2023年北京四中高考数学零模试卷（含答案解析）

2023年北京四中高考数学零模试卷

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  复数的模(    )

A.  B. 2 C.  D. 1

3.  设l，m是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法正确的是(    )

A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则

4.  设，则“”是“”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

5.  设是等差数列，下列结论中正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

6.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点.若，，，则的最大值为(    )

A. 16 B. 12 C. 8 D. 6

8.  函数，在区间上是增函数，且，，则函数在上(    )

A. 单调递增 B. 单调递减 C. 最大值为A D. 最小值为

9.  明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术--“过洋牵星术”.简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位.其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米称一指，木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米称十二指观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列.已知为的牛顿数列，，且，，数列的前n项和为则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知抛物线的准线方程为，则______.

12.  的展开式中项的系数为______ .

13.  已知双曲线的渐近线与圆相切，则______ .

14.  能够说明“若，则”是假命题的一组非零实数a，b的值依次为______ 、______ .

15.  已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点.给出下列四个结论：
①若点P在线段上运动，则始终有；
②若点P在线段上运动，则过P，B，三点的正方体截面面积的最小值为；
③若点P在线段上运动，三棱锥体积为定值；
④若点P在线段上运动，则的最小值为
其中所有正确结论的序号有______ .

16.  在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，已知
求角B的大小；
再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：，；
条件②：，；
条件③：，
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

17.  某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：

从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；
如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图不用说明理由

18.  如图所示，在三棱柱中，D是AC中点，平面ABC，平面与棱交于点E，，
求证：；
若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.

19.  已知，分别为椭圆E：的左、右焦点，点为椭圆的一个顶点，是顶角为的等腰三角形.
求椭圆E的方程；
过点M分别作直线MA，MB交椭圆E于A，B两点，设两直线的斜率分别为，，且，求证：直线AB过定点.

20.  已知函数，函数，其中
讨论函数在上的单调性；
当时，证明：曲线与曲线有且只有一个公共点.

21.  已知集合，若集合且对任意的，存在，，使得其中，，则称集合A为集合M的一个m元基底．
分别判断下列集合A是否为集合M的一个二元基底，并说明理由；
①，；②，
若集合A是集合M的一个m元基底，证明：；
若集合A为集合的一个m元基底，求出m的最小可能值，并求出当m取最小值时M的一个基底

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：，，

故选：
根据指数函数的单调性可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了指数函数的单调性，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】D 

【解析】解：，
所以
故选：
先求出z，再求模长即可．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
 

3.【答案】C 

【解析】解：对选项A，若，，则l与m的位置关系是平行，相交和异面，故A错误．
对选项B，若，，则与的位置关系是平行和相交，故B错误．
对选项C，若，，则根据线面垂直的性质得l与m的位置关系是平行，故C正确．
对选项D，若，，则与的位置关系是平行和相交，故D错误．
故选：
根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系依次判断选项即可．
本题主要考查了直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系和平面与平面的位置关系的判断，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
 

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查了同角三角函数间的基本关系，充要条件的判定，属于基础题．
利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．

【解答】

解：，
①当时，则，充分性成立，
②当时，则，必要性不成立，
是的充分不必要条件，
故选

5.【答案】D 

【解析】解：对于A，，，d的正负无法判断，正负无法判断，故A错误；
对于B，，，正负无法判断，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，，则，即，故D正确．
故选：
利用等差数列的通项公式及性质逐一核对四个选项得答案．
本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是中档题．
 

6.【答案】B 

【解析】解：，
因为，且，
所以，即
由幂函数的性质可知，，故A错误；
由指数函数的性质可知，，故B正确；
因为，，所以，故C错误；
由对数函数的性质可知，，故D错误；
故选：
由换底公式结合对数函数的单调性得出，继而由幂函数、指数函数、对数函数的单调性作出判断即可．
本题主要考查了指数函数及幂函数性质的应用，属于基础题．
 

7.【答案】B 

【解析】解：因为，，
所以
故选：
根据题意得到，，即可得到答案．
本题主要考查了向量数量积的性质在最值求解中的应用，还考查了圆的性质的应用，属于基础题．
 

8.【答案】C 

【解析】解：函数在区间上是增函数，且，，，
则当时，
而函数在上先增后减，
即函数在上先增后减，有最大值
故选：
由正弦函数的性质确定的范围，进而由余弦函数的单调性得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于中档题．
 

9.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的实际应用，三角恒等变换，二倍角的正切公式，属于基础题.

根据12块正方形模板成等差数列可知6指板的长度，再由三角恒等变换求值即可.

【解答】

解：由题意，12块正方形模板组成以2厘米为首项，最大边长24厘米的等差数列，

所以公差，

故第6块正方形模板边长为厘米，即6指的板长度为12厘米.

因为眼睛到木板距离为72厘米，

故在直角三角形中，

所以
故选：

10.【答案】A 

【解析】解：由f题意得，
则，，
则两边取对数可得
即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以
故选：
由导数结合题设条件得出，两边取对数，结合等比定义以及求和公式求解即可．
本题主要考查了数列的递推关系的应用，还考查了等比数列的判断及等比数列的定义及求和公式的应用，属于中档题．
 

11.【答案】2 

【解析】解：由抛物线，得直线方程为，
由题意，，得
故答案为：
由已知结合抛物线的直线方程列式求得p值．
本题考查抛物线的简单性质，是基础题．
 

12.【答案】80 

【解析】解：通项公式，令，
可得：展开式中项的系数为
故答案为：
利用通项公式即可得出．
本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由得，所以圆心为，半径为1，
双曲线的渐近线方程为，即，
因为双曲线的渐近线与圆相切，
所以，化简得，解得或舍去
故答案为：
求出双曲线的渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于圆的半径可求得a的值．
本题考查双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为在R上单调递增，，在和上单调递减，
于是的单调递减区间为和
所以当，时，或者当，时，命题“若，则”是真命题，
当，时，成立，但，，所以，所以命题“若，则”是假命题，
于是取一组特值满足，即可，不妨取，
故答案为：1、
用函数的单调性判断命题真假即可．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的单调性及不等式性质，属于基础题
 

15.【答案】①③④ 

【解析】解：对于①：如下图，连接，所以，又，所以，
因为平面，所以，由线面垂直的判定可知，平面，因为平面，所以，故①正确；

对于②：在上取一点，使得，，连接，，，PB，
易知，且，即P，B，，四点共面，
即过P，B，三点的截面为截面，
以点D为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：

则，，，，，
因为，，
所以截面的面积为，
当时，P，B，三点的正方体截面面积最小值为，故②错误；
对于③：如下图，由已知得，所以直线上所有点到平面的距离相等，
又，而是一个定值，所以三棱锥体积为定值，故③正确；

对于④：如下图，将与四边形沿展开在同一平面上，由图可知，线段的长度即为的最小值，在中，，故④正确；

故答案为：①③④．
由平面判断①；由向量法判断②；由等体积法判断③；将与四边形沿展开在同一平面上，由余弦定理得出的最小值．
本题考查空间中的动点问题，解决此类问题时，常需证明线线，线面，面面间的平行和垂直关系，从而得出点运动中，存在的不变的位置关系，存在着面积或体积的定值，属于中档题．
 

16.【答案】解：因为，
所以，
又，所以
因为，所以
选①：由余弦定理可得，
即，此时，无解，不合题意．
选②：由余弦定理可得，整理得，
解得或舍，即
满足存在且唯一确定，则的面积为
选③：，由正弦定理可得
由余弦定理可得，，即
解得，，此时不满足存在且唯一确定，不合题意． 

【解析】由正弦定理的边化角公式得出角B的大小；
选①：由余弦定理以及判别式求解即可；选②：由余弦定理得出a，c，进而求出面积；选③：由正弦定理得出b，进而由余弦定理得出a，从而作出判断．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及同角基本关系在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A…分
从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以；…分
的所有可能取值为0，1，2，…分，，分
X的分布列为

…分；…分
月3日…分
由直方图知，微信记步数落在，单位：千步区间内的人数依次为，，，，据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求． 

【解析】分别根据微信记步数信息计算出甲乙步数都不低于10000的概率，再用分布原理处理．
服从超几何分布，确定X的取值为0，1，2，代入超几何分布概率公式即可．
由直方图知，微信记步数落在各区间的频率，再根据甲和乙的名次情况分析即可．
本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题．
 

18.【答案】证明：根据棱柱的性质可知，，
由于平面，平面，
所以平面
由于平面，平面平面，
所以；
解：由于平面ABC，CD，平面ABC，
所以，，
由于，D是AC的中点，所以，
由此以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，

设，，
则，，
设平面的法向量为，
则，故可设，
所以，
解得或，
当，即时，，
当，即时， 

【解析】根据线面平行的判定定理和性质定理证得
建立空间直角坐标系，根据与平面所成角的正弦值求得DB，进而求得三棱锥的体积．
本题主要考查了线面平行的判定定理和性质定理，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题
 

19.【答案】解：根据题意可知，，，
椭圆；
设，，
将椭圆向上平移1个单位得到，
则，，
设直线为，
，，
，，
，，
直线为，即，恒过点，
将向下平移1个单位得到，即直线AB过定点
综上：直线AB过定点 

【解析】根据题意得到，，，即可得到答案．
设，，将椭圆向上平移1个单位得到，则，，设直线为，得到，根据得到，从而得到直线恒过，再将向下平移一个单位即可．
本题考查椭圆方程的求解，焦点三角形的面积的结论，椭圆的平移问题，直线过定点的证明，化归转化思想，属中档题．
 

20.【答案】解：，
当时，，则函数在上单调递增，
当，即时，若时，，
若时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，，函数在上单调递减，
综上，当时，函数在上单调递增，
当，函数在上单调递减，在上单调递增，
当，函数在上单调递减；
证明：设，
题设等价于证明函数有且仅有一个零点，，
设，，则函数在R上单调递减，又，
则当时，；当时，；
当时，，则函数在R上单调递减，又，
故此时函数有且仅有一个零点；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，，
则当时，恒成立；
当且时，，，
则，函数在上存在一个零点，
此时函数有且仅有一个零点；
综上即证． 

【解析】讨论、、三种情况，利用导数得出单调性；
构造函数，讨论、两种情况，确定的单调性，从而由的零点个数证明曲线与曲线有且只有一个公共点．
本题主要考查了导数与单调性的应用，解决问题时，关键在于将两个函数的交点问题，转化为函数的零点问题，利用导数得出单调性，进而确定零点个数．
 

21.【答案】解：①不是的二元基底，
理由是
②是的一个二元基底，
理由是，，，
，
，

证明：不妨设，
形如的正整数共有m个，
形如的正整数有m个，
形如的正整数至多有个，
形如的正整数至多有个，
又集合含n个不同的正整数，A为集合M的一个m元基底，
故，
由可知，，
当时，，
即用基底中元素表示出的数最多重复一个，
假设为的一个4元基底，
不妨设，则，
当时，，这时或7，
若，则由，，，与用基底中元素表示出的数最多重复一个矛盾，
若，则或5，由题意知或，都不是的4元基底，矛盾．
当时，有，这时，，由题意知，不是的4元基底，矛盾．
当时，有，这时，，由题意知，不是的4元基底，矛盾．
当，有这时，由题意知，不是的4元基底，矛盾．
当，有，这时，，由题意知，不是的4元基底，矛盾．
当时，有，这时，，由题意知，不是的4元基底，矛盾．
当时，有，这时，，由题意知，不是的4元基底，矛盾．
当时，A均不可能是的4元基底．
当时，M的一个基底，或，或等，只要写出一个即可，
综上，m的最小可能值为 

【解析】利用二元基底的定义加以验证，可得不是的一个二元基底，是的一个二元基底．
设，计算出的各种情况下的正整数个数，并求出它们的和，结合题意得，由此能证明
由可知，从而，并且得到结论“基底中元素表示出的数最多重复一个”，再讨论当时，集合A的所有情况均不可能是M的4元基底，而当时，M的一个基底，由此能求出结果．
本题以一个集合为另一个集合的m元基底的讨论为载体，着重考查了集合元素的讨论和方程、不等式的整数角的讨论和两个计数原理等基础知识，考查运算求解能力，是难题．