn}：0，2，4，……
{cn}：0，0，0，……
{dn}：﹣1，0，1，……
（Ⅱ）证明：若数列{an}是“H数列”，则a1∈Z且公差d∈N；
（Ⅲ）若数列{an}是“H数列”且其公差d∈N*为常数，求{an}的所有通项公式．

2022年北京市西城区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（　　）
A．{0，2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2}
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{﹣2，0，2}，B＝{x|x≥0}，
∴A∩B＝{0，2}．
故选：A．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）复数的共轭复数＝（　　）
A．1﹣i B．1+i C． D．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：∵＝，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（4分）设a＝log30.4，b＝log30.3，c＝0.33，则（　　）
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【分析】根据指对函数单调性可解决此题．
【解答】解：因为对数函数y＝log3x在（0，+∞）上是单调递增的，
所以log30.3＜log30.4＜log31＝0，
又因为c＝0.33＞0，所以b＜a＜c．
故选：D．
【点评】本题考查指对函数单调性，考查数学运算能力，属于基础题．
4．（4分）在（﹣2x）6的展开式中，常数项为（　　）
A．﹣120 B．120 C．﹣160 D．160
【分析】先求出通项，然后令x的指数为零即可．
【解答】解：由题意得：x2k﹣6，
令2k﹣6＝0得k＝3，
故常数项为＝﹣160．
故选：C．
【点评】本题考查二项式展开式通项的应用和学生的运算能力，属于基础题．
5．（4分）若双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F（3，0）到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用焦点坐标到渐近线的距离求出b，然后求解a，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线C的标准方程（a＞0，b＞0），
且其焦点F（3，0）到渐近线bx+ay＝0的距离等于，
可得：，可得b＝，c＝3，则a＝2，
所求的双曲线方程为：．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．
6．（4分）已知向量，满足||＝5，＝（3，4），•＝0．则|﹣|＝（　　）
A．5 B． C．10 D．
【分析】通过向量的数量积，结合向量的模，求解即可．
【解答】解：向量，满足||＝5，＝（3，4），•＝0．
则|﹣|＝＝＝5．
故选：B．
【点评】本题考查向量的数量积的求法，向量的模的运算法则，是基础题．
7．（4分）已知点A为圆C：（x﹣m）2+（y﹣m﹣1）2＝2上一点，点B（3，0），当m变化时，线段AB长度的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【分析】由圆的方程求得圆心坐标和圆的半径，得到|BC|＝，求得|BC|min＝2，结合线段AB长度的最小值为2﹣r，即可求解．
【解答】解：由圆C：（x﹣m）2+（y﹣m﹣1）2＝2，可得圆心C（m，m+1），半径为r＝，
则|BC|＝＝＝，
当m＝1时，|BC|取得最上值，最小值为|BC|min＝2，
所以线段AB长度的最小值2﹣r＝．
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，求线段长的最小值问题，属基础题．
8．（4分）将函数y＝sin（2x+φ）的图象向右平移a个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移a个单位所得函数图象关于y轴对称，其中，a＞0，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，可得﹣2a+φ＝kπ，2a+φ＝kπ+，k∈Z，由此可得φ的值．
【解答】解：∵将函数y＝sin（2x+φ）的图象向右平移a个单位，
所得函数图象对应函数为y＝sin（2x﹣2a+φ）的图象关于原点对称，
向左平移a个单位所得函数y＝sin（2x+2a+φ）的图象关于y轴对称，其中，a＞0，
∴﹣2a+φ＝kπ，2a+φ＝kπ+，k∈Z，∴2φ＝kπ+，∴φ＝kπ+，k∈Z，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
9．（4分）在无穷等差数列{an}中，公差为d，则“存在m∈N*，使得a1+a2+a3＝am”是“a1＝kd（k∈N*）”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据a1+a2+a3＝am可得a1＝d，从而可检验充分性；若a1＝kd，令a1+a2+a3＝am，得3d（k+1）＝（k+m﹣1）d，则2k＝m﹣2，从而可检验必要性．
【解答】解：先检验充分性：
由a1+a2+a3＝am，得3a1+3d＝a1+（m﹣1）d，即a1＝d，
又a1＝kd，m∈N*，故存在m＝5、k＝等不满足题意，充分性不成立；
再检验必要性：
若a1＝kd，则a1+a2+a3＝3a1+3d＝3d（k+1），am＝a1+（m﹣1）d＝kd+（m﹣1）d＝（k+m﹣1）d，
令a1+a2+a3＝am，得3d（k+1）＝（k+m﹣1）d，则2k＝m﹣2，
易知取k＝1，m＝3满足题意，必要性成立，
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，涉及充分、必要条件，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．
10．（4分）如图，曲线C为函数的图象，甲粒子沿曲线C从A点向目的地B点运动，乙粒子沿曲线C从B点向目的地A点运动．两个粒子同时出发，且乙的水平速率为甲的2倍，当其中一个粒子先到达目的地时，另一个粒子随之停止运动．在运动过程中，设甲粒子的坐标为（m，n），乙粒子的坐标为（u，v），若记n﹣v＝f（m），则下列说法中正确的是（　　）

A．f（m）在区间上是增函数
B．f（m）恰有2个零点
C．f（m）的最小值为﹣2
D．f（m）的图象关于点中心对称
【分析】由题意得到f（m）＝2sin2m+sinm﹣1逐项判断．
【解答】解：由题意得：n＝sinm，v＝sinu＝sin（﹣2m）＝cos2m，
所以f（m）＝n﹣v＝sinm﹣cos2m＝2sin2m+sinm﹣1，
由，得0≤m，
令t＝sinm，
则y＝2t2+t﹣1，
因为t＝sinm在（，π）上递减，y＝2t2+t﹣1在（0，1）上递增，
所以f（m）在区间（，π）上是减函数，故A错误；
令f（m）＝2sin2m+sinm﹣1＝0，得sinm＝或sinm＝﹣1，
解得m＝或m＝，故B正确；
因为y＝2t2+t﹣1＝（t+）2﹣，t∈[﹣，1]，
所以f（m）的最小值为﹣，故C错误；
因为y＝2t2+t﹣1＝（t+）2﹣，t∈[﹣，1]，关于t＝﹣对称，是轴对称图形，
所以f（m）不可能关于点中心对称，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的图象及性质，得出f（m）＝2sin2m+sinm﹣1是关键，属于中档题．
二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）若抛物线y2＝2px上任意一点到点（1，0）的距离与到直线x＝﹣1的距离相等，则p＝　2　．
【分析】直接由抛物线的定义求解即可．
【解答】解：∵曲线C上任意一点到点F（1，0）的距离与到直线x＝﹣1的距离相等，
∴F为焦点，x＝﹣1为准线，∴p＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的定义，属基础题．
12．（5分）已知数列{an}满足（n≥2，n∈N*），Sn为其前n项和．若a5＝4，则S5＝　124　．
【分析】根据题意和等比数列的定义得数列{an}是公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式和求和公式，即可求解．
【解答】解：由题意，数列{an}满足，可得数列{an}是公比为的等比数列，
因为a5＝4，可得，解得a1＝64，
所以，
故答案为：124．
【点评】本题考查了等比数列的求和公式，属于基础题．
13．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱CD的中点，点F为底面ABCD内一点，给出下列三个论断：
①A1F⊥BE；
②A1F＝3；
③S△ADF＝2S△ABF．
以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　若A1F⊥BE，则S△ADF＝2S△ABF，或若S△ADF＝2S△ABF，则A1F⊥BE　．

【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则A1（2，0，2），B（2，2，0），E（0，1，0），＝（﹣2，﹣1，0），
设F（x，y，0），x∈[0，2]，则＝（x﹣2，y，﹣2），
S△ADF＝，
S△ABF＝，
A1F⊥BE⇔＝﹣2（x﹣2）﹣y＝0⇔S△ADF＝2S△ABF，
∵A1F＝＝＝，
∴以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，能写出两个正确的命题：
若A1F⊥BE，则S△ADF＝2S△ABF；若S△ADF＝2S△ABF，则A1F⊥BE．
故答案为：若A1F⊥BE，则S△ADF＝2S△ABF，或若S△ADF＝2S△ABF，则A1F⊥BE．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．（5分）调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/千克的经济效益．为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积分1分，若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg，则额外奖励x分（x为正整数）．月底积分会按照0.1元/分进行自动兑换．
①当x＝10时，若某家庭某月产生120kg生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换 　13　元；
②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x的最大值为 　36　．
【分析】①先计算出该家庭月底的积分，再拿积分乘以0.1，即可求解．
②设每个家庭每月产生的垃圾为tkg，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为f（t）元，再分类讨论，即可求解．
【解答】解：①若某家庭某月产生120kg生活垃圾，
则该家庭月底的积分为120+10＝130分，
故该家庭该月积分卡能兑换130×0.1＝13，
②设每个家庭每月产生的垃圾为tkg，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为f（t）元，
若0≤t＜100时，f（t）＝0.1t＜0.34t×0.4＝0.136t恒成立，
若t≥100时，f（t）＝0.1t+0.1x≤0.34t×0.4，解得x≤（0.36t）min＝36，
故x的最大值为36．
故答案为：①13；②36．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
15．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣kx﹣3，给出下列四个结论：
①若a＝1，则函数f（x）至少有一个零点；
②存在实数a，k，使得函数f（x）无零点；
③若a＞0，则不存在实数k，使得函数f（x）有三个零点；
④对任意实数a，总存在实数k使得函数f（x）有两个零点．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　．
【分析】在同一坐标系中作出y＝|2x﹣a|，y＝kx+3的图象，利用数形结合法求解．
【解答】解：①当a＝1时，f（x）＝|2x﹣a|﹣kx﹣3，令f（x）＝0，得|2x﹣1|＝kx+3，
在同一坐标系中作出y＝|2x﹣1|，y＝kx+3的图象，如图所示：

由图象及直线y＝kx+3过定点（0，3）知函数f（x）至少有一个零点，故正确；
②当a＝﹣4，k＝0时，作出y＝|2x+4|，y＝3的图象，

由图象知，函数f（x）无零点，故正确；
③当a＝6，k＝﹣时，在同一坐标系中作出y＝|2x﹣6|，y＝﹣x+3的图象，如图所示：

由图象知：函数f（x）有三个零点，故错误；
④当a＝0时，
，
当a＜0时，
，
当a＞0时，

由图象知：对任意实数a，总存在实数k使得函数f（x）有两个零点，故正确．
故答案为：①②④
【点评】本题考查了函数的零点，分类讨论思想及数形结合思想，难点是针对每种情况能准确作了图象，属于中档题．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）在△ABC中，acosB+b＝c．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长．
条件①：cosB＝，b＝1；
条件②：a＝2，c＝2；
条件③：b＝3，c＝．
【分析】（I ）由已知结合正弦定理进行化简可求cosA，进而可求A；
（II）若选①：结合同角平方关系求出sinB，结合诱导公式及和差角公式求出sinC，然后结合锐角三角函数定义可求；
若选②：由余弦定理可求b，检验是否唯一即可；
若选③：由余弦定理可求a，然后结合锐角三角函数定义可求．
【解答】解：（I ）因为acosB+b＝c，
由正弦定理得，sinAcosB+sinB＝sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA，
所以sinB＝sinBcosA，
由B为三角形内角得sinB＞0，
所以＝cosA，
由A为三角形内角可得A＝30°；
（II）若选①：cosB＝，b＝1；
sinB＝，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA+＝，
设BC边上的高为h，则h＝bsinC＝；
若选②：a＝2，c＝2，
由余弦定理得，a2＝4＝，
解得，b＝2或b＝4，此时三角形解不唯一；
若选③：b＝3，c＝，
由余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝9+3﹣2×＝3，
所以a＝＝c，
故C＝A＝30°，三角形的解唯一，
设BC边上的高为h，则h＝bsinC＝．
【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
17．（14分）如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB＝DE＝1，AD＝PA＝2，点F在棱PA上．
（Ⅰ）求证：BF∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角C﹣PE﹣A的余弦值；
（Ⅲ）若点F到平面PCE的距离为，求线段AF的长．

【分析】（Ⅰ）由面面平行的性质可证；
（Ⅱ）建系，利用空间向量求解；
（Ⅲ）建系，将点面距化为向量投影的绝对值即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
∴PA∥DE，又PA⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，
∴PA∥平面CDE，又四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，
∴AB∥平面CDE，结合PA∥平面CDE，
又AB，PA⊂平面ABCD，AB∩PA＝A，
∴平面ABCD∥平面CDE，又点F在棱PA上，∴BF⊂平面ABCD，
∴BF∥平面CDE；
（Ⅱ）分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，
由题意有A（0，0，0），P（0，0，2），C（1，2，0），
E（0，2，1），∴＝（1，2，﹣2），＝（0，2，﹣1），
易知平面APE的一个法向量为＝（1，0，0），
设平面CPE的法向量＝（x，y，z），
则，∴，令y＝1，则z＝2，x＝2，
∴＝（2，1，2），由图知二面角C﹣PE﹣A的平面角θ为锐角，
∴cosθ＝＝＝＝，
∴二面角C﹣PE﹣A的余弦值为；
（Ⅲ）设点F（0，0，t），0≤t≤2，则＝（0，0，2﹣t），
又由（Ⅱ）中平面CPE的法向量＝（2，1，2），
∴F到平面PCE的距离为：＝＝＝，
∴t＝，即AF＝．

【点评】本题考查线面平行证明，二面角求解，以及点面距的问题，属中档题．
18．（13分）2021年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多.12月31日首班车起，地铁19号线一期开通试运营．地铁19号线一期全长约22公里，共设10座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐19号线一期的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站
上车站
牡丹园
积水潭
牛街
草桥
新发地
新宫
合计
牡丹园
///
5
6
4
2
7
24
积水潭
12
///
20
13
7
8
60
牛街
5
7
///
3
8
1
24
草桥
13
9
9
///
1
6
38
新发地
4
10
16
2
///
3
35
新宫
2
5
5
4
3
///
19
合计
36
36
56
26
21
25
200
（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X，求随机变量X的分布列以及数学期望；
（Ⅲ）为了研究各站客流量的相关情况，用ξ1表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“ξ1＝1”表示上车，“ξ1＝0”表示下车．相应地，用ξ2，ξ3分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3大小关系．
【分析】（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客60人，对应乘客在牛街站下车的20人，即可得出该乘客在牛街站下车的概率P；
（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X，可得取值为0，1，2，3，X～B（3，）．利用二项分布列概率计算公式可得其概率及其X的分布列与E（X）．
（Ⅲ）Dξ2＜Dξ1＜Dξ3．
【解答】解：（Ⅰ）在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客60人，对应乘客在牛街站下车的20人，
∴从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率P＝＝；
（Ⅱ）在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为X，可得取值为0，1，2，3，X～B（3，）．
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝××＝，P（X＝2）＝××（1﹣）＝，
P（X＝3）＝×＝．
∴X的分布列为：
x
0
1
2
3
p




E（X）＝3×＝1．
（Ⅲ）Dξ2＜Dξ1＜Dξ3．
【点评】本题考查了“二项分布列”的概率计算公式、分布列及其数学期望、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y＝kx+m（km≠0）与椭圆C交于A，B两点，与y轴交于点P，线段AB的垂直平分线与AB交于点M，与y轴交于点N，O为坐标原点．如果∠MOP＝2∠MNP成立，求k的值．
【分析】（Ⅰ）由椭圆的对称性可判断以椭圆的四个顶点为顶点的四边形为菱形，结合题意可得a2+b2＝5，再由离心率可得a，b的值，进而得出所求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由韦达定理可得x1+x2＝﹣，，y1+y2＝，
进而得出M（﹣，），从而求出MN的方程，即可得出N（0，﹣），再结合图形及已知条件∠MOP＝2∠MNP可得|OM|＝|ON|，进而得出k的值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形为菱形，边长为，
所以4＝4，即a2+b2＝5，
又因为a2﹣b2＝c2，且，所以a＝2，b＝1，
所以椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则
联立方程组得：
（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
所以Δ＝64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＝16（4k2﹣m2+1）＞0，
x1+x2＝﹣，，
所以y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝k（﹣）+2m＝，
因为M是AB的中点，所以M（﹣，），
所以MN的方程为y＝﹣（x+）+，
令x＝0，则y＝﹣，所以N（0，﹣），
因为∠MOP＝2∠MNP，且∠MOP＝∠MNP+∠OMN，
所以∠MNP＝∠∠OMN，所以|OM|＝|ON|，如图所示，

因为|OM|＝|，|ON|＝|﹣|，
所以+（）2＝|﹣|2，
解得，解得k＝±．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
20．（15分）已知函数f（x）＝﹣1，a≠0．
（Ⅰ）当a＝1时，
①求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
②求证：f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点；
（Ⅱ）若f（x）没有零点，求a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）①利用导数求出切线的斜率，直接求出切线方程；
②令g（x）＝ex+1﹣xex，利用导数判断出g（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，利用列表法证明出f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点；
（Ⅱ）令h（x）＝ex+a﹣ax．对a分类讨论：（1）a＜0，得到当a＝﹣1时，f（x）无零点；（2）a＞0，f（x）无零点，符合题意．
【解答】解：（Ⅰ）若a＝1，则，
①在x＝0处，，
所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为；
证明：②令g（x）＝ex+1﹣xex，g′（x）＝﹣xex，
在区间（0，+∞）上，g′（x）＜0，则g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
又g（1）＝1＞0，g（2）＝﹣e2+1＜0，
所以g（x）在（0，+∞）上有唯一零点x0，
列表得：
x
（0，x0）
x0
（x0，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
↑
极大值
↓
所以f（x）在（0，+∞）上有唯一极大值点x0；
解：（Ⅱ），
令h（x）＝ex+a﹣ax，则h′（x）＝ex﹣a，
①若a＜0，则h′（x）＞0，h（x）在R上是增函数，
因为，
所以h（x）恰有一个零点x0，
令，得x0＝ln（﹣a），
代入h（x0）＝0，得﹣a+a﹣aln（﹣a）＝0，
解得a＝﹣1，
所以当a＝﹣1时，h（x）的唯一零点为0，此时f（x）无零点，符合题意；
②若a＞0，此时f（x）的定义域为R，
当x＜lna时，h′（x）＜0，h（x）在区间（﹣∞，lna）上是减函数，
当x＞lna时，h′（x）＞0，h（x）在区间（lna，+∞）上是增函数，
所以h（x）min＝h（lna）＝2a﹣alna，
又h（0）＝1+a＞0，
由题意，当2a﹣alna＞0，即0＜a＜e2时，f（x）无零点，符合题意．
综上，a的取值范围是{﹣1}∪（0，e2）．
【点评】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围．
21．（15分）如果无穷数列{an}是等差数列，且满足：
①∀i，j∈N*，∃k∈N*，使得aiaj＝ak；
②∀k∈N*，∃i，j∈N*，使得aiaj＝ak，
则称数列{an}是“H数列”．
（Ⅰ）下列无穷等差数列中，是“H数列”的为 　{an}、{cn}　；（直接写出结论）
{an}：1，3，5，……
{bn}：0，2，4，……
{cn}：0，0，0，……
{dn}：﹣1，0，1，……
（Ⅱ）证明：若数列{an}是“H数列”，则a1∈Z且公差d∈N；
（Ⅲ）若数列{an}是“H数列”且其公差d∈N*为常数，求{an}的所有通项公式．
【分析】（I）根据“H数列”的定义可得出结论；
（II）验证d＝0成立，利用（1）（2）推导出d∈Z，假设d＜0，可得出等差数列{an}是递减数列，结合（1）得出0≤a1≤1，结合a1∈Z可得出a1＝0或1，d≤﹣1，再结合不等式的基本性质以及数列{an}的单调性推出矛盾，从而说明d＜0不成立，即可证得结论成立；
（III）由（2）知，d≥1，可得知数列{an}是递增数列，推导出a1＜0不成立，可得出a1∈N，分a1＝0，a1≠0两种情况讨论，验证an＝n﹣1、an＝a1+（n﹣1）d满足①②，即可得出结果．
【解答】（I）解：由“H数列“的定义可知，数列{an}、{cn}为“H数列“．
（II）证明：若d＝0，则由（1）可知，所以a1＝0∈Z或a1＝1∈Z，且公差d＝0∈N，
以下设d≠0．
由（I），∃k，l∈N*，a1a2＝ak，a1a3＝al，
两式作差得（l﹣k）d＝al﹣ak＝a1（a3﹣a2）＝a1d，
因为d≠0，所以a1＝l﹣k∈Z．
由（I），∃m、n∈N*，a2a3＝am，a2a4＝an，
两式作差得（n﹣m）d＝an﹣am＝a2（a4﹣a3）＝a2d，
因为d≠0，所以a2＝n﹣m∈Z，因此，d＝a2﹣a1∈Z．
若d＜0，则等差数列{an}是递减数列，由（1）为{an}中的项，因此，，
解得0≤a1≤1，
由a1∈Z且公差d∈Z，所以a1＝0或1，d≤﹣1，a4＝a1+3d≤1+3×（﹣1）＝﹣2，
由（1），为{an}中的项，且，这与等差数列{an}递减矛盾，因此，d＜0不成立．
综上，a1∈Z且公差d∈N．
（III）解：因为公差d∈N*，所以d≥1，即{an}是递增数列．
若a1＜0，因为a1∈Z，所以，
则，且，
由（1）为{an}中的项，这与等差数列{an}是递增数列矛盾．
因此，a1≥0，又由（2）a1∈Z，故a1∈N．
由知，∀n∈N*，an≥0且{an}中存在一项为正整数，取最小的正整数项ak．
则由（2），∃i，j∈N*，使得aiaj＝ak且ai≥ak≥1，aj≥ak≥1．
因此，解得ak≤1，又，故ak＝1．
因为{an}是递增数列，
（i）若a1＝0，则d＝a2﹣a1＝a2＝ak＝1，此时an＝n﹣1．
因为∀i，j∈N*，aiaj＝（i﹣1）（j﹣1）＝ij﹣i﹣j+1，
令k＝ij﹣i﹣j+2，有k∈N*，且aiaj＝ak，所以{an}满足条件①．
因为∀k∈N*，令i＝2，j＝k有ataj＝a2ak＝1×ak＝ak，所以{an}满足条件②．
（ii）若a1≠0，则a1＝ak＝1，an＝1+（n﹣1）d．
因为∀i，j∈N*，aiaj＝[a1+（i﹣1）d]⋅[a1+（j﹣1）d]
＝
＝a1+[（i+j﹣2）+（i﹣1）（j﹣1）d]d．
令k＝（i+j﹣2）+（i﹣1）（j﹣1）d+1，则k∈N*，且aiaj＝ak，所以{an}满足条件①．
因为∀k∈N*，令i＝1，j＝k，有ataj＝a1ak＝1×ak＝ak，所以{an}满足条件②．
综上，an＝n﹣1或an＝1+（n﹣1）d．
【点评】本题考查了数列的新定义及数列的应用，考查学生的综合能力，属于难题．
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